多面体

多面體(polyhedron)是指三維空間中由平面和直邊組成的幾何形體。英文 polyhedron 源於古希臘語 πολύεδρον,由poly-(詞根 πολύς,多)和 -edronέδρα,基底、座、面)構成,即意為「多面體」。

然而,「由平面和直邊組成的有界體」的定義方式並不明確,對現代數學而言更是不合格。克羅埃西亞數學家 Grünbaum 曾評論道:“多面體理論的原罪可追溯至歐幾里得,還有之後的克卜勒龐索柯西……各個時期……數學家們都未能準確定義何謂『多面體』。[1]”自此,數學家雖以特定說法對「多面體」訂定了嚴謹的定義,但任一種卻都無法完全兼容其他定義方式。

部分的多面體
Dodecahedron
正十二面體
(正多面體)
SmallStellatedDodecahedron
小星形十二面體
(星形正多面體)
Icosidodecahedron
截半二十面體
(半正多面體)
Great cubicuboctahedron
大立方截半立方體
(均勻多面體)
Rhombicuboctahedron
小斜方截半立方体
(半正多面體)
Small ditrigonal icosidodecahedron
小雙三斜三十二面體
(均勻多面體)
Rhombictriacontahedron
菱形三十面體
(卡塔蘭立體)
Elongated pentagonal cupola
正五角帳塔柱
(詹森多面體)
Octagonal prism
八角棱柱
(稜柱)
Square antiprism
正四角反稜柱
(反稜柱)

经典多面体

在经典意义上,一个多面体是一个三维形体,它由有限个多边形组成,每个面都是某个平面的一部分,面相交于,每条边是直线段,而边交于点,称为顶点立方体棱锥棱柱都是多面体的例子。多面体包住三维空间的一块有界体积;有时内部的体也视为多面体的一部分。一个多面体是多边形的三维对应。多边形,多面体和更高维的对应物的一般术语是多胞体

參見

參考資料

  1. ^ Grünbaum, B. Polyhedra with Hollow Faces. (编) Tibor Bisztriczky; Peter McMullen; Rolf Schneider; Alfred Weiss. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Springer. 1994: 43–70. ISBN 978-94-010-4398-4.

外部連結

四面體

四面體是由四個三角形面組成的多面體,每两个三角形都有一个共同的边,每三个三角形都有一个共同的顶点。四面体有四个顶点,六条棱,四个面,是所有凸多面体中最简单的。四面體包括正四面體、鍥形體等種類,由四個全等的正三角形組成的四面體稱為正四面體。四面体也可以依角的類型分為銳角四面體、鈍角四面體、和直角四面體。

四面体是欧几里德单纯形在三维空间中的特例。

四面体也是锥体的一种。锥体是指将某个平面上的多面体的所有顶点分别和平面外的一点以线段连接後构成的多面体。按锥体的分类方法,所有四面體都是由某平面上的三角形和平面外一点构成的锥体,所以四面体也被称为三角錐。

与所有的凸多面体一样,四面体可以由某个平面图形(展开图)折叠而成。这样的展开图通常有两种。

与三角形类似,任何四面体的四个顶点都在同一个球面上。这个球称为四面体的外接球。同样地,存在一个与四面体的四个面都相切的球,称为四面体的内切球。

多胞形

多胞形是一类由平的边界构成的几何結構。多胞形可以存在於任意维中。多边形为二维多胞形,多面体为三维多胞形,也可以延伸到三維以上的空間,如多胞體即為四维多胞形。

當提到n度空間下的多胞形時,常會用n-多胞形的名稱來表示,因此多边形可稱為2-多胞形,多面体可稱為3-多胞形,多胞體即為4-多胞形。

多胞體的英文polytope是由數學家Hoppe創造,其原文為德文,後來才由艾麗西亞·布爾·斯托特翻譯為英文。

對偶多面體

在幾何學,若一種多面體的每個頂點均能對應到另一種多面體上的每個面的中心,它就是對方的對偶多面體

根據對偶原則,每種多面體都存在對偶多面體。一種多面體的對偶多面體的對偶多面體等同該種多面體。

對偶的性質可以透過一個已知的球定義。每個頂點都在一個平面之上,使得由中心向頂點的射線都和平面垂直,且中心和每點的距離的平方等於半徑的平方。在坐標來說,關於球:

頂點

和平面結合

相應的對偶多面體的頂點就是原來多面體的面的對應,而對偶多面體的面就是原來多面體的頂點的對應。另外,相鄰頂點定義出的棱能對應出兩個相鄰面,這些面的相交線亦定義出對偶多面體的一條棱。

這些規則能一般化到維空間,以定義出對偶多胞形。多胞形的頂點能對應到對偶者的維的元素,而點能定義維元素,該元素能對應到超平面,超平面相交的位置能給出一個維元素。蜂巢的對偶也能以近似方式定義。

這個對偶的概念和射影幾何中的對偶相關。

反角柱的對偶多面體是偏方面體,每面均呈鳶形。

康威多面體表示法

康威多面體表示法是用來描述多面體的一種方法。 一般是用種子多面體(seed)為基礎並標示對種子多面體做的操作或運算。

種子多面體一般都為正多面體或正多邊形密鋪,表示的字母則取他們名字的第一個字母,例如:

T = 正四面體 (Tetrahedron)

C = 正方體 (Cube)

O = 正八面體 (Octahedron)

D = 正十二面體 (Dodecahedron)

I = 正二十面體 (Icosahedron)

H = 正六邊形密鋪 (Hexagonal tiling)

Q = 正四邊形密鋪 ( Quadrille = Square tiling)

Δ = 正三角形密鋪 ( Deltille = Triangular tiling)另外柱體和錐體也可以作為種子,並以它是底面邊數加一個字母表示:

P = 柱體 (Prism)

A = 反稜柱 (Antiprism)

Y = 錐體 (Pyramid)

J = 詹森多面體 (Johnson solid)例如種子“P5”是指五角柱、“P817”是指817角柱、“Y6”是指六角錐、“J86”是指球形屋根、“A86”是指反86角柱。

任何凸多面體皆可以當作種子,前提是它可以執行操作或運算。

何頓·康威提出這個想法, 就像克卜勒的截角定義,建立相關的多面體相同的對稱性。 它的多面體表示法能從正多面體種子表示所有阿基米德立體、半正多面體和卡塔蘭立體。 在一系列的應用中,康威多面體表示法可以產生許多高階多面體。

棱台

棱台是几何学中研究的一类多面体,指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截後,截面与底面之间的几何形体。截面也称为棱台的上底面,原来棱锥的底面称为下底面。随着棱锥形状不同,棱台的称呼也不相同,依底面多边形而定,例如底面是正方形的棱台称为方棱台,底面为三角形的棱台称为三棱台,底面为五边形的棱台称为五棱台等等。棱台是平截头体的一类,也是更广义的拟柱体的一种。

从棱锥的定义可以推知,一个以n边形为底面的棱台,一共有2n个顶点,n+2个面以及3n条边。棱锥的对偶多面体是双锥。棱锥的对称性取决于原来棱锥。如果原来的棱锥是正棱锥,那么棱台和正多边形有相同的对称结构(同构的对称群)。

棱柱

棱柱是幾何學中的一種常見的三维多面体,指平面上的一个多边形平行投影到与该平面平行的平面所截得的封閉幾何體。棱柱的两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行。

若用於截平行平面的平面數為n,那麼該稜柱便稱為n-稜柱。如三稜柱就是由兩個平行的平面被三個平面所垂直截得的封閉幾何體。

棱锥

在幾何學上,棱锥又稱角錐,是三维多面体的一種,由多边形各个顶点向它所在的平面外一点依次连直线段而构成。多边形称为棱锥的底面。随着底面形状不同,棱锥的稱呼也不相同,依底面多边形而定,例如底面是正方形的棱锥称为方锥,底面为三角形的棱锥称为三棱锥,底面为五边形的棱锥称为五棱锥等等。

从棱锥的定义可以推知,一个以n边形为底面的棱锥,一共有n+1个顶点,n+1个面以及2n条边。棱锥的对偶多面体是同样形状的棱锥。例如一个方锥的对偶形是(倒立的)方锥。

棱锥的对称性取决于底面多边形的形状和多边形以外那个顶点的位置。如果底面的多边形是正多边形,而且另外一个顶点在底面上的投影是多边形的中心,那么棱锥和正多边形有相同的对称结构(同构的对称群)。

棱锥和棱柱、棱台、帐塔一样,都是擬柱體中的一类。

欧拉示性数

在代数拓扑中,欧拉示性数Euler characteristic)是一个拓扑不变量(事实上,是同伦不变量),对于一大类拓扑空间有定义。它通常记作

二维拓扑多面体的欧拉示性数可以用以下公式计算:

其中V,EF分别是点,边和面的个数。特别的有,对于所有和一个球面同胚的多面体,我们有

例如,对于立方体,我们有6 − 12 + 8 = 2而对于四面体我们有4 − 6 + 4 = 2. 刚才的公式也叫做欧拉公式。该公式最早由法国数学家笛卡儿于1635年左右证明,但不为人知。后瑞士数学家莱昂哈德·欧拉于1750年独立证明了这个公式。1860年,笛卡儿的工作被发现,此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。

正八面體

正八面體是一種八面體,由八個等邊三角形,分別為上、下各四個三角形與一個正方形組成的正方錐體,上下黏合在一起而構成,是五種正多面體的第三種,有6個頂點和12條邊。正八面體也是正三角反棱柱。正八面体是三维的正轴形,施莱夫利符号{3,4},考克斯特—迪肯符号。

正八面體每四条棱可以成为一个正方形,共有三个独立的正方形。

正十二面體

正十二面體是由12個正五邊形所組成的正多面體,它共有20个顶点、30条棱、160条对角线,被施莱夫利符号{5,3}所表示,与正二十面体互成对偶。它是一种只具有正四面体对称性的五角十二面体的特殊形式,五角十二面体的另一种特殊形式是具有正八面体对称性的卡塔兰多面体菱形十二面体,它(加上所有其它的五角十二面体)都与正十二面体在拓扑上等价。正十二面體还是截顶五方偏方面體的特例。其四維類比為正一百二十胞體。

正四面體

正四面體是由四個等邊三角形組成的正多面體,是一种錐體,有4個頂點、6條邊和4个正三角形面。

將立方體的其中四個頂點两两相連,而這四個頂點任何兩條都沒有落在立方體同一條的邊上,可得到一個正四面體,其邊長為立方體邊長的,其體積為立方體體積的,从这里看,正四面体是半立方体。 正四面体是一个拥有无穷多个成员的多胞形家族—正单纯形家族的3维成员。正四面体是一种棱锥体,即它可以被描述成由一个多边形底面和链接底面和一个共同顶点的三角形面组成,对于正四面体来说,这个底面是正三角形,并且它的侧面也都是正三角形,应此正四面体是正三棱锥。
正四面体是三维的正单纯形(3-simplex),这意味着四面体是三维中最简单的多面体,顶点数、棱数、面数比它少的多面体都只能成为退化多面体,同时在更高维的超空间中,任意4个顶点一定共在同一三维空间中,这4个顶点若不存在四点共面、三点共线和两点重合的情况,一定能构成一个四面体,并且只要6条棱的长度确定了,四面体就被唯一确定了(即四面体具有稳定性。这是单纯形面多胞形共有的一个基本特性),由此可知,一个四面体的6条棱长都相等,则其一定是一个正四面体。正四面体是柏拉图立体中唯一一个所有顶点之间的距离都相等的,同时正四面体也是三维空间中使4个顶点每两个顶点间距离相等的唯一方式。

正多边形

正多边形是所有角都相等、并且所有边都相等的简单多边形,简单多边形是指在任何位置都不与自身相交的多边形。

所有具有同样边数的正多边形都是相似多边形。

泡沫

泡沫是气体分散在液体或固体中的一种分散体系。啤酒开瓶时的泡沫、肥皂泡沫都是气体在液体中的泡沫;泡沫塑料和泡沫玻璃中的气泡则是气体在固体中的气泡,固体泡沫为轻质多孔海绵状物质或轻质多孔刚性物质。

对于气/液分散体系来说,当气泡为较厚的液膜所隔开,且为球状时,这种泡沫称为球体泡沫,就像内相是气体的乳状液。但通常情况下,作为分散相的气体的体积分数非常高,气体被网状的液体薄膜分隔开,各个被液膜包围的气泡为了保持压力平衡而变形为多面体,这种泡沫称为多面体泡沫。多面体泡沫是通常所指的气/液体系中的泡沫,可由球体泡沫经充分排液而自发生成。其为了保持力学上的稳定,总是按一定方式相交,例如三个气泡相交时互成120°时最为稳定。

泡沫是大量流动性强及密度低的气体被液体隔开的分散体系,有大的气-液界面,是热力学不稳定的体系,因此会自动破坏。泡沫发生自动破坏的原因主要有液膜的排液、膜的破裂以及气体的扩散。

仅靠一种纯液体要形成稳定的泡沫是很困难的,通常需加入第三种物质,一般是表面活性物质,才能形成泡沫,这些具有较好起泡性能的物质称为发泡剂,烷基硫酸钠和烷基苯磺酸钠都是很常用的发泡剂。有时还需要加入稳泡剂使已形成的泡沫更加稳定,月桂酰二乙醇胺即是一例。

相反,许多工业中常因为泡沫的产生而带来不便,这时就需要加入消泡剂改变体系表面的状态,破坏或抑制泡沫。它通常是表面张力低,溶解度较小的物质,如 C5~C6 的醇类或醚类、磷酸三丁酯、有机硅等。消泡剂的表面张力低于气泡液膜的表面张力,容易在气泡液膜表面顶走原来的发泡剂,而自身链短不能形成坚固的吸附膜,故产生裂口,泡内气体外泄,导致泡沫破裂,起到消泡的作用。

立方體

在幾何學中,立方體(Cube),是由6個正方形面組成的正多面體,故又稱正六面體(Hexahedron)、正方體或正立方體。它有12條稜(邊)和8個頂(點),是五個柏拉圖立體之一。

立方體是一種特殊的正四棱柱、長方體、三方偏方面體、菱形多面體、平行六面體,就如同正方形是特殊的矩形、菱形、平行四邊形一様。立方體具有正八面體對稱性,即考克斯特BC3對稱性,施萊夫利符號{4,3},考克斯特-迪肯符號,其對偶多面體為正八面體。

约翰逊多面体

Johnson多面體,有譯作约翰逊多面体或莊遜多面體,是指正多面體、半正多面體、棱柱、反棱柱之外,所有由正多邊形面組成的凸多面體。這些立體由諾曼·詹森在1966年命名;1969年,維克托·查加勒證明只有92個這樣的立體。

因為在一個頂點相遇的面,每個面在該頂點的角的角度之和,不大於360°,又因為正多邊形的內角至少為60°,故每點最多有五個面在同一頂點。

所有Johnson多面體的面都是3, 4, 5, 6, 8或10邊形。

菱形

菱形是四邊相等的四邊形。由菱葉片的形狀而得名。除了這些圖形的性質之外,它還具有以下性质:

較嚴謹的菱形定義,菱形的四個角都不是直角,如《幾何原本》,在這定義上,正方形不是菱形的一種。

較粗疏的菱形定義,菱形的四個角包含直角這條件,如此正方形才是菱形的一種。菱形屬於特殊的鷂形、平行四邊形。

菱形面積為對角線相乘除以二(鷂形面積):
或邊長的平方乘以其中一隻角的正弦(平行四邊形面積):

菱形周長為邊長的四倍 :

內切圓半徑:

阿基米德立體

阿基米德立體是一種高度對稱的半正多面體,且使用兩種或以上的正多邊形為面的凸多面體,並且都是可以從正多面體經過截角、截半、截邊等操作構造。阿基米德立體的每個頂點的情況相同,共有13種。阿基米德曾研究半正多面體(雖然其研究紀錄已佚),故有人將半正多面體喚作阿基米德立體。因為面是由正多邊形組成的,每個相鄰的正多邊形的邊長相等,故阿基米德立體的邊均有相同長度。阿基米德立體的对偶多面体是卡塔蘭立體。

半正多面體一詞不只是指13種阿基米德立體,而是指所有具有對稱群且由2種或2種以上正多邊形所組成的多面體。

雙三角錐

在幾何學中,雙三角錐是一種基底為三角形的雙錐體,其為三角柱的對偶。若每個面皆為正三角形,則為92種Johnson多面體(J12)中的其中一個,也是雙角錐的其中一種。顧名思義,它可由正多面體中的兩個大小相同的正四面體組合而成。這92種詹森多面體最早在1996年由詹森·諾曼(Norman Johnson)命名並給予描述。

若不考慮每個面皆為正三角形,只考慮基底為正三角形時,則有可能為廣義的半正多面體的對偶,正三角柱的對偶,此時能使用施萊夫例符號表示,計為{ } + {3},而在考克斯特符號中,則可以用或表示。

面 (幾何)

在立体几何中,立体几何体的邊界被称作面或表面,更嚴謹地說,面是立体几何体的一個平坦表面,而不平坦的面通常稱為曲面,而所有表面的總和稱為表面積。在高维度几何以及高维的多胞形中,面也被用来指代构成多胞形的一个组成元素,通常會跟隨其維度一同稱呼,例如三維的元素稱為3-面。

柏拉圖立體
阿基米德立體
廣義的半正多面體
其他半正多面體
1 - 10
11 - 20
其他
正多面體
各類凸多面體
柏拉圖立體正多面體
阿基米德立體半正多面體
卡塔蘭立體阿基米德立體的對偶)
康威多面體
正二面體
均勻二面體與對偶
其他凸多面體
几何学术语
直線曲線
平面圖形
立體圖形
曲面
高維空間
圖形關係
三角形關係
作圖
分支
理論

其他语言

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.