Geometria

Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými Grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa zaoberal vzťahmi v priestore. Najstaršie známky geometrie sa dajú sledovať už v starovekom Egypte. Rindský papyrus popisuje zarážajúco presný spôsob výpočtu aproximácie Ludolfovho čísla, s chybou menšou ako jedna stotina. Rindský papyrus tiež popisuje jeden z prvých pokusov kvadratúry kruhu, ako aj istú analógiu kotangensu.

Ľudia zo skúsenosti alebo možno intuitívne charakterizujú priestor tými istými základnými vlastnosťami, ktoré sú zachytené axiómami geometrie. Z týchto axiómov a definícií bodu, priamky, krivky, povrchov a telies sa potom odvádzajú vety, ktoré tvoria teóriu geometrie.

Geometrie bola jedna z prvých disciplín matematiky vôbec, čo je dané jej možnosťami okamžitej praktickej aplikácie. Takisto je to prvá disciplína, ktorá bola postavená na axiomatickej báze, ktorú rozpracoval Euklides. Grékov zaujímalo veľa otázok o konštrukciách pravítkom a kružidlom. Na ďalší významný pokrok v geometrii si však ľudstvo muselo počkať jedno tisícročie. Týmto pokrokom bola analytická geometria, v ktorej definujeme súradnicové sústavy a body reprezentujeme usporiadanými n-ticami. Táto algebrická reprezentácia umožnila doslova fascinujúce veci a okrem iného dovoľuje skonštruovať celkom nové geometrie odlišné od štandardnej euklidovskej.

Ústredný pojem v geometrii je kongruencia. V euklidovskej geometrii hovoríme, že dva útvary sú kongruentné, ak sa dá zobraziť jeden na druhý pomocou postupnosti symetrií, otočení a posunutí.

Iné geometrie môžeme skonštruovať zvolením nového základaného vektorového priestoru (euklidovská geometria používa reálny euklidovský vektorový priestor so štandardnou euklidovskou metrikou) alebo zvolením novej grupy transformácií (euklidovská geometria používa nehomogénne ortogonálne transformácie). Druhý pohľad sa nazýva Erlangenský program. Vo všeobecnosti zrejme platí, že čím viac kongruencií máme, tým menej invariantov bude existovať. Napríklad v afinnnej geometrii sú povolené všetky lineárne transformácie a tak vzdialenosti a uhly už nie sú invarianty (ale kolinearita je).

Diskrétna forma geometria spadá pod Pickovu vetu. Pickova veta používa bodkovaný papier a dáva vzorec na výpočet obsahu zložitých útvarov.[1][2][3][4][5][6]

Názory filozofov na geometriu

Klein

Geometria je podľa Kleina teória invariantov určitej grupy transformácií (zobrazení).

Táles

Táles, ktorý prvý navštívil Egypt, priniesol do Grécka geometriu.[7]

Referencie

  1. F. JIRÁSEK, J. BENDA. Matematika pro bakalářské studium [online]. Praha : Ekopress, s.r.o., 2006, [cit. 2006-08-13]. ISBN 80-86929-02-7. (český)
  2. PETÁKOVÁ, J.. Matematika - příprava k maturitě a k přímacím zkouškám na vysoké školy [online]. Praha : Prometheus, spol. s.r.o.,, 2000, [cit. 2000-08-13]. ISBN 80-7196-099-3. (český)
  3. M. BILLICH - M. TRENKLER. Zbierka úloh z geometrie [online]. Ružomberok : Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity, 2013, [cit. 2013-08-13]. ISBN 978-80-561-0058-5.
  4. J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1 [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-08-13]. ISBN 80-8078-091-9.
  5. P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky [online]. Bratislava : Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-08-13].
  6. K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky [online]. Banská Bystrica : Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-08-13]. ISBN 80-242-1227-7.
  7. J. SMIDA, J. ŠEDIVÝ, J. LUKÁTŠOVÁ, J. VOCELKA. Matematika pre 1. ročník gymnázia [online]. Bratislava : Slovenské pedagogické nakladateľstvo, 1990, [cit. 1990-08-13]. ISBN 80-08-00340-5.

Externé odkazy

Algebrická geometria

Algebrická geometria (staršie algebraická geometria) je matematická disciplína, ktorá využíva metódy abstraktnej algebry na riešenie geometrických problémov. Je jednou zo základných oblastí modernej matematiky a súvisí s veľkým množstvom matematických disciplín, napríklad s komplexnou analýzou, topológiou, či teóriou čísel.

Algebrická geometria vznikla zo snáh o riešenie sústav polynomiálnych rovníc. Základným objektom jej štúdia sú algebrické variety, ktoré sú geometrickým vyjadrením riešení takýchto sústav.

Deskriptívna geometria

Deskriptívna geometria je odvetvie matematiky zaoberajúce sa zobrazovaním trojrozmerného priestoru do

roviny. Poskytuje metódy, ktoré umožňujú dosiahnuť jednoznačnosť týchto zobrazení. Základnou metódou je premietanie.

Diferenciálna geometria

Diferenciálna geometria je oblasť matematiky, ktorá využíva metódy diferenciálneho a integrálneho počtu, ako aj lineárnej a multilineárnej algebry na štúdium geometrických problémov. Začala sa vyvíjať na prelome osemnásteho a devätnásteho storočia ako teória rovinných a priestorových kriviek a plôch v trojrozmernom Euklidovskom priestore. Neskôr sa transformovala na disciplínu, ktorá sa zaoberá všeobecnejšími geometrickými štruktúrami na diferencovateľných varietach. Úzko súvisí s diferenciálnou topológiou a geometrickými aspektmi diferenciálnych rovníc.

Euklidovská geometria

Euklidovská geometria je matematická teória, ktorej základy položil starogrécky matematik Euklides z Alexandrie. Euklidove zväzky Základy boli prvou systematickou diskusiou geometrie. Bol to jeden z najvplyvnejších súborov kníh v histórii, tak kvôli jeho metóde, ako aj matematickému obsahu. Metóda pozostáva z predpokladu niekoľkých intuitívne platných axiómov a dôkazu množstva iných tvrdení (viet) z týchto axiómov. Aj keď veľa z Euklidových výsledkov bolo známych gréckym matematikom pred ním, Euklid bol prvý, ktorý ukázal ako tieto tvrdenia tvoria spolu komplexný deduktívny systém.

Základy začínajú geometriou v rovine, ktorá sa stále učí na stredných školách ako prvý axiomatický systém a prvé príklady formálnych dôkazov. Neskôr Euklides popisuje geometriu telies v troch rozmeroch a následne rozširuje na ľubovoľný konečný počet rozmerov. Mnoho z výsledkov v Základoch sú dnes tvrdeniami v teórii, ktorú voláme teória čísel a Euklides ich dokazoval geometrickými metódami.

Po vyše dvetisíc rokov bolo prídavné meno „euklidovská“ zbytočné, pretože sme nepoznali žiadnu inú geometriu. Euklidove axiómy sa zdali tak intuitívne samozrejmé, že každá veta z nich dokázaná sa považovala za pravdivú v absolútnom zmysle. Dnes však poznáme mnoho iných konzistentných formálnych geometrií, z ktorých prvé boli zostrojené v začiatkoch 19. storočia. V dnešnej dobe už ani nepovažujeme euklidovskú geometriu za tak samozrejmú pre opis fyzikálneho priestoru. Dôsledok Einsteinovej všeobecnej teórie relativity je, že euklidovská geometria je výborná aproximácia vlastností fyzikálneho priestoru, ale len v prípadoch, keď gravitačná sila nie je príliš silná.

Excentricita (astronómia)

Excentricita dráhy alebo výstrednosť je jedným z elementov dráhy, opisujúcich pohyb kozmického telesa (prirodzeného, napr. planéty, kométy a pod. alebo umelého) v kozmickom priestore. Vyjadruje kruhovosť resp. nekruhovosť dráhy napr. planéty alebo kométy.

Pre kružnicu je , pre elipsu , pre parabolu a pre hyperbolu .

Vzorec pre výpočet excentricity eliptickej dráhy je

kde je lineárna excentricita (vzdialenosť ohniska od stredu kužeľosečky), veľká polos a malá polos. V kozmonautike resp. v astrionike sa excentricita častejšie vzťahuje k vzdialenostiam apsíd od ťažiska sústavy

,

kde a sú vzdialenosti apoapsidy resp. periapsidy od ťažiska a a je opäť veľká polos dráhy.

Ďalšie dôležité vzťahy medzi excentricitou a ďalšími parametrami dráhy sú

a

Hranica

Hranica je čiara oddeľujúca od seba nejaké oblasti.

Ihlan

Ihlan je teleso, v ktorom sú rohy rovinného mnohouholníka (nazývaného podstava) priamočiaro spojené s nejakým bodom (nazývaným vrchol ihlana) a nachádzajúcim sa mimo roviny tohto mnohouholníka.

Dôležitými špeciálnymi druhmi ihlana sú kvadratický ihlan, ktorého podstavou je štvoruholník, a tetraéder, ktorého podstava je trojuholník.

Ak je podstava pravidelný mnohouholník a vrchol sa nachádza nad jeho stredom, hovoríme o pravidelnom ihlane, inak o šikmom ihlane.

Kolmosť

Kolmosť je spoločná vlastnosť nasledujúcich geometrických útvarov:

Dvoch priamok, ak uhol, ktorý zvierajú je pravý.

Priamky a roviny, ak priamka zviera pravý uhol so všetkými priamkami roviny (postačuje, ak zviera pravý uhol s dvomi rôznobežkami danej roviny).

Dvoch rovín, ak kolmica priamky jednej z nich je rovnobežná s druhou rovinou.

Dvoch osových telies v priestore, ak ich osi v priestore majú spoločný práve jeden bod (priesečník) a zároveň uhol, ktorý navzájom zvierajú, je pravý.

Krivka

Krivka je geometrický útvar, čiara meniaca svoj smer; krivá čiara.

Matematika

Matematika (z gr. μαθηματικός (mathematikós)= „milujúci poznanie“ > μάθημα (máthema) = „veda, poznanie“) je väčšinou definovaná ako štúdium zákonitostí štruktúry, zmeny a priestoru. Neformálne ju môžeme tiež nazvať štúdiom „diagramov a čísel“. Z formálneho hľadiska je matematika skúmanie axiomaticky definovaných formálnych štruktúr použitím logiky a matematického označenia. Matematiku možno chápať jednoducho ako rozšírenie hovoreného a písaného jazyka s veľmi presne definovanou slovnou zásobou a gramatikou, s cieľom opisovať a skúmať fyzikálne a konceptuálne vzťahy.

Hoci matematika samotná sa väčšinou nepovažuje za prírodnú vedu, špecifické štruktúry skúmané matematikmi majú často pôvod v prírodných vedách, najmä vo fyzike. Matematici sa však zaoberajú aj štruktúrami, ktorých pôvod nie je čisto matematický, napríklad ak poskytujú zovšeobecnenie spájajúce niekoľko odborov alebo zjednodušujú výpočty. Mnohí matematici sa zaoberajú určitými problémami z čisto estetických dôvodov, chápajúc matematiku skôr ako umenie než praktickú, alebo aplikovanú vedu. Niektorí matematici nazývajú matematiku „kráľovnou vied“.

Objem (matematika)

Objem alebo zriedkavo obsah priestoru či volúmen (pre plyny aj volum) je veľkosť priestoru, ktorý vypĺňa, zaberá nejaké teleso. Matematicky je objem miera charakterizujúca časť priestoru.

Symbol veličiny: V (angl. volume)

Základná jednotka: meter kubický, značka jednotky: m³

Parabola

Parabola je druh kužeľosečky. Je to rez kužeľovej plochy rovinou, ktorá je rovnobežná s práve jednou povrchovou priamkou kužeľovej plochy.

Parabola je množina bodov v rovine, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od pevného bodu F (ohnisko paraboly) a pevnej priamky d (riadiaca priamka).

Povrch

Povrch je súhrn plôch, ktoré ohraničujú teleso, napr. zemský povrch.

Priamka

Priamka je jednorozmerný základný geometrický útvar.

Priamka je nekonečne tenká, nekonečne dlhá, dokonale rovná krivka (pojem krivka v matematike obsahuje aj „rovné krivky“). V euklidovskej geometrii pre každé dva rôzne body existuje práve jedna priamka, ktorá oboma prechádza. Táto priamka predstavuje najkratšiu spojnicu medzi dotyčnicovými bodmi.

Z fyzikálneho hľadiska je priamka trajektória fotónu neovplyvneného gravitáciou.

Priemer (geometria)

Priemer je v geometrii čiara prechádzajúca stredom kružnice a pretínajúca ju v dvoch bodoch. Priemer sa označuje písmenom d (skratka pre diameter) prípadne symbolom ø (technické výkresy). Priemer je dvojnásobkom dĺžky polomeru kružnice ( d = 2 . r ) a zároveň najdlhšia tetiva kružnice.

Táles vraj prvý dokázal, že priemer rozdeľuje kruh na dve rovnaké časti (z Prokla).

Rovina

Rovina môže byť:

všeobecne:

pôda, krajina s rovným povrchom

rovná plocha

hladina, úroveň

prenesene: hľadisko, úroveň (náhľadu)

v geometrii: jeden zo základných geometrických pojmov, pozri rovina (geometria)

v geomorfológii: geomorfologický tvar s mierne zvlneným povrchom s relatívnym výškovým rozpätím 0 – 30 m, pozri rovina (geomorfológia)

časť obce v Česku:

Rovina (Hlásná Třebáň)

Rovina (Počepice)

Rovina (geometria)

Rovina je základný geometrický útvar, plocha určená troma bodmi alebo priamkou a

jedným bodom ležiacim mimo priamky. Pojem roviny ako geometrický pojem vznikol abstrakciou z napätých blán alebo koží, pokojnej vodnej hladiny, ľadovej vrstvy, rovných častí zemského povrchu. Euklides uviedol, že rovina má len dĺžku a šírku.

Rovina je v matematike dvojrozmerný geometrický útvar, ktorý si môžeme predstaviť ako neobmedzenú dokonale rovnú plochu. Algebraicky povedané, ide o množinu bodov izomorfných s dvojrozmerným lineárnym priestorom.

Rovina môže byť určená troma rôznymi bodmi, alebo priamkou a bodom, ktorý neleží na tejto priamke, alebo dvoma rovnobežnými netotožnými priamkami.

Trojrozmerný priestor

Trojrozmerný priestor (skr. pre „trojrozmerný“ je 3D) je priestor, ktorý má tri rozmery a/alebo priestor, ktorý je definovaný tromi rozmermi.

Pozícia objektov v tomto priestore je určená pomocou nejakej sústavy súradníc. Najznámejšie sú karteziánska a polárna sústava súradníc (príp. sférická sústava súradníc).

Útvar (geometria)

Útvar alebo geometrický útvar je množina bodov, súhrn bodov na priamke, rovine alebo v priestore, ktorý je predmetom geometrických úvah; priestorová abstrakcia hmotného telesa a jeho častí.

Grafické znázornenie geometrického útvaru sa nazýva geometrický obrazec alebo figúra, ale geometrický obrazec sa niekedy považuje za synonymum geometrického útvaru.

Základné útvary sú bod, priamka a rovina. Význačnými druhmi útvarov sú krivky, plochy, telesá.

V iných jazykoch

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.