שיטת ספירה

שיטת ספירה היא שיטה להצגתם של מספרים באמצעות קבוצה נתונה של סימנים, הקרויים ספרות. שיטת הספירה המקובלת ביותר בימינו היא השיטה העשרונית המשתמשת בספרות הודיות-ערביות, אך בעבר היו מקובלות שיטות ספירה אחרות. מחשבים משתמשים בשיטת ספירה בינארית, המתאימה יותר למערכות האלקטרוניות שלהם.

המספר המוכר לנו 12, למשל, מוצג בספרות רומיות כ-XII, בספרות עבריות בתור י"ב, בספרות בינאריות הוא 1100, ובספרות הקסדצימליות הוא C. צורות ההצגה השונות אינן משנות את מהותו של המספר, ומבחינה מתמטית אין משמעות לבחירת הסימון.

השיטות המודרניות משתמשות במספר קטן מאד של ספרות, אולי בתוספת מעט סימנים נוספים, על מנת להציג תחום רחב מאד של מספרים. עיקרן בהצגה שבה למיקום היחסי של כל ספרה במספר יש חשיבות לקביעת הערך המוצג. בחלק מהשיטות הקדומות יותר יש ערבוב, או אף חוסר שימוש, במיקום של הספרה כדי לקבוע את ערכו של המספר. יתרונן של השיטות המודרניות הוא בתמציתיות, באחידות, וביכולת ההרחבה בהן ניתן להציג את המספרים. אך שיטת מיקום כזו דורשת לימוד, כי היא פחות טבעית. שיטת המיקום היא יתרונה העיקרי של מערכת ספרות הודיות-ערביות על מערכות אחרות.

ראו גם

12 (מספר)

12 (במילים בלשון זכר: שְׁנֵים-עָשָׂר; בלשון נקבה: שְׁתֵּים-עֶשְׂרֵה) הוא המספר הטבעי הבא אחרי 11 והבא לפני 13.

12 קרוי גם "תריסר". ישנן עוד שפות, לבד מן העברית, שבהן יש למספר זה שם ייחודי. תריסר תריסרים (12X12) מכונים "גרוס". המספר 12 הוא מספר נפוץ במסורות דתיות ומנהליות של תרבויות רבות. במהלך ההיסטוריה נעשו ניסיונות לגבש שיטת ספירה על בסיס 12, אך בסופו של דבר החברה האנושית גיבשה ספירה על בסיס 10.

Excess-3

Excess-3 (או בקיצור XS-3), היא שיטת ספירה המבוססת על עיקרון שיטת BCD, אשר הייתה בשימוש במספר מחשבים ישנים (ובהם, מחשב האניאק, שנחשב בעיני רבים למחשב האלקטרוני הראשון). בקידוד XS-3, מספרים מיוצגים כספרות עשרוניות, כאשר כל ספרה מיוצגת על ידי 4 סיביות על פי ערכה הבינארי ועוד 3 (ומכאן גם נובע שמה של השיטה).

להלן הייצוג של כל ספרה עשרונית בקידוד זה:

לדוגמה, כדי לקודד את המספר 721, יש לקודד כל אחת מהספרות שלו על פי הטבלה לעיל ואז יתקבל (0100 0101 1010).

היתרון המרכזי בקידוד XS-3 על פני קידוד BCD פשוט הוא שמספר עשרוני יכול להיות משלים לתשע, באותו האופן כמו שמספר בינארי יכול להיות משלים לאחד, כלומר - הפיכת כל הביטים של ספרה, ייתן את הספרה המשלימה ל-9 בייצוג העשרוני.

פעולת החיבור ב־XS-3 משתמשת באלגוריתם שונה מזה של BCD או של מספרים בינאריים רגילים. כאשר מחברים שני מספרים בקידוד XS-3, התוצאה אינה מספר המקודד ב־XS-3. למשל, כאשר מחברים 1 ו־0 בשיטה זו, התשובה המתקבלת היא 4 (במקום 1). כדי לטפל בבעיה, כאשר מסיימים לחבר בין המספרים, מחסרים 3 מהתוצאה אם התוצאה העשרונית קטנה מ־10, ומוסיפים 3 לתוצאה אם התוצאה העשרונית גדולה מ־10.

בינארי

האם התכוונתם ל...

בסיס

האם התכוונתם ל...

בסיס (אריתמטיקה)

במתמטיקה, בסיס (Radix) הוא תחום הספרות הנמצא ביסודה של שיטת ספירה מבוססת מיקום.

הבסיס המקובל לספירה הוא בסיס 10 (הבסיס העשרוני), המשתמש בספרות 0 עד 9. משערים שמקורו של בסיס זה במספר אצבעות הידיים ששימשו כדי להציג מספרים ולחשב אותם. העקרון בכל שיטת ספירה הוא שערכה של ספרה ברצף כלשהו של ספרות נקבע על פי המיקום שלה ברצף. לדוגמה, בבסיס העשרוני, אנו קוראים לספרה הראשונה משמאל לנקודה העשרונית ספרת האחדות, לשנייה ספרת העשרות, לשלישית ספרת המאות וכו'. בדומה, לספרה הראשונה מימין לנקודה העשרונית אנו קוראים ספרת העשיריות, לשנייה ספרת המאיות וכו'.

בבסיס העשרוני מוצג כל מספר, למעשה, כסכום של חזקות של 10. למשל, המספר 1,035.43 מוצג כך:

אולם אין שום דבר "קדוש" במספר 10 דווקא - ניתן לבחור כל מספר טבעי (גדול מ-1) כבסיס לספירה. כך, למשל, בסיס 7 משתמש בספרות 0 עד 6, ומספרים בבסיס זה ניתנים לייצוג באמצעות חזקות של 7. משמעותו של המספר 1,035.437 (האינדקס 7 מציין שזהו מספר בבסיס 7) היא:

העקרון בספירה באמצעות בסיס מסוים k, הוא שכל המספרים מוצגים באמצעות k ספרות שונות בלבד. לדוגמה, בבסיס 2 (בסיס בינארי) קיימות שתי ספרות - 0,1 שבאמצעותן ניתן לייצג כל מספר. במעבר מבסיס כללי K כלשהו לבסיס עשרוני, תיוצג המילה כך:

.

באלקטרוניקה ספרתית ובפרט במחשבים משתמשים בדרך כלל בבסיס 2 (בסיס בינארי) בו יש משמעות לספרות 0 ו-1 בלבד, מכיוון שקל יותר לתכנן מעגלים בעלי שתי רמות לוגיות בלבד (המיצגות מתח נמוך ומתח גבוה, בהתאמה).

מכיוון שהיצוג הבינארי של מספרים הוא ארוך ואינו נוח לשימוש אנושי, ומאידך, ההמרה בינו ובין הבסיס העשרוני אינה נוחה, משתמשים מתכנתי מחשבים, בדרך כלל, בבסיס האוקטלי בן 8 הספרות (23) (0 עד 7) או בבסיס ההקסדצימלי בן 16 הספרות (24) (מיוצגות על ידי הספרות 0 עד 9 והאותיות A עד F).

הבבלים הקדמונים נהגו להשתמש בבסיס 60 (בסיס סקסגסימלי), ששרידים ממנו מופיעים בחלוקת השעה ל-60 דקות וחלוקת הדקה ל-60 שניות, וכן בחלוקת המעגל ל-360 (60×6) מעלות. כדי להימנע מהצורך בשימוש ב-60 ספרות שונות, הם השתמשו בנוסף בשיטת ספירה משנית, של שני סימנים - אחד לעשרות ואחד ליחידות.

מרבית תכונות המספרים הנחקרות במתמטיקה, כגון ראשוניות, אינן תלויות בבסיס שבו נכתב המספר. תוצאותיהן של ארבע פעולות החשבון אף הן אינן תלויות בבסיס שבו נכתב המספר. תכונות מסוימות, כגון היותו של המספר מספר קפרקר, מספר ליישרל או היותו של המספר שבר בעל הצגה סופית כשבר עשרוני, תלויות בבסיס שבו נכתב המספר (לתכונות כאלה לא מיוחסת חשיבות רבה, משום שאינן עוסקות במאפיין מהותי של המספר, אלא במאפיין התלוי בייצוג מסוים שלו).

בסיס דואודצימלי

בסיס דואודצימלי (נקרא גם בסיס 12 או בסיס תריסר) הוא שיטת ספירה המשתמשת ב-12 כבסיס.

בשיטת ספירה זו, הספרה השווה ל-10 בבסיס עשרוני מסומנת A או X, והספרה השווה ל-11 מסומנת B או E. המספר 10 בשיטת ספירה זו (השווה ל-12 בבסיס עשרוני) קרוי "תריסר" והמספר 100 (השווה ל-144 בבסיס עשרוני) קרוי "גרוֹס".

תריסר, שהוא מספר פריק במיוחד, הוא המספר הקטן ביותר שלו 4 מחלקים לא טריוויאליים: 2, 3, 4, 6. מכאן שבסיס דואודצימלי נוח במיוחד לביצוע חישובים אריתמטיים.

מקורו של הבסיס הוא כנראה מספר פרקי האצבעות (למעט האגודל) שיש ביד האנושית, שבתרבויות עתיקות מסוימות נהגו למנות בעזרתם פריטים (בעזרת האגודל כמצביע). כמו כן, יש הסוברים כי בסיס זה הובא לשימוש ונגזר ממספר החודשים בשנה.

השיטה העשרונית

השיטה העשרונית (נקראת גם בסיס דצימלי) היא שיטה מבוססת מיקום להצגת מספרים (שלמים, ובהרחבה גם ממשיים), לפי בסיס 10. בשיטה זו, הרישום מתפרש כסכום . השיטה הומצאה בהודו, החליפה את הכתיבה בספרות רומיות באירופה בסוף ימי הביניים, והיא מקובלת כיום בכל העולם.

חג השילוש הקדוש

חג השילוש הקדוש או יום ראשון של השילוש הקדוש (איטלקית Domenica d. santissimi Trinità) הוא חג נייד בנצרות המערבית והחל ביום ראשון הראשון שלאחר הפנטקוסט (חג השבועות הנוצרי). החג מוקדש כפי ששמו מעיד עליו לדוקטרינה הנוצרית של השילוש הקדוש, לפיה האל האחד מופיע בשלוש ישויות נפרדות, לרוב - האב, הבן (או בן האלוהים) ורוח הקודש.

יום ראשון של השילוש הקדוש הוא יום ראשון הראשון שלאחר עונת הפסחא ובו מתחילה העונה הרגילה (Tempo ordinario) השנייה של לוח השנה הנוצרי, הנמשכת עד עונת הציפיה (l'Avvento) שלפני חג המולד (התקופה הרגילה האחרת היא בין תקופת הציפיה לעונת הפסחא). החג נחוג על ידי כל הכנסיות המערביות, ובמזרח פנטקוסט עצמו הוא גם חג השילוש הקדוש.

החג הונהג על ידי האפיפיור יוחנן העשרים ושניים ב-1334. בעבר נהגו הן הכנסייה הקתולית והן הכנסייה האוונגליסטית לספור את ימי הראשון שלאחר חג זה בהתייחס אליו ("לאחר השילוש"), אך כיום שוב אין שיטת ספירה זו נוהגת בכנסייה הקתולית.

כתב יתדות

כתב יתדות (בלעז: כתב קוניפורמי) הוא שיטת כתב קדומה שהייתה נפוצה באזור מסופוטמיה. סימני הכתב מורכבים מטביעות יתד (מכאן שמו) העשוי ממקל שנלחץ על לוחות חומר (טיט רטוב) ויצרו סימנים שונים המורכבים משילובים שונים של סימני יתדות. הלוחות נשרפו והוקשו ויצרו לוחות חרס. שיטת הכתב הייתה כתב הברתי שכל אות בו מציינת הברה שונה. כך, למשל, הסימן גל יכול לציין מילה שנהגית כך, אבל כחלק ממילה שימש כהברה שנקראת כך בתוך המילה.

השפה האוגריתית נכתבה בכתב יתדות אחר, האלפבית האוגריתי, שהיה אבג'ד.

לפני זמננו

לפני זמננו (אנגלית: before present, תכופות מקוצר לראשי התבות BP) היא ספירת זמן מקובלת במדעים רבים דוגמת ארכאולוגיה פרהיסטורית, פלאונטולוגיה, גאולוגיה ואסטרונומיה. היא משמשת לתיארוך מאורע עתיק, באמצעות מספר השנים שחלפו מאז התרחשותו ועד זמן הווה.

מוטות מנייה

מוטות מנייה שימשו בסין העתיקה לפני המצאת החשבונייה. השיטה שבה מספר מיוצג באמצעות מוטות מנייה קרויה שיטת מספור המוטות. השיטה עושה שימוש במיקום עשרוני. הספרות 1 עד 9 מיוצגות בשני אופנים :

כתלות במיקום שלהם. למשל 126 מיוצג על ידי ⊤=| במקום על ידי ⊤||| . בדרך כלל מוטות אדומים משמשים למספרים חיוביים. מוטות שחורים משמשים למספרים שליליים.

מוטות מנייה יכולים לשמש למגוון רחב של חישובים ביניהם מציאת ערכו של π ופתרון מערכת משוואות ליניאריות. כתוצאה מכך, התו 籌 מקושר תדיר עם הרעיון של התכנון בסינית. למשל, "מדע השימוש במוטות מנייה" 運籌學 אינו אודות מוטות מנייה: משמעותו מחקר מעשי.

בשלב מסוים, התפתחה שיטת ספירה המבוססת על מוטות המנייה אך נכתבת ולא תלויה במוטות עצמם. בשיטה זו התווסף גם המספר אפס בצורת מעגל. לפני הכנסת הספרה 0, לא הייתה דרך להפריד בין 10007 ו-107, למשל, למעט הכנסת רווח גדול יותר בין 1 ו-7, כך שהוספת המספר פישטה את הכתיבה. במאה ה-13, בתקופת שושלת סונג, נוצרה גרסה שונה לספרות המוטות, שברבות הימים התפתחה לספרות הסוג'ואו.

ספרה

סִפרה היא סמל שמשמש לייצוגם של מספרים, בדומה לאופן שבו אות משמשת לייצוג של מילים. כל ספרה בודדת מייצגת מספר שלם מסוים, ומספרים שלמים שאינם מיוצגים על ידי ספרה בודדת, כמו גם מספרים לא-שלמים, מיוצגים באמצעות שימוש בספרות אחדות הכתובות ברצף.

ספרות יווניות

ספרות יווניות הוא שמה של שיטת ספירה שמוצאה ביוון העתיקה, המשתמשת באלפבית היווני. שיטה זו עדיין בשימוש ביוון המודרנית לציון מספרים סודרים, דהיינו באותם מקרים בהם משתמשים בספרות רומיות במערב אירופה ובארצות הברית. למספרים מונים משתמשים ביוון בספרות הודיות-ערביות.

ספרות מצריות

ספרות מצריות עומדות בבסיס שיטת הספירה המצרית העתיקה.

ספרות סוג'ואו

ספרות סוג'ואו (בסינית: 蘇州碼子, בפין-יין: sūzhōu mǎzi, "סוג'ואו מָדְזְה") או חְווָאמָה (בסינית: 花碼, בפין-יין: huāmǎ; מילולית: 'מספרים פרחוניים' או 'מספרים מקושטים') היא שיטת ספירה שהייתה בשימוש נרחב בסין בטרם חדרה לסין שיטת הספרות ההודו-ערביות.

שיטת ספרות סוג'ואו היא הגרסה היחידה של ספרות מוטות שנמצאת בשימוש מסוים כיום. מערכת ספרות המוטות היא שיטת ספירה שהסינים עשו בה שימוש, המבוססת על מיקומם של המוטות. ספרות סוג'ואו הן ואריאציה על שיטת ספרות המוטות של תקופת שושלת סונג.

בספרות סוג'ואו נעשה שימוש כקצרנות בתחומי מסחר עתירים במספרים כדוגמת חשבונאות וניהול ספרים. לעומת זאת, בספרות סיניות תקניות נעשה שימוש במסמכים רשמיים, בדומה לאיות המספרים בעברית. ספרות סוג'ואו היו פעם פופולריות בשוקי סין, כדוגמת אלו של הונג קונג לפני 1990, אבל הן הוחלפו בהדרגה במערכת הספרות ההודו-ערבית. המערכת הסינית דומה לספרות רומיות בהן נעשה שימוש באירופה בעת העתיקה ובימי הביניים עבור מתמטיקה ומסחר. כיום נעשה שימוש במערכות ספרות סוג'ואו רק על מנת להציג מחירים בשווקים סיניים או על קבלות מסורתיות הכתובות בכתב יד.

ספרות עבריות

מערכת הספרות העבריות משמשת בשיטת ספירה שהספרות מסומנות בה באותיות האלפבית העברי. בשיטה זו ניתנות אותיות, על פי סדר האלפבית, לכל המספרים מאחד עד עשר, לאחר מכן לכל הכפולות של 10 עד 90, ולאחר מכן לכל הכפולות של מאה עד ארבע מאות.

השיטה הייתה נפוצה בעבר בקרב דוברי עברית, בטרם הוכנסו לשימוש הספרות ההודיות-ערביות. לשיטה שימושים גם בימינו, כשהשימושים העיקריים הם בציון תאריכים עבריים ובגימטריה.

בסיס 32 יכול להיכתב עם כל האותיות העבריות וכל הספרות ההודיות-ערביות (גימטריה פוזיציונלית).

ערכו המספרי של צירוף אותיות נקבע על ידי סיכום ערכיהן של כל האותיות בצירוף. לדוגמה, הצירוף רמ"ח שווה ל-200+40+8=248. עבור מספרים הקטנים מחמש מאות, די בשלוש אותיות לכל היותר - אחת למאות, אחת לעשרות ואחת לאחדות. על מנת להשיג מספרים הגדולים מחמש מאות מוסיפים ספרת מאות נוספת. לדוגמה, תשס"ו=400+300+60+6=766. לעיתים רחוקות יותר משתמשים גם בחמש האותיות הסופיות, על פי סדר הופעתן באלף בית, לציון המאות 500 - 900.

על מנת לספור אלפים, נהוג לכתוב את מספר האלפים מימין לשאר המספר. כך לדוגמה ה'תשס"ו מייצג את 5,766 (ה' פעמים אלף, כלומר 5,000, ואחר כך תשס"ו, המייצג את 766). הדבר עלול לגרום לדו משמעות, אך לרוב הכוונה ברורה מההקשר. כאשר כותבים את השנה הנוכחית נהוג לרוב להשמיט את מספר האלפים.

קיימות מספר שיטות הדומות למערכת הספרות העבריות. לדוגמה, הספרות היווניות. בדומה מערכת הספרות העבריות היא שיטת ספירה שאינה פוזיציונלית, כלומר ערכה של הספרה אינו תלוי במיקומה, ולכן את המספרים 4, 40, 400 מייצגות שלוש אותיות שונות: ד', מ', ת' בהתאמה. שיטה כזו אינה נוחה לעריכת ארבע פעולות החשבון (ובוודאי אינה נוחה לפעולות מורכבות יותר). אברהם אבן עזרא, שהיה מראשוני המשתמשים באירופה (שמחוץ לספרד) בשיטה העשרונית, השתמש באותיות העבריות א - ט לציון הספרות 1 - 9, ואת האפס ציין באמצעות עיגול.

ספרות קיריליות

ספרות קיריליות היא שיטת ספירה המבוססת על האלפבית הקירילי, אשר משמש מספר עמים סלאביים. הספרות הקיריליות שימשו ברוסיה עד המאה ה-17, אז החלו להשתמש במקביל גם בספרות הודיות-ערביות, ובין השנים 1700–1719 החליף הצאר פטר הגדול באופן סופי את הספרות הקיריליות בספרות הודיות-ערביות.

בדומה לשיטת הספרות הרומיות, הספרות הקירליות מכילות את המספרים 1–9 וכפולותיהם, אך אינן מכילות את הספרה 0 – לא לציון המספר אפס ולא כשומר מקום בכתיבת שמות של מספרים באמצעות ספרות.

ספרות רומיות

ספרות רומיות הוא שמה של שיטת ספירה שמוצאה ברומא העתיקה, משם התפשטה לשאר חלקי העולם התרבותי של אז, עד אשר הוחלפה בשיטת הספרות ההודיות-ערביות בשל פשטותה ונוחות השימוש בה ביחס לשיטה הרומית.

כיום, הספרות הרומיות נותרו לשימוש בעיקר כאמצעי דקורטיבי, למשל בשעונים. בנוסף, הן מופיעות גם בטקסטים רשמיים כגון חוקת ארצות הברית, במרשמים רפואיים ולשם מספור רשימת פריטים או סעיפים קצרה או למספור מקבץ עמודים מועט, דוגמת הקדמה של ספר.

שבר מחזורי

במתמטיקה, שבר מחזורי הוא ביטוי אינסופי הכתוב כשבר עשרוני על-פי השיטה העשרונית או שיטת ספירה אחרת, שבו הספרות שמימין לנקודה העשרונית חוזרות על עצמן ממקום מסוים ואילך. לדוגמה, . ביטוי כזה מייצג מספר רציונלי, כלומר, מנה של שני מספרים שלמים (הקרויה גם שבר).

את המחזור מקובל לציין בקו מחבר מעל לספרות החוזרות: כותבים במקום , ו- במקום .

לכל מספר רציונלי חיובי יש הצגה כביטוי עשרוני , שבו הוא מספר שלם, ואילו המופיעים אחרי הנקודה הם ספרות מהקבוצה . בהנחה שהשבר מצומצם, יש לו הצגה סופית (כזו שבה הספרות שוות לאפס ממקום מסוים ואילך) אם ורק אם מחלק חזקה כלשהי של 10; בכל מקרה אחר, יש לו הצגה (יחידה) כשבר מחזורי. טענה זו נכונה בכל בסיס: הפיתוח הוא סופי אם ורק אם המכנה מחלק חזקה כלשהי של הבסיס, ואחרת הפיתוח מחזורי (השבר 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} , למשל הוא שבר מחזורי בשיטה העשרונית, אך יש לו הצגה סופית בבסיס טרנרי, שבו ערכו 0.1).

את השבר המחזורי אפשר להציג גם כביטוי עשרוני סופי - הוא שווה ל-1. כך הדבר בכל שבר מחזורי שבו המחזור מורכב מן הספרה 9 (ובבסיס b, בכל שבר מחזורי שבו המחזור מורכב מן הספרה b-1). להרחבה בנושא ראו 0.999....

המחזור אינו מתחיל בהכרח בספרה הראשונה שמימין לנקודה העשרונית - השבר , למשל, נכתב בצורה ...0.16666, כלומר המחזור שלו כולל את הספרה 6, שמופיעה החל מהמקום השני מימין לנקודה.

ספרות
ספרות הודיות-ערביותספרות ערביותספרות ארמניותספרות בבליותספרות ברהאמיניות • ספרות אטרוסקיות • ספרות עבריות • ספרות חמר • ספרות יווניות • ספרות אטיקות • ספרות יפניות • ספרות מאיהספרות מצריותספרות סיניותספרות סוג'ואו • ספרות קוריאניות • ספרות קיריליותספרות רומיות
בסיסי ספירה
בסיס אונריבסיס בינאריבסיס אוקטליהשיטה העשרוניתבסיס דואודצימליבסיס הקסדצימליבסיס ויגסימליבסיס סקסגסימלי

דף זה בשפות אחרות

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.