קובייה

קובייהיוונית: הֶקְסַאהֶדְרוֹן) היא פאון משוכלל בעל 6 פאות ריבועיות הניצבות כל אחת לכל שכנותיה. לקובייה יש 8 קודקודים ו- 12 מקצועות שווים באורכם.

הסימטריות הרבה של הקובייה מתבטאת בכך שחבורת הסימטריות שלה היא מסדר 24 (החבורה איזומורפית לחבורת התמורות ), והיא פועלת טרנזיטיבית על הקודקודים, על הצלעות ועל הפאות. חבורת הסימטריות של השלד של הקובייה, שהוא הגרף המורכב מן הקודקודים והצלעות בלבד, היא מסדר 48; לסימטריות הקודמות נוסף גם היפוך מבפנים-החוצה, שאינו אפשרי בקובייה מלאה.

הקובייה מופיעה באופן טבעי במערכת צירים קרטזית, משום שהיא כדור היחידה של נורמת-אינסוף על המרחב האוקלידי התלת-ממדי.

קובייה היא מקרה פרטי של מקבילון, תיבה ומעוינון.

Hexahedron
קובייה (הקסהדרון)

תכונות גאומטריות

Cubo desarrollo
משִּשָּה ריבועים לקובייה. ההנפשה ממחישה את הקשר בין הפריסה הדו-ממדית של הקובייה, לקובייה עצמה.
The 11 cubic nets
אחת עשרה הפריסות האפשריות של הקובייה. מדובר בפריסות המשמרות את צורת הפאות.
Cubic honeycomb
ריצוף המרחב בעזרת קוביות. האיור ממחיש שריג מרחבי הבנוי מאין ספור תאים זהים שצורתם קובייה, צמודים זה לזה, ללא חללים ביניהם.

קובייה אפשר לאפיין באמצעות פרמטר אחד בלבד, למשל אורך אחד המקצועות: כל הקוביות שיש להן מקצועות שווים באורכם, חופפות זו לזו. באותה מידה ניתן לאפיין קובייה באמצעות שטח אחת הפאות שלה, שטח הפנים שלה או הנפח שלה.

בקובייה בעלת מקצוע מתקיים:

  • שטח כל פאה הוא .
  • שטח הפנים הוא .
  • הנפח הוא .

אם קובייה כזו תמוקם במערכת צירים קרטזית באופן שמרכזה בראשית הצירים, ומקצועותיה מקבילים לצירים, אזי קדקודיה ימצאו בקואורדינטות: .

אם , הקובייה נקראת קוביית יחידה.

הצורה הדואלית של הקובייה, כלומר הפאון שיתקבל מחיבור בין מרכזי כל הפיאות, היא תמניון.

לקובייה יש אחת עשרה פריסות, המשמרות את צורת הפאות הריבועיות שלה. במילים אחרות, קיימות אחת עשרה דרכים להשטיח קובייה חלולה על ידי חיתוך שבעה ממקצועותיה.

קובייה היא הפאון האפלטוני היחיד (אך לא הפאון היחיד) שניתן לרצף בעזרתו את המרחב. כלומר: על ידי הצמדת קוביות רבות זו לזו מכל הכיוונים, כך שריבועיהן חופפים אלה לאלה, ניתן למלא את המרחב בקוביות בלי להשאיר חלל ריק ביניהן. תכונה זו חלה על הקובייה בלבד מבין הפאונים האפלטוניים משום שזהו הפאון היחיד מביניהם שהזווית הדו-מישורית שלו היא מחלק של 360°.

שימושים באנליזה במרחבים גבוהי ממד

באמצעות קוביות אינפיניטסימליות מחשבים נפחים של גופים תלת-ממדיים כלשהם (כולל כדורים, גלילים, פאונים וגופי סיבוב למיניהם). ראו עוד: אנליזה וקטורית

שימושים בחיי היום-יום

  • קוביית משחק: קובייה בעלת 6 פאות המשמשת במשחקים כאלמנט לקביעת החלטות אקראיות והכנסת ממד של מזל ואקראיות למשחק. במשחקי תפקידים שולחניים יש שימוש ב"קוביות" משחק בעלות יותר מ-6 צדדים. אין הן קוביות בצורתן הגאומטרית, אך השם השתרש לשימוש גם בהתייחסות אליהן.
  • קובייה הונגרית: פאזל מכני. קוביית פלסטיק שכל אחת משש הפאות שלה מחולקת לתשעה ריבועים שווים, היכולים לנוע ולהחליף מקומות אלו עם אלו. צדי הקובייה מכוסים לרוב במדבקות בשישה צבעים שונים, אחד לכל צד של הקובייה. כאשר הפאזל פתור, כל צד של הקובייה מורכב מצבע אחד בלבד.
  • גבישי סוכר מסתדרים בצורת קובייה.
  • Rubik's cube

    קובייה הונגרית.

Rubik's cube

קובייה הונגרית.

ראו גם

קישורים חיצוניים

חמשת הפאונים האפלטוניים
Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
ארבעון
(טטרהדרון - 4 פאות)
קובייה
(קובייה - 6 פאות)
תמניון
(אוקטהדרון - 8 פאות)
תריסרון
(דודקהדרון - 12 פאות)
עשרימון
(איקוסהדרון - 20 פאות)
אבטיח

אֲבַטִּיחַ (שם מדעי: Citrullus lanatus) הוא מין של שיח שרוע חד-שנתי ממשפחת הדלועיים שפרותיו משמשים למאכל.

מוצאו של האבטיח באפריקה המשוונית והדרומית. אף על פי שהאבטיח התרבותי אוגר כמות מים גדולה בפירותיו, הוא גדל ללא השקיה בתנאי בעל. פרחי האבטיח גדולים ובודדים, וצבעם צהוב בהיר. הפריית האבטיח נעשית על פי רוב על ידי חרקים, בעיקר דבורים.

פרי האבטיח הוא ענבה גדולה המכילה זרעים רבים. טעמו, מתוק ועסיסי. משקל הפרי מגיע עד 20 ק"ג ורובו (כ-92%) עשוי מים.

צבע הירק ירוק מבחוץ ואדום או ורוד מבפנים. ניתן גם למצוא אבטיח עם קליפה או ליבה צהובה.

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם

הבעיות הגאומטריות של ימי קדם הן בעיות בנייה שנוסחו על ידי היוונים הקדמונים, והעסיקו מתמטיקאים במשך מאות שנים. הבעיות הן:

הכפלת הקובייה: בניית קובייה שנפחה כפול מזה של קובייה נתונה

בניית ריבוע השווה בשטחו לעיגול נתון

שילוש זווית: חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים

בניית מצולע משוכלל בן שבע צלעותאת כל הבניות יש לבצע במסגרת כללי המשחק של הגאומטריה, כלומר באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה בלבד.

רק במאה התשע-עשרה הושם קץ לניסיונות לפתור בעיות בנייה אלה, כאשר הוכח בעזרת תורת גלואה שהן לא פתירות, כלומר אין דרך לבצע את הבניות הנדרשות. עד למועד זה תרמו הניסיונות לפתרון בעיות אלה להתפתחותה של הגאומטריה.

כמוצא זמני מחוסר היכולת לפתור בעיות אלה בכלים המצומצמים של הבנייה הגאומטרית (סרגל ומחוגה), המציאו היוונים כלים משוכללים המאפשרים את ביצוע הבנייה הנדרשת.

בעיה נודעת נוספת, בעלת אופי שונה והשפעה מרחיקת לכת על הגאומטריה העתיקה והמודרנית, היא הבעיה של הוכחת אקסיומת המקבילים, האקסיומה החמישית של אוקלידס, מתוך האקסיומות האחרות.

היפרקובייה

היפרקובייה היא הכללה של הצורה הגאומטרית קובייה לממדים רבים. למרות שנהוג להשתמש במושג היפרקובייה ביחס לקובייה ממימד גבוה מ-3, הגדרתה הפורמלית של היפרקובייה מתייחס לכל מימד, מ-0 ומעלה.

הקובייה המצויה היא היפרקובייה מממד 3. ריבוע הוא היפרקובייה מממד 2, וקטע הוא היפרקובייה מממד 1. הטסרקט הוא היפרקובייה מממד 4.

לחץ

לחץ בפיזיקה הוא סקלר המייצג יחס בין כוח לבין יחידת שטח עליה הוא מופעל במאונך.

לחץ יכול להיות מוגדר גם בתוך חומר, כאשר אין משטח ממשי שעליו פועל כוח. בנוזלים ובגזים, לחץ הוא הכוח שיוצרת התנגשות של מספר רב של מולקולות החומר על דפנות הכלי שבו הוא מוכל. הלחץ במקרה זה מוגדר ככוח החיצוני שפועל על פאה של קובייה קטנה בתוך החומר, חלקי שטח הפאה.

מדידת לחץ אטמוספירי מאפשרת חיזוי מזג אוויר ומציאת גובה מעל פני הים. חישובי לחץ משמשים בכל תחומי ההנדסה (למשל בהנדסת בניין, הנדסת מכונות והנדסת רכב), ובמדע בתחומים רבים.

מטר מעוקב

מטר מעוקב (מ"ק) (m³) או קוּבּ הוא יחידת מידה לנפח בשיטה המטרית, ששווה לנפחה של קובייה שאורך צלעה מטר אחד – "מעוקב" במשמעות "קובייה", בעל שלושה ממדים. כיוון שליטר הוא יחידת נפח של קובייה שאורך צלעותיה 10 ס"מ, מטר מעוקב מכיל 1,000 ליטר. מטר מעוקב של מים מזוקקים בטמפרטורה של 4° צלזיוס שוקל טוֹנָה אחת.

יחידות מידה נוספות לנפח המבוססות על השיטה המטרית הן:

סנטימטר מעוקב (סמ"ק) (cm³): מיליונית (1/1,000,000) של מטר מעוקב.

מילימטר מעוקב (mm³): מיליארדית (1/1,000,000,000) של מטר מעוקב (אלפית של סנטימטר מעוקב).

דצימטר מעוקב (dm³): אלפית (1/1,000) של מטר מעוקב, או 1 ליטר.

דציליטר (dL): עשירית הליטר, 100 סמ"ק.

מיליליטר (mL): אלפית הליטר, סמ"ק אחד.

מיקרוליטר (µL): מיליונית הליטר, מילימטר מעוקב אחד.

מלמ"ק (מיליון מטר מעוקב). יחידת זו משמשת למדידת נפח נוזלים במערכות גדולות, כגון במערכות מים וביוב.דוגמה: שטח הכנרת הוא 170 קמ"ר, ולכן עלייה של סנטימטר אחד במפלס הכנרת מוסיפה לכנרת 1.7 מלמ"ק מים.קילומטר מעוקב (קמ"ק) או מיליארד מטר מעוקב (מסומן: Gm³). יחידה זו משמשת למדידת קיבולות של אגמים, ימות וכו'.דוגמה: עומקה הממוצע של הכנרת הוא 25.6 מטרים, והנפח שלה הוא כ-4.5 קילומטר מעוקב.

מלבן

בגאומטריה, מלבן הוא מרובע שבו כל הזוויות ישרות.

מלבן הוא מקרה פרטי של מקבילית ושל טרפז שווה-שוקיים. מלבן בעל זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.

אורכו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הארוכות יותר, ורוחבו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הקצרות יותר.

מעוין

מעוין הוא מבנה גאומטרי של מרובע שווה-צלעות.

זהו מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית. ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.

פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".

מצולע משוכלל

בגאומטריה, מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות.

משושה

מְשֻׁשֶּׁה (Hexagon, הֶקְסָגוֹן) הוא מצולע בעל שש צלעות. סכום כל זוויותיו הפנימיות הוא 720 מעלות. כל משושה הוא בעל תשעה אלכסונים שיוצרים שישה משולשים.

הצרפתים מכנים לעיתים את צרפת "המשושה" בגלל צורתה שנראית כמו משושה.

נפח

נפח הוא תכונת מדידה של עצם המאופיינת בהשתרעותו על פני יותר משני ממדים. מידת הנפח של עצם היא כמות המקום התפוסה על ידיו במרחב תלת-ממדי. בשפת הדיבור, כאשר מתייחסים לנפח של כלי קיבול (כמו בקבוק, דלי, משורה), מתכוונים לקיבולת שלו ולא לנפח שתופס הכלי עצמו. ביחידות מערכת היחידות הבינלאומית הפיזיקליות, הנפח נמדד במטרים מעוקבים.

הנפח של קובייה בעלת אורך צלע הוא . את הנפח של גופים מסובכים יותר אפשר לחשב באמצעות "שיטת המיצוי" שהמציא ארכימדס, שעל-פיה מחלקים את הגוף למרכיבים אינפיניטסימליים שנפחם ידוע, ומחברים את הנפחים. מנקודת מבט מודרנית, זוהי אינטגרציה נפחית על הגוף....

תורת המידה המתמטית מכלילה את מושג הנפח התלת-ממדי (ואת מושג השטח הדו-ממדי) לאופנים כלליים יותר של שיוך "מידה" למקומות או עצמים במרחב. על-פי גישה זו, הנפח של גוף חד-ממדי, כגון קו, או לגוף דו-ממדי, כגון ריבוע, הוא אפס. את תורת המידה מגביל הפרדוקס של בנך-טרסקי, המראה שאי אפשר להגדיר באופן עקבי את הנפח של כל הגופים המרחביים.

פאון

פֵּאוֹן (או ביוונית: פוליהדרון, באנגלית: Polyhedron) הוא גוף תלת-ממדי המורכב מפאות, היוצרות יחד גוף קשיר, חסום וסגור. המונח "פאון" מתייחס גם לגופים בעלי תכונות דומות מממד גבוה יותר (הגם שבאנגלית גוף תלת-ממדי נקרא polyhedron, ופאון כללי הוא polytope).

ישנם 5 סוגי פאונים משוכללים (תלת-ממדיים), הנקראים גם "פאונים אפלטוניים": טטרהדרון (פירמידה משולשת בעלת 4 פאות משולשות) קובייה (בעלת 6 פאות ריבועיות), אוקטהדרון (בעל 8 פאות משולשות), דודקהדרון (בעל 12 פאות מחומשות) ואיקוסהדרון (בעל 20 פאות משולשות).

קבוצת נוספת של פאונים הדומים לפאונים האפלטוניים היא הפאונים הארכימדיים. בקבוצה זו יש שלושה-עשר פאונים, מהם שניים בעלי כיווניות ימנית או שמאלית, וביחד 15 פאונים שונים (עד כדי דמיון במרחב).

מנסרה, פירמידה מרובעת ופאונים נוספים אינם נחשבים פאונים משוכללים משום שאינם בנויים מפאות זהות.

בשנת 1900 פרסם דויד הילברט את רשימת 23 הבעיות שלו, שרובן הפכו לאבני דרך חשובות בהתפתחות המתמטיקה. הבעיה השלישית של הילברט שואלת האם אפשר לעבור מפאון נתון לכל פאון שווה שטח אחר, באמצעות חיתוך והרכבה. בעיה זו נפתרה זמן קצר אחר-כך (ומשום כך נחשבת לבעיה הקלה ביותר מבין הבעיות של הילברט) על ידי תלמידו, מקס דן, שהוכיח כי התשובה שלילית.

פאון משוכלל

בגאומטריה של המרחב, פֵּאוֹן משוכלל הוא גוף קמור המוגבל על ידי מצולעים משוכללים, כך שבכל קודקוד שלו נפגש מספר שווה של מקצועות ולכל פאה מספר שווה של פאות שצמודות לה. קיימים חמישה פאונים משוכללים: ארבעון, קובייה, תמניון, תריסרון ועשרימון.

קובייה הונגרית

קובייה הונגרית (בהונגרית: Rubik-kocka) היא פאזל מכני אשר הומצא בשנת 1974 על ידי הפסל והפרופסור לאדריכלות ההונגרי ארנו רוביק. הקובייה ההונגרית היא קוביית פלסטיק שכל אחת משש הפאות שלה מחולקת לתשעה ריבועים שווים, היכולים לנוע ולהחליף מקומות אלו עם אלו.

צדי הקובייה מכוסים לרוב במדבקות בשישה צבעים שונים, אחד לכל צד של הקובייה. כאשר הפאזל פתור, כל פאה של הקובייה מורכבת מצבע אחד בלבד. שיא העולם של פתירת הקובייה הוא 3.47 שניות. השיא הושג על ידי יושנג דו (Yusheng Du) בשנת 2018.הקובייה ההונגרית, אשר שווקה לציבור הרחב לראשונה בשם קוביית הקסם, יצאה מחדש במאי 1980 בשם קוביית רוביק על שם ממציאה ההונגרי. היא ידועה בשם זה ברוב שפות העולם, אם כי בעברית היא נקראת על שם מדינת המוצא. היא נחשבת לצעצוע הנמכר ביותר בהיסטוריה,[דרוש מקור] עם מספר מכירות של כ-300 מיליון קוביות מקוריות וחיקויים.

המשחק צבר פופולריות רבה, וישנן גם גרסאות שבהן כל פאה מחולקת ל: 2×2, 4×4, 5×5, 6×6, 7×7, 8x8 ריבועים בכל פאה ואף יותר. בנוסף קיימים דגמים בצורות גאומטריות שונות, כמו משולש.

קוביית משחק

קוביית משחק היא אביזר בצורת קובייה המשמשת לצורכי משחק. בקוביית המשחק הטיפוסית, מסומנת כל אחת מ-6 הפאות שלה במספר, המיוצג על ידי ספרה או על ידי נקודות במספר המתאים (שלוש נקודות מסמנות את המספר 3, לדוגמה).

סידור המספרים על גבי הפאות הוא כזה, שסכום המספרים (או הנקודות) על כל שתי פאות מנוגדות הוא 7 (כלומר הספרה 1 תופיע על הפאה הנגדית לפאה המכילה את הספרה 6, 2 תהיה 'מול' 5, ו-3 'מול' 4).

קוביות משחק משמשות לקביעת אקראיות במשחקים שונים. בהימורים משמשות הקוביות כדי לקבוע מי ניצח במשחק, במשחקי לוח ובמשחקי קופסה נהוג להשתמש בקוביות כדי לקבוע כמה צעדים שחקן נע. במשחקי תפקידים לקוביות תפקיד חשוב של החדרת אקראיות לאירועים בעולם המשחק.

ריבוע

בגאומטריה, ריבוע הוא מרובע משוכלל. בריבוע יש ארבע צלעות שוות וארבע זוויות שוות. זוויות אלה הן זוויות ישרות.

ריבוע הוא מקרה פרטי של מרובע, טרפז (בהגדרה הרחבה שלו), מקבילית, מלבן, דלתון ומעוין. לריבוע יש השטח המקסימלי מבין המרובעים עם היקף נתון, והיקף מינימלי מבין המרובעים עם שטח נתון.

תורת ההסתברות

תורת ההסתברות היא ענף של המתמטיקה המשמש לניתוח כמותי של מאורעות שיש בהם אקראיות וחוסר ודאות, כגון ההסתברות שבהטלת שתי קוביות יצא הצירוף 6/6.

לתורת ההסתברות חשיבות רבה כבסיס לסטטיסטיקה, לתורת המשחקים, לעיבוד אותות, לאלגוריתמיקה, לתורת התורים, לכלכלה, לתורת האינפורמציה ולתחומים רבים נוספים.

תיבה (גאומטריה)

בגאומטריה של המרחב, תיבה היא פאון תלת-ממדי בן שש פאות, שכולן מלבנים.

אף שצורת התיבה נדירה בטבע, היא נוחה מאוד לשימושים תעשייתיים, למשל משום שאפשר לרצף בה חללים מרחביים בקלות יחסית. לתיבות אריזה, ספרים, חדרים בבניין ובניינים, יש בדרך כלל צורת תיבה.

תיבה היא מקרה פרטי של מקבילון. תיבה שכל פאותיה הן ריבועים נקראת קובייה.

תמניון משוכלל

תְּמָנְיוֹן משוכלל (גם אוֹקְטָהֶדְרוֹן או אוקטאדר) הוא פאון בעל 8 פאות משולשות שוות צלעות, 6 קודקודים ו-12 מקצועות. את התמניון המשוכלל, הקרוי גם דו-פירמידה ריבועית, אפשר לבנות משתי פירמידות ריבועיות שפאותיהן הצדדיות הן משולשים שווי-צלעות, אשר חוברו בבסיסיהן. התמניון המשוכלל הוא אחד מחמשת הפאונים המשוכללים, הקרויים גם "הגופים האפלטוניים". הפאון הדואלי, המתקבל מחיבור המרכז של כל פאה עם מרכזי הפאות הסמוכות לה, הוא קובייה.

אם נסמן את אורך מקצועו של התמניון המשוכלל ב-a, אזי:

מצולעים ופאונים
מושגים מצולעפאוןקודקודצלעמקצועפאהזווית חיצוניתאלכסון
מצולעים
לפי מספר צלעות משולשמרובעמחומשמשושהמשובעמתומן
משולשים משולש ישר-זוויתמשולש שווה-שוקייםמשולש שווה-צלעות
מרובעים מקביליתטרפזטרפז שווה-שוקייםמרובע ציקלידלתוןדלתון ריצוףמעויןמלבןריבוע
כוכבים פנטגרםמגן דודאניאגרם
תכונות מצולע משוכללמצולע שווה-צלעותמצולע קמורכוכב
פאונים
פאונים משוכללים ארבעון • קובייה • תמניוןתריסרוןעשרימון
פאונים ארכימדיים ארבעון קטוםקובוקטהדרוןקובייה קטומהתמניון קטום • רומביקובוקטהדרון • קובוקטהדרון קטום • קובייה מסותתת • איקוסידודקהדרון • דודקהדרון קטום • איקוסהדרון קטום • רומביקוסידודקהדרון • איקוסידודקהדרון קטום • דודקהדרון מסותת
פאונים אחרים פירמידהמנסרהאנטי-מנסרהמקבילוןמעוינוןתיבהאיקוסיטטרהדרון
תכונות פאון משוכללפאון משוכלל למחצהפאון ארכימדי
הכללות
הכללות סימפלקסהיפרקובייהטסרקט

דף זה בשפות אחרות

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.