פיתגורס

פיתגורסיוונית: Πυθαγόρας) ‏(582 לפנה"ס בקירוב- 496 לפנה"ס בקירוב) היה פילוסוף ומתמטיקאי יווני, מייסד האסכולה הפיתגוראית. כיום מוכר שמו בעיקר בזכות משפט פיתגורס.

פיתגורס
Πυθαγόρας ὁ Σάμιος
Kapitolinischer Pythagoras adjusted
זרם האסכולה הפיתגוראית, תאוריית המוזיקה
השפיע על אמפדוקלס, ארכיטאס, פלוטינוס, יאמבליכוס , ברטראנד ראסל, היפאסוס
פיתגורס כמתמטיקאי
Πυθαγόρας
ענף מדעי מתמטיקה
תרומות עיקריות
משפט פיתגורס. במסורת הרומית, המאוחרת יותר, זכה פיתגורס למעמד של ממציא המתמטיקה ומחבר לוח הכפל.

חייו

פיתגורס נולד באי סאמוס, בן לסוחר מצור בשם מנסכרוס ולאם ילידת המקום. בצעירותו עזב את עירו, כנראה מאימת הטיראן פוליקרטס, והחל במסעותיו ביוון, שבמהלכם ביקר בין השאר בכרתים ובספרטה. מקורות מסוימים מציינים שביקר גם בבבל, אך קשה לאמת טענה זו, שכן ביקורים במקומות אלה, שהיו מתקדמים מאוד במתמטיקה ואסטרונומיה, יוחסו למשכילים רבים.

לאחר שנות המסע חזר פיתגורס לאי מולדתו, סאמוס. הוא התכוון להקים שם בית ספר ללימודי פילוסופיה, שבו יחקרו חוקים מתמטיים שונים, אולם לא הצליח בכך. בית הספר אכן הוקם באופן זמני, אך בעקבות דעותיו הליברליות הוא אולץ לגלות מן המקום.

בשנת 529 לפנה"ס התיישב בקרוטון (Κρότων), מושבה יוונית בדרום איטליה, והקים סביבו את האסכולה הפיתגוראית - קהילה דתית-פילוסופית שנמנתה עם הפילוסופים הקדם-אליאטים. הפיתגוראים האמינו כי ניתן לתאר את כל העולם ביחסים מתמטיים בין מספרים טבעיים, ודגלו באורח-חיים של פשטות המוקדש לעיון והתבוננות, ובצמחונות. הייתה זו אגודת תלמידים מבני האצולה המקומית, שכללה גברים ונשים כאחד - החלטה יוצאת דופן בתרבות היוונית, שבה נשים מעטות מאוד עסקו בלימודים גבוהים.

חברי האגודה הקפידו על סדר קבוע של אימון גופני, קריאה לימוד פילוסופיה, מתמטיקה, אסטרונומיה ומוזיקה וכן תזונה נכונה, ובהקשר זה נקשר שמו אל גביע פיתגורס המאלץ את המשתמש בו לשתות יין במתינות כחלק מתזונה נכונה. האגודה צברה השפעה רבה על קרוטון ועל סביבתה, אבל קנתה לה גם אויבים רבים, ובעקבות סכסוך עם מתנגדיה, שבו הוצת מקום המפגש של הקהילה הפיתגוראית, ורבים מחבריה נהרגו, נאלץ פיתגורס לגלות למטאפונטום, שם נשאר עד מותו.

רבות הן הגרסאות בכל הקשור למותו של פיתגורס, האסכולה המיוחסת למותו, מספרת על גרסה אחרת בה בעקבות אי קבלת אחד מהנבחנים כדי להתקבל לחבורה הפיתגוראית, ובעקבות מהומות שכבר התקיימו בעיר, הוצת מקום המפגש של החבורה הפיתגוראית כאות נקמה, רוב התלמידים הצליחו לברוח אך מעט מן התלמידים ובתוכם פיתגורס עצמו מצאו את מותם.[1]

על פי אחת הגרסאות, לאחר מותו קיבלה לידיה תיאנו, בתו של מדען, מתמטיקאית ופילוסופית מחוננת - שיש הטוענים שהייתה אשתו של פיתגורס - את ניהול ענייני האסכולה. תיאנו, שהייתה צעירה מפיתגורס בכ-36 שנה, הייתה אחת מתלמידותיו הבולטות. יש הטוענים שחלק מההישגים המיוחסים לפיתגורס היו בעצם שלה, אולם עקב מעמדן של הנשים באותה תקופה כמו גם הנוהג לחתום את עבודות התלמידים בשם מורם, הם יוחסו לפיתגורס. פיתגורס היה דתי אדוק עד שהחל בפיתוח הקֱרירה הפילוסופית.

משנתו

Sanzio 01 cropped
פילוסופיה יוונית
פילוסופיה קדם-סוקרטית
פילוסופיה קדם-אלאטית
האסכולה המילטית
האסכולה הפיתגוראית
האסכולה האלאטית
האסכולה הפלורליסטית
האסכולה האטומיסטית
סופיזם
סוקרטס
אפלטון
פלאטוניזם
נאופלאטוניזם
אריסטו
האסכולה האפיקוראית
האסכולה הסטואית
ציניקנים

המקורות - אמרות וכתבים

לא ברור אם הותיר אחריו כתבים, אבל לא השתמרו כתבים שניתן לייחס לו. בעת העתיקה נפוצו כמה כתבים שיוחסו לו, אך הוגים כאריסטו, למשל, הטילו ספק במהימנותם. תלמידיו נהגו לצטט אמרות משלו, באופן הרומז על אופי של מסורת שבעל-פה, מכאן מקור הביטוי Ipse dixit .

שיטת הלימוד הפיתגוראית התבססה על שאלות ותשובות. חלק מדבריו של פיתגורס פשוטים ויומיומיים, כמו הנחיות להנחת הנעליים לפני השינה, או הדרך הנכונה להדליק אש. אך חלק מדבריו פחות, כמו השאלה "מהו האורקל מדלפי".

בחלק מהמקורות נטען שפיתגורס אסר על תלמידיו לאכול שעועית, בשל המשפט "הימנעו משעועית".[2] ואולם, חלק מהחוקרים סבורים שפיתגורס לא התכוון לשעועית כפשוטה, אלא לשימוש שנעשה בה להצבעה בערים יווניות באיטליה. אם כך, הזהיר פיתגורס את תלמידיו להימנע מהצבעה, כלומר מעיסוק בפוליטיקה.

הקרבה לרעיונות האורפיים

בהרבה מתפיסותיו המיסטיות היה פיתגורס קרוב לכת האורפית, שהחלה להתפתח סמוך לתקופת חייו, ולא ברור אם הוא זה שספג השפעה ממנה, או להפך, הכת הושפעה מתורתו. ייתכן כי זיקת הגומלין הייתה הדדית.

העיון

פיתגורס היה זה שטבע את המושג "פילוסוף". על אף שלא היה הפילוסוף הראשון, הוא היה הראשון שכונה בשם זה. רעיונו החשוב היה על הערך המוסרי של העיון - הסתכלות אינטלקטואלית המטהרת את הנשמה (שילוב של עיון בשל סקרנות ושל העיון במסתורין של אליוסיס). לדעתו הדומה מכיר את הדומה, מידמה ומתחבר אליו בהכרתו.

על-פי השקפתו, קיימות שלוש דרכי-חיים שאדם יכול לבחור בהן:

  • החיפוש אחר התענוגות הגשמיים.
  • החיפוש אחר הכבוד והתהילה.
  • החיפוש אחר החוכמה.

צורת החיים האחרונה, הפילוסופיה (מילולית: אהבת-החוכמה), היא הראויה ביותר לחיות על-פיה, והמיטיבה ביותר עם הנפש. פיתגורס תפס את הפילוסופיה כדרך חיים. הפילוסוף בעיניו הוא איש דת, איש מדינה ואיש מדע.

העיון בעולם בקוסמוס

עיקר ההתבוננות היא בשמים המגלמים את הסדר (cosmos - (ביוונית): מסודר או יפה) של העולם. על ידו מידמה האדם לעולם, נעשה מסודר ונטמע באל.[3]. זוהי בשלות של התאוריה הרואה בעולם סדר, המתבטאת בכינוי העולם בשם קוסמוס. תפיסת העולם כיצור אורגני רווחה מאוד בתקופה זו.

המספר והמוזיקה

פיתגורס גילה שקיים יחס בין אורכי המיתרים ובין הצלילים המופקים מתנודותיהם. הוא לקח שני מונוקורדים, באחד הוא לחץ על המיתר במיקום מסוים (לדוגמה באמצעו), את השני הוא השאיר מתוח ללא שום לחיצה, פרט על שניהם יחד, ושמע גובהי צליל שונים. פיתגורס גילה כי קיים יחס ישר בין מיקום הלחיצה במונוקורד, לבין הפרשי גובה הצלילים הנשמעים משני המונוקורדים גם יחד. על סמך ממצאים אלו, פיתגורס ניסח את מיקומי הלחיצה במונוקורד, כך שיוכל ליצור מרווחים שונים קבועים, מה שיקרא לימים מרווחים מוזיקליים. פיתגורס פיתח נוסחאות אלו, וסבר כי ניתן לתרגם גם את תנועת הכוכבים לנוסחה מתמטית. מכאן הסיק שניתן לתרגם כל דבר למספרים ושכל דבר הוא התגלמות של מספר או נוסחה מספרית.[4]

הפיתגוראים לא ידעו להשתמש במילה "יחס", ולכן אמרו שהמספר עומד מאחורי התופעות, כלומר הוא הראשית. היחס המספרי הבלתי חומרי והבלתי נראה מתגלם בחומר הנראה. הדברים עצמם הם מספרים. העולם אחדותי כי הוא מספרי, שכן המספר יוצר את ההרמוניה (-חיבור) בין הניגודים הקיימים בפועל (המילטים סברו שהניגודים הם רק למראית עין).

המספרים נמצאים בתוך הדברים כפי שהאל נמצא בתוך כהן בקכוס. מימזיס - חיקוי או זהות האחד עם האחר - הכהן עם האל, המספר עם התופעה.

"ההרמוניה של המספרים (או הספירות)" - תנועתם של הגלגלים היא הרמונית, ובתנועה זו הם מפיקים קול הרמוני. הפיתגוראים נתנו לכל דבר בעולם התופעות מספר, אולם עדיין אין זה מסביר את היחס בין החוקיות המספרית ובין עולם התופעות.

אריסטו טען שפיתגורס תפס את הדברים תפיסה צורנית ולא חומרית, בניגוד לקודמיו; אולם אין זה נכון[דרוש מקור], שכן בעיני פיתגורס גם המספר הוא חומרי.

הנפש וגלגוליה

פיתגורס ראה את הנפש כישות נפרדת מהגוף, שעוזבת אותו לאחר המוות ועשויה להתגלגל בגופים אחרים, של בני אדם או בעלי חיים נוספים. בהתאם לכך, דגלו חברי הקהילה הפיתגוראית ביחס מתחשב כלפי בעלי חיים, והקפידו על תזונה צמחונית. בן זמנו, קסנופנס, מספר (במידה של לעג) שכשראה פיתגורס אדם מתעלל בגור כלבים הפציר בו להפסיק, בטענה שהוא מזהה בו את נשמתו של ידיד שנתגלגלה בו.

הלימוד, העיון, והחיים על-פי המידה הטובה נחשבו בעיני פיתגורס כדרכים לשיפור הנפש, ולהבטחת גלגולה במעמד טוב יותר, עד להגעתה לחיי-אלמוות.

משנתו לאחר מותו

לאחר מותו נחלקו הפיתגוראים לשני מחנות. האחד דבק בהוראותיו של פיתגורס, והמחנה האחר, המתמטיקאים, הרחיב את תחום לימודיו לתחומים נוספים: גאומטריה, תאוריה של המוזיקה, אסטרונומיה, מכניקה ומדעים אחרים. המחלוקת בין תלמידיו עמעמה את דמותו ההיסטורית, שהוצגה מחד כאיש מדע ומנהיג פוליטי מעשי ומאידך ככהן דת מיסטי. המציאות ההיסטורית כנראה נתונה באמצע בין שתי התפיסות.

הישגיו המדעיים

פיתגורס קבע שכדור הארץ הוא עגול (כדור). אבחנה זו ביסס הן על קביעתו של תאלס שבעת ליקוי ירח מכסה צל הארץ את הלבנה. מאחר שצל הארץ על הירח בעת ליקוי ירח עגול, הסיק פיתגורס שהארץ עגולה ככדור. בנוסף נימק את קביעתו בכך שבעת שצופים בספינות המגיעות מעבר לאופק נחשפת הספינה בהדרגה מקצהה העליון ומטה - תופעה זו לא ניתן להסביר במרחק כפשוטו.

בעיסוקו באסטרונומיה ובאסטרולוגיה עסק פיתגורס ביחסים המספריים שבין הפלנטות. לפי פיתגורס, היחסים המושלמים שבין הכוכבים מפיקים מוזיקה שמיימית. פיתגורס גם החזיק בדעה שכדור הארץ אינו נייח אלא נע. תפיסה זו השפיעה על אסטרונומים במשך אלפי שנים, ובהם על יוהאנס קפלר, שהציג את מודל האליפטי לתנועת הכוכבים.

לפיתגורס מיוחסות גם ההבחנה הראשונה בכך שצלילים מוזיקליים שונים ניתנים לתיאור על ידי יחסים בין מספרים שלמים (ראו: גל עומד), יצירת הסולם המוזיקלי וחלוקתו לאוקטבות וטטרקורדים.

פיתגורס ייחס חשיבות רבה ללימודי הגאומטריה, אך המסורת היוונית ייחסה את ראשיתה דווקא לתאלס. רק במסורת הרומית, המאוחרת יותר, זכה פיתגורס למעמד של ממציא המתמטיקה ומחבר לוח הכפל.

אגדות מסוימות מיחסות גם את גילוי המספרים האי רציונליים לפיתגורס, או לחליפין להיפאסוס, תלמידו שהושעה מהאגודה (ועל פי סיפור אחר, הוטבע בידי פיתגורס ותלמידיו), בשל פרסום התגלית. על פי האגדה, דבר הגילוי נשמר בסוד, על-מנת שלא לסתור את הטענה שהעולם כולו ניתן לתיאור כיחסים בין מספרים טבעיים, אבל אין לסיפור זה סימוכין. קיומם של מספרים אי רציונליים מוזכר לראשונה אצל אפלטון, יותר ממאה שנים לאחר מותו של פיתגורס.

מורשתו

לפיתגורס ולתורתו הייתה השפעה רבה על המשך התפתחות הפילוסופיה היוונית לאחר מכן. האסכולה הפיתגוראית המשיכה להתקיים זמן רב לאחר מותו, והעמידה מתוכה הוגים משפיעים נוספים, כגון הפילוסוף והמשורר אמפדוקלס. גם אפלטון ספג ממנה רבים מרעיונותיו.

בתקופת האימפריה הרומית, לאחר שהאסכולה הפיתגוראית המקורית כבר חדלה להתקיים, קמו קהילות נאו-פיתגוראיות, שביקשו לחדש את מנהגי הפיתגוראים המקוריים, תוך שילובם ברעיונות אפלטוניים.

המשורר הרומאי הנודע אובידיוס שילב בשירתו האפית "מטמורפוזות" רעיונות רבים הלקוחים ממשנתו של פיתגורס, ואף מציג את פיתגורס עצמו כדמות בחלקו האחרון של השיר.

ראו גם

משפט פיתגורס

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ סיימון סינג בספרו "המשפט האחרון של פרמה"
  2. ^ מקורות אחרים טוענים כי פיתגורס אף נמנע מלהיכנס לשדה פול. יש שהסבירו זאת בכך שסבל מחוסר G6PD.
  3. ^ האיונים סברו שלא ניתן כלל להידמות לעולם המסודר.
  4. ^ פורפיריוס (תלמידו המובהק של פלוטינוס, פילוסוף בן המאה ה-3) סבר שפיתגורס הסיק זאת מהסחר באמצעות מטבעות שבתקופה זו כבר רווח.
אלקמאון מקרוטון

אלקמאון מקרוטון (ביוונית: Ἀλκμαίων) היה פילוסוף יווני הנחשב לאחד מאבות האנטומיה. לא ידוע בוודאות מתי חי אלקמאון, אך נאמר עליו שהיה מתלמידיו של פיתגורס, ואם כך הדבר הרי שהוא חי בסוף המאה ה-6 לפנה"ס ובתחילת המאה ה-5 לפנה"ס. הוא נולד בעיר קרוטונה שבדרום איטליה של היום. לא ידוע אם אלקמאון היה רופא ואם ביצע ניתוחים בעצמו.

רוב ספריו של אלקמאון עוסקים ברפואה, בפילוסופיה ובנושאים קרובים. הוא עסק בין השאר בהתפתחות העובר, בשינה, במחלות, במוות, בשאלת נצחיות הנשמה, ובנושאים נוספים מתחומי הפסיכולוגיה והאפיסטמולוגיה. כתביו של אלקמאון בנושאי רפואה התבלטו במחשבה מקורית. כך למשל, הוא היה הראשון שהבין כי המוח הוא האיבר שאחראי להכרה ולהבנה, והוא היה הראשון שהבדיל בין תפיסה והבנה. כמו כן, אלקמאון הבין שצריך להיות קשר בין החושים למוח.

אלקמאון עסק בספריו גם באסטרונומיה ובקוסמולוגיה.

גאומטריה אוקלידית

הגאומטריה האוקלידית היא התורה המתמטית של נקודות, ישרים ומעגלים במישור, המבוססת על האקסיומות שהציג וסיכם אוקלידס בספרו יסודות, והכללות שלה למרחב התלת-ממדי. מדידות לצרכים הנדסיים נעשו בכל רחבי העולם העתיק, ואף נעשו מספר הבחנות כגון זו שבמשפט פיתגורס, אבל רק בתרבות היוונית נבנתה עבורם מסגרת תאורטית שיטתית, שבליבה התהליך הדדוקטיבי שבו מקבלים משפט מהנחות יסוד ומשפטים קודמים.

במשך יותר מאלפיים שנה נקראה הגאומטריה האוקלידית פשוט "גאומטריה", משום שהייתה הגאומטריה היחידה. ניסיונות להוכיח את אקסיומת המקבילים הביאו במאה ה-19 לפיתוחן של גאומטריות אלטרנטיביות, שאינן מקבלות את האקסיומה הזו, והן קרויות גאומטריות לא אוקלידיות.

גאומטריה אוקלידית נמנית עם ענפי המתמטיקה המעטים הנלמדים בבית הספר היסודי והתיכון. במסגרת זו יש המבחינים, משיקולים דידקטיים, בין גאומטריית המישור (או הנדסת המישור), העוסקת בגופים מישוריים בלבד, כגון משולש ומעגל, ובין גאומטריית המרחב (או הנדסת המרחב), העוסקת בגופים תלת-ממדיים, כגון פירמידה, קובייה וכדור.

האסכולה האלאטית

האסכולה האלאטית היא אסכולה בפילוסופיה הקדם-סוקרטית התופסת את המציאות כמהות אחת, קבועה, בלתי מונעת ובלתי משתנה. היא טוענת שמה שנתפס בעינינו כשינוי, אינו אלא אשליה. בפועל, המציאות קבועה ובלתי משתנה.

פרמנידס וזנון נמנים על אסכולה זו. הם נולדו ופעלו בעיר אליאה שמצויה בדרום איטליה ועל שמה הם קרויים. גם מליסוס איש סאמוס היה ממפתחי הפילוסופיה.

האסכולה הפיתגוראית

האסכולה הפיתגוראית היא אסכולה פילוסופית קדם-סוקרטית, שנוסדה על ידי הפילוסוף פיתגורס ונקראה על שמו.

הפיתגוראים התארגנו בחבורות סגורות, תערובת של אסכולה מדעית ושל כת דתית שדמתה מאוד לאורפיים אך טענה שהפילוסופיה ולא אורח חיים דתי-פולחני, מטהרים את הנפש. הם הקפידו על סודיות ומבחן הקבלה לאגודה היה בין השאר שתיקה למשך 5 שנים (התגליות המתמטיות קיבלו מעמד דתי, נשמרו בסודיות יותר מרעיונות דתיים אחרים). הפיתגוראים עסקו במתמטיקה, מטאפיזיקה, מוזיקה ואסטרונומיה, האמינו בגלגול נשמות, הקריבו קורבנות, ונמנעו מאכילת בשר (צמחונות).

היפאסוס

היפאסוס (ביוונית: Ίππασος) היה פילוסוף יווני מהאסכולה הפיתגוראית שחי במאה החמישית לפנה"ס. מוצאו מהעיר מטאפונטום שביוון הגדולה.

פאפוס מאלכסנדריה מייחס את גילוי המספרים האי-רציונלים לאסכולה הפיתגוראית (על פי משפט פיתגורס, אורך היתר במשולש ישר-זווית שאורך שני ניצביו 1 הוא השורש הריבועי של 2), אולם הגילוי נשמר בסוד על-מנת שלא לסתור את הטענה של האסכולה הפיתגוראית שהעולם כולו ניתן לתיאור כיחסים בין מספרים טבעיים. פאפוס מציין שהראשון שחשף סוד זה סולק בטביעה. יאמבליכוס מביא שלל סיפורים סותרים על חבר האסכולה הפיתגוראית שנענש על ידי האלים בטביעה, ואחד הסיפורים מציין שהיפאסוס נענש בטביעה. סיפורים אלה מצטרפים יחדיו לייחוס הגילוי של המספרים האי-רציונלים להיפאסוס.

אמינות סיפורים אלה מוטלת בספק, וחוקרים בני זמננו סבורים כי גילויים של המספרים האי-רציונלים לא זעזע את עולמו של פיתגורס. הם מסבירים שהמקור לאגדה זו הוא שהיוונים בתקופתו של פיתגורס, השתמשו באותה מילה כדי לתאר מספרים אי רציונלים, כאלה שאינם יחס בין שני מספרים שלמים, וכדי לתאר תופעה "לא רציונלית", כלומר תופעה ש"לא תיאמן".

אגדות אחרות מספרות שהיפאסוס סולק מהאסכולה הפיתגוראית מפני שפרסם את אמונותיהם, או שהוטבע כיוון שייחס לעצמו את גילוי מבנהו של הדודקהדרון, גוף שכל פאותיו הם מחומשים משוכללים. קיימת הוכחה, שגילויה מיוחס להיפאסוס, שהיחס בין אורך האלכסון במחומש משוכלל לאורך בסיסו הוא מספר אי רציונלי. היפאסוס היה הראשון שחקר את התהודה ואת האקוסטיקה. חלק מחיבוריו שרד עד ימינו.

המשפט האחרון של פרמה

המשפט האחרון של פרמה הוא משפט מפורסם בתורת המספרים שנוסח על ידי המתמטיקאי פייר דה פרמה בשנת 1637 ונותר כבעיה פתוחה, עד שהוכח על ידי אנדרו ויילס (Wiles) בשנת 1995. במשך כ-350 שנים היה לאחת הטענות המפורסמות ביותר בעולם המתמטיקה שלא הוכחו.

המשפט טוען כי:

למשוואה , הנובעת ממשפט פיתגורס, יש אינסוף פתרונות שבהם y, x ו-z הם מספרים טבעיים, למשל או . פתרונות אלו ידועים כשלשות פיתגוריות. במשך כ-350 שנה הייתה שאלה זו בגדר בעיה פתוחה במתמטיקה, כנראה המפורסמת מכולן.

הרקליטוס

הֵרַקְלֵיטוֹס מאפסוס (ביוונית עתיקה: Ἡράκλειτος ὁ Ἐφέσιος) היה פילוסוף יווני קדם-סוקרטי, יליד אפסוס שבאסיה הקטנה, שפעל בסביבות סוף המאה ה-6 לפנה"ס ותחילת המאה ה-5 לפנה"ס. סגנונו המעורפל זיכה אותו בכינויים כמו "האפל" ו"איש החידות". ככל הנראה, היה בשיא פעילותו בסביבות 500 לפנה"ס.

הפילוסופיה של הרקליטוס מדגישה את השינוי כאלמנט מרכזי של המציאות, ואת האחדות הקיימת בין הניגודים. הוא נוטה לבקר את הפילוסופים שקדמו לו, בהם פיתגורס וקסנופנס, וכן את הומרוס והסיודוס. לא ברור אם הוא עצמו עסק בכתיבה פילוסופית או שאמרותיו לוקטו לקובץ לאחר מותו, אך מקובל להניח כי היה קיים חיבור פרי עטו. סגנונו של הרקליטוס, הכולל פרגמנטים קצרים העומדים כל אחד בפני עצמו, משקף במידה רבה את אופן הכרת המציאות שלו, שמבכרת תפיסה אינטואיטיבית על פני היקשים לוגיים. בדומה לכך, הפרדוקסליות של חלק ממשפטיו, כמו גם חוסר העקביות בינם לבין עצמם, עולות בקנה אחד עם הדינמיות המרכזית לתורתו.

השורש הריבועי של 2

השורש הריבועי של 2, ידוע גם כקבוע פיתגורס, לרוב מסומן כ- , הוא המספר הממשי החיובי שכאשר יוכפל בעצמו, תהיה התוצאה שווה ל-2. זהו ככל הנראה המספר האי-רציונלי הידוע הראשון. השורש הריבועי של 2, מעוגל ל-50 הספרות הראשונות הוא:

37695 71875 85696 69807 24209 16887 04880 73095 35623 1.41421

על-פי משפט פיתגורס, השורש הריבועי של 2 הוא אורך האלכסון בריבוע שאורך צלעותיו הוא 1.

הקירוב בשברים עבור שורש 2 מדויק עד לספרה הרביעית אחרי הנקודה העשרונית.

המספר נקרא לפעמים "יחס הכסף".

חידות חיתוך והרכבה

חידות חיתוך והרכבה הן חידות העוסקות בדרכים שבהן ניתן לחתוך צורה למספר צורות אחרות, בדרכים שבהן ניתן לקחת חלקים ולחבר אותם יחד לצורה חדשה, וכן בחידות המשלבות את שתי הפעולות: כיצד ניתן לחתוך צורה נתונה על מנת להרכיב צורה אחרת מחלקיה.

הטנגרם היא קבוצת החידות המפורסמת ביותר מסוג הזה. בטנגרם ריבוע מחולק לשבע חתיכות, ובעזרת החתיכות הללו ניתן ליצור מגוון צורות. חידות חיתוכים רבות עוסקות באופן שבו ניתן לחתוך צורה אחת למספר המינימלי של חלקים שמהם ניתן להרכיב צורה אחרת. החידה המפורסמת ביותר מהסגנון הזה היא חידת מוכר הסדקית של הנרי ארנסט דודני: כיצד ניתן לחלק משולש שווה-צלעות לארבע חתיכות, שמהן ניתן להרכיב ריבוע? באיור משמאל מוצגת חידה נוספת מסוג זה, שבה נגר מחפש דרך לחתוך צורה דמוית בית לחלקים שמהם ניתן להרכיב ריבוע.

חידות חיתוך והרכבה הן נדבך מרכזי בתחום של שעשועי מתמטיקה, והן העסיקו חידונאים לאורך ההיסטוריה. לחידות אלו ישנן גם נגיעות לתחומים מרכזיים במתמטיקה; הבעיה השלישית של הילברט, למשל, עוסקת בחיתוכים ובהרכבות.

טבעת (גאומטריה)

בגאומטריה, טבעת היא הצורה המישורית שמהווה השטח שבין שני מעגלים קונצנטריים, או הצורה המתקבלת כשמחסרים שטח עיגול קטן מעיגול גדול בעל אותה נקודת מרכז.

יוון העתיקה

תולדות יוון העצמאית בעת העתיקה נמשכו כאלף שנים במהלך העת העתיקה, מתקופת המעבר בין התרבות המיקנית לכיבוש יוון על ידי רומא. התרבות היוונית העתיקה ומורשתה נחשבת בעיני היסטוריונים רבים כערש תרבות המערב וזו אשר הייתה בעלת השפעה רבה על תרבות רומא העתיקה, הקיסרות הרומית, וכלל התרבויות האירופאיות עד לימינו.

התרבות היוונית לא הייתה מוגבלת לחלקו הדרומי של חבל הבלקן, אזור גאוגרפי שבו שוכנת יוון המודרנית. תנועת קולוניזציה גדולה שיזמו היוונים הביאה יוונים רבים לחלקים גדולים של הים התיכון. מלבד איי הים האיגאי, ריכוזים יווניים גדולים היו באסיה הקטנה ואילו במערב ידועה יוון הגדולה - אזור התיישבות יווני שכלל את דרום חצי האי האפניני והחלק המזרחי של סיציליה. מלבד הריכוזים האלה היו מושבות יווניות רבות מפוזרות בחלקים נרחבים של הים התיכון ומעט גם בחופי הים השחור, במיוחד באזורים שבהם השלטון המרכזי היה חלש ולא היה מסוגל להתנגד להתיישבות היוונית.

בעת העתיקה יוון לא הייתה מדינה אחת. מדינות רבות, חלקן גדולות כמו אתונה וספרטה שמספר תושביהן עלה לכמה מאות אלפים וחלקן קטנות שמספר תושביהן לא עלה על אלפים ספורים, היו המאפיין של החיים היוונים. חלק מהמדינות היו בעלות חברה עירונית מפותחת והתבססו על עיר מדינה, הידועה בשם הפוליס. הפוליס שלטה על הסביבה הגאוגרפית המידית שלה ובדרך כלל הייתה קטנה בשטחה. חלק מהיוונים לא יצרו פולייס אלא התגוררו במסגרות שבטיות או אגרריות בלי שלטון מרכזי מסודר. כתוצאה מכך לא הייתה צורת משטר אחידה או תרבות אחידה. כל אזור היה בעל מאפיינים המיוחדים לו, אם כי היו ליוונים העתיקים גם מאפיינים משותפים רבים.

היוונים סיווגו את עצמם לכמה קבוצות אתניות: איונים, דורים, איולים ואכאים. כל קבוצה דיברה ניב משלה של השפה היוונית, מלבד האכאים שהשתמשו בניב הדורי.

משולש ישר-זווית

משולש יְשַׁר-זווית הוא משולש בעל זווית ישרה.

במשולש זה, שתי הצלעות שכולאות את הזווית הישרה נקראות ניצבים, והצלע שמול הזווית הישרה נקראת יתר.

משולש ישר-זווית הוא הבסיס לפונקציות הטריגונומטריות.

משפט (מתמטיקה)

במתמטיקה, משפט (בלועזית: תאורמה; באנגלית: Theorem) הוא פסוק שניתן להוכיח אותו במסגרת מערכת אקסיומות מסוימת. הוכחת משפטים היא מהפעילויות המרכזיות במתמטיקה.

למשפט ישנם שני חלקים: התנאים הדרושים להתקיימותו, והמסקנות שהמשפט מסיק על סמך אותם תנאים.

דוגמה למשפט: "אם המשולש שאורכי צלעותיו הם הוא משולש ישר-זווית, ו- הוא אורך היתר שלו, אז ". זהו משפט פיתגורס המפורסם. התנאי כאן הוא שהמשולש הנתון הוא ישר-זווית, והמסקנה היא המשוואה הקושרת את אורכי הצלעות.

דוגמה נוספת למשפט: "המספר הוא אי רציונלי". כאן לכאורה אין תנאים מוקדמים, אך בפועל ישנה הנחה של הסכמה על כמה מושגים בסיסיים, דוגמת ההסכמה על הגדרת המושג "מספר", והאקסיומות העוסקות במספרים.

נשים לב כי הוכחת המשפט אינה נחשבת חלק ממנו, אך קיומה של הוכחה אחת לפחות הכרחי על מנת לקרוא לטענה "משפט". לאותו משפט יכולות להיות הוכחות רבות - למשפט פיתגורס ידועות מאות הוכחות שונות. טענה שמנוסחת כמשפט אך לא ידועה לה הוכחה נקראת השערה.

לא כל הטענות המתמטיות המנוסחות כמשפט אכן נקראות "משפט". נהוג לקרוא "משפט" רק לטענות מעניינות או בעלות ערך. כמובן שזוהי הגדרה מעורפלת ומאוד לא מתמטית, ואכן, אין כלל מדויק הקובע מתי נקראת טענה כלשהי "משפט".

לעיתים משתמשים במילה "לֶמה" כדי לציין משפט שחשיבותו העיקרית היא כטענת עזר למשפטים אחרים. רוב הלמות הן טכניות ואין להן חשיבות עצמאית. מאידך יש למות, כדוגמת הלמה של צורן, הלמה של בורל-קנטלי ורבות אחרות, שיש להן גם ערך משל עצמן.

כמו כן נהוג לכנות בשם "מסקנה" תוצאה שנובעת ישירות ממשפט כלשהו, ובשם "טענה" כדי לכנות טענות כלליות שאינן מעניינות מספיק כדי להיקרא "משפט". ההבדל, כאמור, הוא טרמינולוגי בלבד ואין לו השלכות של ממש.

משפט הפוך (למשפט נתון) הוא משפט שבו מוחלפים חלק מן ההנחות והמסקנה בתפקידיהם. דוגמה:

לא תמיד המשפט ההפוך מתקיים. לדוגמה נכון המשפט "כל מספר המתחלק ב-4 הוא זוגי", אך לא נכון המשפט ההפוך "כל מספר זוגי מתחלק ב-4". כאשר משפט והמשפט ההפוך מתקיימים נהוג לאחדם למשפט יחיד בעזרת הקשר אם ורק אם. למשל "מספר טבעי מתחלק ב-2 וב-3 אם ורק אם הוא מתחלק ב-6".

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס הוא משפט מפורסם בגאומטריה, המתאר את היחס בין שלוש צלעותיו של משולש ישר-זווית. המשפט קובע כי "סכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר-זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר" (הניצבים הם שתי הצלעות שביניהן כלואה הזווית הישרה, והיתר הוא הצלע הארוכה של המשולש). בניסוח פורמלי: אם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם ו-, ואורך היתר הוא , אז: .

המשפט נקרא על שם המתמטיקאי והפילוסוף היווני פיתגורס, שחי במאה ה-6 לפנה"ס, אשר נהוג לייחס לו את ההוכחה הכללית הראשונה של המשפט, אם כי אין ודאות שהוא אכן זה שהוכיח את המשפט לראשונה. המשפט עצמו ללא ההוכחה היה מוכר מאות שנים לפני זמנו של פיתגורס - בבבל, במצרים העתיקה ובסין, אולם המתמטיקאים היוונים היו הראשונים שעמלו למצוא הוכחות לרעיונות מתמטיים.

המשפט ההפוך, הקובע שמשולש שבו ריבוע צלע אחת שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות הוא ישר-זווית, נכון גם הוא. משפט פיתגורס והמשפט ההפוך לו מופיעים כמשפטים האחרונים בכרך הראשון של "יסודות" - ספרו הנודע של אוקלידס. משפט פיתגורס מהווה מקרה פרטי של משפט הקוסינוסים, המופיע אף הוא ב"יסודות" של אוקלידס, המגדיר את היחס של שלוש צלעותיו של כל משולש, בהינתן אורכן של שתיים מצלעותיו וגודל הזווית הכלואה ביניהן.

בתורת המספרים קיימת בעיה מפורסמת הקשורה למשפט פיתגורס, ובה נדרש למצוא משולשים ישרי זווית שאורכי הצלעות שלהם הם מספרים שלמים, כלומר למצוא פתרונות שלמים למשוואה הדיופנטית: . שלשה של מספרים כאלה קרויה שלשה פיתגורית, וידוע שיש אינסוף שלשות מסוג זה. דוגמה לשלשה פיתגורית הם המספרים 3,4,5 שכן הם מקיימים את המשוואה: .

משפט פיתגורס (מחזה)

משפט פיתגורס הוא מחזה מאת נתן אלתרמן שהועלה על הבמה בתיאטרון הבימה בשנת 1965. גיבור המחזה הוא מחשב בשם "פיתגורס" (על שם המתמטיקאי היווני פיתגורס) או "פית" ואנשי מכון החישוב בו הוא מוצב, בפרט מנהל המכון ומפתחו של המחשב הנבון. אלתרמן הדגיש שלמרות שהמחזה הוא עתידני כביכול אין בכוונתו להיות מחזה מדע בדיוני אלא לשמש משל פילוסופי. בכורת ההצגה על פי המחזה התקיימה במוצאי-שבת 2 באוקטובר 1965, וההצגה ירדה, לאחר ביקורות קטלניות, כעבור 13 הצגות בלבד. כיוון שאלתרמן לא הצליח להעביר את המסרים שביקש באמצעות המחזה, חיבר מסה פילוסופית בשם "בין ספרה לסיפור", שאותה צירף להוצאה המודפסת של המחזה כאחרית דבר.

פילוסוף

פילוסוף הוא אדם העוסק בפילוסופיה. הפילוסוף שואל שאלות כגון מהו מבנה העולם, האם קיים אלוהים ומהי הנפש האנושית. הוא דן בשאלות רבות ובהן מוסריות, קיומיות ומדעיות.

פרמנידס

פָּרְמֶנִידֶס (ביוונית Παρμενίδης), פילוסוף יווני קדם סוקרטי, חי ופעל בתחילת המאה ה-5 לפנה"ס. נולד בעיר אליאה בדרום איטליה, ובה פעל. מייסד האסכולה האלאטית, שפותחה מאוחר יותר על ידי תלמידיו מליסוס וזנון מאליאה. אם נסתמך על דברי אפלטון, לפיהם פרמנידס ביקר באתונה בגיל 65, כאשר סוקרטס היה אדם צעיר – כלומר בסביבות 450 לפנה"ס – הרי שפרמנידס נולד בסביבות 515 לפנה"ס.

תאלס

תָאלֵס איש מילֵטוֹס (ביוונית: Θαλής, 624 לפנה"ס עד 546 לפנה"ס בקירוב) היה פילוסוף יווני מן האסכולה המילֵטית ומתמטיקאי חשוב.

תאלס, שתקופת הפריחה שלו הייתה בסביבות 590 לפנה"ס, היה הפילוסוף המוכר הראשון בתולדות הפילוסופיה המערבית. הוא נחשב אחד משבעת חכמי יוון ולעיקרי שבהם. הוא עסק באסטרונומיה, בגאומטריה ובקוסמולוגיה.

תרבות יוון העתיקה
תרבות יוון העתיקה: מיתולוגיה | אמנות | פיסול | קדרות | הומוסקסואליות | זנות | חקלאות | כלכלה | מטבח | משפט | עבדות | פדרסטיה | רפואה | מלחמה

פילוסופיה ביוון העתיקה: פיתגורס | הרקליטוס | פארמנידס | פרוטגורס | אמפדוקלס | דמוקריטוס | סוקרטס | אפלטון | אריסטו | זנון מקיטיון | אפיקורוס

מתמטיקה: ארכימדס | אוקלידס | תאלס | פיתגורס | דיופנטוס | ארטוסתנס | תלמי

ספרות: הומרוס | האיליאדה | האודיסאה | הסיודוס | פינדארוס | הרודוטוס | תוקידידס | קסנופון | פוליביוס

תיאטרון: אייסכילוס | סופוקלס | אוריפידס | אריסטופנס | מושגים

ספורט: המשחקים האולימפיים | תרבות הגוף | המשחקים הפיתיים | המשחקים האיסתמיים | המשחקים הנמאיים | המשחקים הפאן-אתנאיים | גימנסיון

אדריכלות: מקדש יווני | הסדרים הקלאסיים | הפרתנון | מקדש ארטמיס | אקרופוליס | האגורה | מקדש זאוס באולימפיה | מקדש הפייסטוס | מקדש ארטמיס

ראו גם: פורטל יוון העתיקה
AGMA Tetradrachm Athens 5c BC
פילוסופיה
תחומים
אונטולוגיהאסתטיקהאפיסטמולוגיהאתיקהלוגיקהמטאפיזיקהמטאפילוסופיהמטא-אתיקהפילוסופיה פוליטיתפילוסופיה של ההיסטוריהפילוסופיה של החינוךפילוסופיה של הלשוןפילוסופיה של המדעפילוסופיה של המתמטיקהפילוסופיה של הנפשתאולוגיה
זרמים/אסכולות
טאואיזםהאסכולה הפיתגוראיתהאסכולה האלאטיתהאסכולה האטומיסטית • מוהיזם • לגליזם • נטורליזםהאסכולה הפריפטטיתהאסכולה הסטואיתהאסכולה הציניתנאופלאטוניזםהאסכולה האפיקוראיתקונפוציאניזםסכולסטיקהרציונליזםאמפיריציזםאקזיסטנציאליזם • נאו-קונפוציאניזם • פנומנולוגיהפילוסופיה אנליטיתפרגמטיזםפוסטמודרניזםפילוסופיה בודהיסטיתפילוסופיה הינדואיסטיתפילוסופיה ג'ייניסטיתפילוסופיה יהודית
אישים בולטים
פילוסופים של העת העתיקה לאו דזהקונפוציוסתאלס • פיתגורס • הרקליטוסמו דזההבודההפרמנידספרוטגורסדמוקריטוססוקרטסאפלטוןאריסטוזנון מקיטיוןטימון מפליוספירון מאליספלוטינוססון דזה • קונדה-קונדה
פילוסופים של ימי הביניים אוגוסטינוסיוהאן סקוטוסאבן סינאג'ו שירמב"םתומאס אקווינסויליאם איש אוקאם
פילוסופים מודרניים ניקולו מקיאווליתומאס הובספרנסיס בייקוןרנה דקארטברוך שפינוזהגוטפריד לייבניץג'ון לוקג'ורג' ברקלידייוויד יוםז'אן-ז'אק רוסועמנואל קאנטג'רמי בנת'םגאורג הגלג'ון סטיוארט מילארתור שופנהאוארסרן קירקגורקרל מרקספרידריך ניטשה
פילוסופים בני המאה ה-20 גוטלוב פרגהג'ון דיואיאדמונד הוסרלמרטין היידגרברטראנד ראסלרודולף קרנפלודוויג ויטגנשטייןקרל המפלז'אן-פול סארטרוילארד ואן אורמאן קווייןג'ון רולסיורגן האברמאסמישל פוקוגסטון בשלאר
מונחים
מונחים בסיסיים אינסוףאמת ושקראפוסטריוריאפריורידיאלקטיקההנחהזמןחומר ורוחחוק הזהותטוב ורעישותכשל לוגילוגוסמהותמציאותסיבתיותערךפרדוקסצדקתכונהיום הפילוסופיה העולמי
תאוריות/תפיסות אגואיזם אתיאוניברסליזםאימננטיותאינטואיציוניזםאמנה חברתיתבחירה חופשיתבעיית הראוי-מצויהבעיה הפסיכופיזיתדאונטולוגיהדואליזםנהנתנותהוליזםהיסטוריציזםהשכל הפועלטיעון השפה הפרטיתכשל נטורליסטילוגיציזםמטריאליזםמוניזםמונאדהמכניזםנטורליזם מטאפיזיניהיליזםנומינליזםסובייקטיביזםסוליפסיזםספקנותעל-אדםעשרת הכבליםפוזיטיביזםפטליזםפנאנתאיזםפנתאיזםהפרא האצילהצו הקטגוריהקוגיטוריאליזםרדוקציוניזםרלטיביזםתועלתנותתערו של אוקאםהרצון לעוצמה
פורטל פילוסופיה

דף זה בשפות אחרות

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.