פילוסופיה של המתמטיקה

הפילוסופיה של המתמטיקה היא ענף של הפילוסופיה העוסק בהנחות היסוד של המתמטיקה ובמשמעותה של המתמטיקה. הפילוסופיה של המתמטיקה מנסה לתת תשובות לשאלות כגון:

היחס לפילוסופיה הכללית

כמה פילוסופים של המתמטיקה רואים את תפקידם כתיאור של המצב של המתמטיקה כפי שהיא, כפירוש ולא כביקורת. אך לביקורת יכולה להיות השפעה ממשית על המחקר המתמטי, ולפיכך הפילוסופיה של המתמטיקה יכולה להיות משמעותית ביותר עבור מתמטיקאים בפועל, במיוחד בתחומים חדשים שבהם עדיין אין בדיקה טובה של ההוכחות המתמטיות על ידי חוקרים רבים, ולכן ייתכן כי ימצאו טעויות. ניתן למצוא טעויות כאלה רק אם יודעים היכן לחפש אותן, ואיפה הגיוני שיעלו. נושא זה הוא אחד מהתפקידים החשובים של הפילוסופיה של המתמטיקה.

בעשורים האחרונים, יש שניסו לקשר בין המתמטיקה לבין עניינים פילוסופיים אחרים, כגון אפיסטמולוגיה ואתיקה. עניינים אלה נדונים בסוף הערך.

התפתחות המתמטיקה: תגלית או המצאה?

השאלה האם התפתחות המתמטיקה, כפי שהיא מתבטאת בהעלאת השערה חדשה או במציאת הוכחה חדשה, היא בגדר תגלית או בגדר המצאה, העסיקה את המתמטיקאים בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, אם כי שורשיה מגיעים עד לאריסטו ואפלטון.

מצד אחד מתקיימת הגישה לפיה כל העצמים המתמטיים (משפטים, הוכחות וכדומה), אלה הידועים לנו וגם אלה שאינם ידועים לנו, קיימים ב"חלל וירטואלי" כלשהו, וכל שנותר הוא לגלות אותם. בהתאם לגישה זו, ניסוח משפט חדש הוא בגדר תגלית, וכך גם ביחס להוכחתו. בהתאם לכך, התפתחותה של המתמטיקה אינה אלא התפתחות הידע האנושי אודות המתמטיקה. עם המתמטיקאים הבולטים שהחזיקו בדעה זו נמנים קנטור והארדי, והלוגיקן קורט גדל. ז'אק האדאמר, מחשובי המתמטיקאים בצרפת, אמר: "אף שהאמת עדיין אינה ידועה לנו, היא קיימת מלכתחילה, וכופה עלינו את הדרך שעלינו ללכת בה". גישה זו ידועה בשם פלאטוניזם, על שם "ספירת האידאות" של אפלטון.

רבים מתקוממים נגד גישה זו, משום שברור שלא דומה "גילוי" ההוכחה למשפט האחרון של פרמה לגילוי אי באוקיינוס או גילוי צמח שלא היה מוכר קודם לכן. ההוכחה למשפט האחרון של פרמה כרוכה בעבודת יצירה רבה מאוד, ולטעון שהיא הייתה קיימת ורק היה צריך לגלות אותה אינו רחוק מלטעון ששיר חדש אינו יצירה של המשורר אלא גילוי של השיר ב"ים כל המחרוזות המילוליות". בהתאם לגישה זו, המתמטיקה כולה היא יצירה של המוח האנושי, ואינה קיימת בלעדיו. ביטוי נחרץ לגישה זו נתן המתמטיקאי הגרמני לאופולד קרונקר, באומרו: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל היתר הוא מעשה ידי אדם". עם המתמטיקאים הבולטים שהחזיקו בדעה זו נמנים גם ריכארד דדקינד וקארל ויירשטראס. גם הפילוסוף לודוויג ויטגנשטיין החזיק בדעה שהמתמטיקאי הוא ממציא, ולא מגלה.

מדוע המתמטיקה עובדת?

Hyperbolic triangle
משולש על משטח בגאומטריה היפרבולית. פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית העקבית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותו של השימוש באקסיומות כנגד החשיבה האינטואיטיבית.

בפילוסופיה של המתמטיקה יש כמה אסכולות, שמתמקדות בשאלות מטאפיזיות, כלומר: "מדוע המתמטיקה פועלת?", ובשאלה קשורה אך שונה מבחינה לוגית, "מדוע המתמטיקה מסבירה בצורה כל כך טובה את העולם הפיזי כפי שאנו רואים אותו?"

התשובה לשאלה זו אינה מובנת מאליה. בעקבות עבודתו של דוויד הילברט, נהוג היום לראות את המתמטיקה כתורה המטפלת במודלים אקסיומטיים, שבהם האקסיומות נבחרות באופן שרירותי, בלי קשר למציאות, רק בתנאי שיהיו עקביות. גישה זו זכתה לחיזוק בעקבות גילויה/המצאתה של גאומטריה לא אוקלידית, שבה אקסיומת המקבילים שונה מזו של הגאומטריה האוקלידית. שתי הגאומטריות הללו תקפות מתמטית בדיוק באותה מידה, אולם סביר שרק אחת מהן מתארת את המציאות. ובכל זאת - כאשר נותנים למודל את הפשר המתאים מקבלים לא רק תיאור מצוין של המציאות, אלא גם את היכולת לחזות תופעות באמצעות חקירת המשוואות ודדוקציה מתמטית של משפטים ומסקנות מהאקסיומות. דבר זה בא לידי ביטוי בשימוש בתורת המספרים לייצג את החשבון היומיומי שאנו עושים בהוספת והחסרת דברים, ובהסתמכות של כל תאוריה פיזיקלית כיום על משוואות מתמטיות שמתארות את האינטראקציות והקינמטיקה (תנועה) של הגופים.

היטיב לבטא בעיה זו הפיזיקאי אלברט איינשטיין שתהה "כיצד ייתכן שהמתמטיקה, שאיננה אלא פרי מחשבת האדם, ללא תלות בניסיון ובהסתכלות, מסתגלת כל כך יפה למציאות?" תשובתו הייתה: "במידה שחוקי המתמטיקה מתייחסים למציאות, הם אינם ודאיים; ובמידה שהם ודאיים, הם אינם מתייחסים למציאות".[1]

פתרון חלקי לבעיה זו הציג הפילוסוף עמנואל קאנט. על פי קאנט טענות המתמטיקה הם "סינתטי א-פריורי", כלומר: טענות אינפורמטיביות שאינן תלויות בניסיון (ואף קודמות לכל ניסיון). טענות אלה אינן מוסרות מידע לגבי העולם כשלעצמו, אבל הן כן מוסרות מידע על העולם כפי שהוא נתפש בניסיוננו, כלומר - העולם דרך משקפי "התבונה הטהורה". המתמטיקה איננה חוקי העולם אלא חוקי ההיגיון או חוקי התבונה שדרכם תופש המוח האנושי את העולם הסובב אותנו ומארגן את צבר התחושות שהוא קולט לכלל ניסיון או מציאות עקביים.

יסודות המתמטיקה ומקור הוודאות שלה

שלוש אסכולות — אינטואיציוניזם, לוגיציזם ופורמליזם — התפתחו בתחילת המאה ה-20 כתגובה להבנה המחלחלת יותר ויותר, כי המתמטיקה (כפי שהייתה אז), והאנליזה בעיקר, אינה עומדת בקריטריונים של החומרה הלוגית והוודאות, שהייתה אמורה לעמוד בהם. כל אסכולה מתייחסת לנושאים שעלו באותו זמן, כשהיא מנסה לפתור אותם או לטעון שהמתמטיקה אינה זכאית למעמד שלה כתחום המכיל את הידע הוודאי ביותר שנוכל להשיג.

עם דעיכתה של הוודאות המתמטית, שאלת היסודות המקוריים של המתמטיקה ("איזה ענף במתמטיקה הוא זה הבסיסי, שממנו כל שאר הענפים צומחים?") נוסחה מחדש כחקירה פתוחה של יסודות המתמטיקה עם היסמכות על מושגי יסוד מסוימים כגון סדר, וכך עלה התחום מטא-מתמטיקה, שאפשר להגדירו פשוט כ"מתמטיקה שמועילה במחקר מטאפיזי על המתמטיקה".

נתייחס לאסכולות האלה בנפרד:

ריאליזם מתמטי, או פלאטוניזם

ריאליזם מתמטי טוען כי ישויות מתמטיות קיימות באופן עצמאי, גם מחוץ למוח האנושי. לפיכך, בני אדם אינם ממציאים את המתמטיקה, אלא מגלים אותה, וכל שאר הישויות האינטליגנטיות ביקום כנראה היו עושות דבר דומה. משתמשים במושג "פלאטוניזם", מכיוון שדעה כזו מקבילה לאמונתו של אפלטון ב"רעיונות שמימיים", מציאות בלתי משתנה אולטימטיבית, שהעולם היומיומי הוא רק קירוב לא מושלם שלה. דעותיו של אפלטון כנראה מגיעות מפיתגורס וחברי האסכולה שלו, "הפיתגוראים", שהאמינו כי העולם בנוי באופן ממשי ממספרים. לרעיון זה עשויים להיות מקורות קדומים יותר שאינם ידועים לנו.

מתמטיקאים חשובים רבים הם ריאליסטיים; הם רואים את עצמם כמגלים. כדוגמה אפשר לציין את פאול ארדש וקורט גדל. יש שנתנו הסברים פסיכולוגיים להעדפה הזו: כנראה שקשה מאוד לעסוק ולחקור משהו למשך תקופה ארוכה, אם אינך מאמין שהוא קיים. גדל האמין במציאות מתמטית אובייקטיבית, שניתן מבחינה עקרונית לחוש בה, בדומה לחישה רגילה. ישנם עקרונות מסוימים (לדוגמה, עבור כל שני דברים מתמטיים, יש אוסף של דברים שמורכבים בדיוק משני הדברים האלה) שאפשר לראות שהם אמת בצורה ישירה, אך יש השערות מסוימות, כמו "השערת הרצף", שייתכן שלא ניתן להחליט אם הן נכונות או לא. גדל הציע מתודולוגיה אמפירית למחצה שבעזרתה ניתן יהיה למצוא מספיק ראיות כדי להניח השערות כגון אלה.

הבעיה הגדולה ביותר של הריאליזם המתמטי היא זו: היכן ואיך הישויות המתמטיות האלה קיימות? האם יש עולם, נפרד לחלוטין מהעולם הפיזי שלנו, שבו קיימות הישויות המתמטיות? איך אפשר להגיע לעולם הזה ולגלות את האמת על הישויות האלה? ישנה ביקורת רבה על התשובות של אפלטון וגדל לשאלות אלו.

טענה חשובה בעד הריאליזם המתמטי, שנוסחה בידי ו. ו. קוויין והילרי פטנאם, היא "טענת ההכרחיות": המתמטיקה הכרחית עבור כל המדעים האמפיריים, ואם רוצים להאמין בתופעות המתוארות על ידי כל המדעים, יש להאמין גם במציאות של הישויות הנצרכות עבור התיאור הזה. בהתאם לפילוסופיה הכללית של קוויין ופטנאם, טענה זו היא נטורליסטית. היא טוענת לקיומן של הישויות המתמטיות כהסבר הטוב ביותר למה שאנו חווים, וכך הם מרוקנים את המתמטיקה, במידה מסוימת, מהמעמד האפיסטמי שלה.

רוב צורות הלוגיציזם (ראו להלן) הן צורות שונות של ריאליזם מתמטי. אינטואיציזם היא הדוגמה הקלאסית לפילוסופיה אנטי-ריאליסטית של המתמטיקה.

פטנאם התנגד נחרצות למושג "פלאטוניזם", בטענה שמושג זה מרמז על הוויה מסוימת, שאינה נצרכת במקרה המתמטי. הוא תומך בצורה של "ריאליזם טהור" שדוחה מושגים מיסטיים של אמת, ומקבלת הרבה אמפיריציזם-למחצה במתמטיקה. דוגמה של תאוריה ריאליסטית שמתנגדת לפלאטוניזם היא תאוריית השכל המוגשם (ראו להלן).

פורמליזם

Göttingen Stadtfriedhof Grab David Hilbert
על מצבתו של הילברט חרוטות המילים "אנחנו חייבים לדעת. אנחנו נדע." אידיאל זה התנפץ עם משפטי האי שלמות של גדל

הפורמליזם טוען כי אפשר לראות אמירות מתמטיות כאמירות על התוצאות של חוקי מניפולציה של מחרוזות (רצף של סימנים). לדוגמה, ב"משחק" של הגאומטריה האוקלידית (שאפשר להבין אותה כמורכבת ממחרוזות מסוימות הקרויות "אקסיומות" ומכמה חוקים המייצרים מהמחרוזות הראשונות מחרוזות נוספות), אפשר להוכיח כי משפט פיתגורס מתקיים (כלומר, אפשר ליצור את המחרוזת המקבילה למשפט פיתגורס).

לפי כמה מהגרסאות של הפורמליזם, הנושא של המתמטיקה הוא בעצם רק הסימנים הרשומים עצמם. כל משחק שווה למשחק אחר, ואפשר רק לשחק את המשחקים, אך אי אפשר להוכיח דבר לגביהם. עם זאת, עמדה זו אינה פותרת את הבעיות האפיסטמיות (מהם סמלים? האם הם קיימים בעולם לא משתנה ונצחי?), אינה מסבירה את התועלת שבמתמטיקה, ועושה את המתמטיקה לפעילות חסרת ערך לחלוטין. גרסה זו של הפורמליזם אינה מקובלת ביותר.

גרסה שנייה של הפורמליזם ידועה כדדוקטיביזם. בדדוקטיביזם, משפט פיתגורס אינו אמת מוחלטת, אלא אמת יחסית: אם מייחסים משמעות למחרוזות כך שחוקי המשחק נעשים לאמיתיים (כלומר, אקסיומות הן אמירות נכונות, והחוקים שאיתם פועלים גם הם אמיתיים), אז יש לקבל את המשפט, או ליתר דיוק, הפירוש שניתן למשפט זה הוא כנראה אמת. ניתן לומר את אותו הדבר לגבי כל אמירה מתמטית. לפי גישה זו, הפורמליזם אינו טוען שהמתמטיקה היא רק משחק סמלים חסר משמעות. בדרך כלל אכן מקווים שיש פירוש כלשהו שבו חוקי המשחק הם אכן אמיתיים. שיטה זו מאפשרת למתמטיקאי להמשיך בעבודתו, ולהשאיר את הבעיות האלה לפילוסוף או למדען. פורמליסטים רבים טוענים כי למעשה המערכות האקסיומטיות שאותן יחקרו יהיו אלה שיועילו ביותר למדע או לתחומים מתמטיים אחרים.

אחד מהראשונים שהציעו את הפורמליזם היה דוויד הילברט, שמטרתו (תוכנית הילברט) הייתה להביא לאקסיומטיקה שלמה ועקבית (קונסיסטנטית). הילברט ביקש להראות את העקביות של המערכת המתמטית מההנחה כי ה"אריתמטיקה הפיניטארית" (כלומר, המספרים הטבעיים, שנחשבו כמקובלים על הכול מבחינה פילוסופית) היא עקבית. משפט האי שלמות השני של גדל הביא את תוכנית הילברט אל קִצה, כיוון שהראה כי מערכות אקסיומטיות חזקות אינן יכולות לעולם להוכיח את העקביות של עצמן. בפרט כל מערכת אקסיומטית סבירה שתכלול את המספרים הטבעיים לא תוכל להוכיח את העקביות של עצמה.

הילברט היה במקור דדוקטיביסט, אך כפי שאפשר לראות מההסבר שלנו, הוא חשב כי שיטות מטא-מתמטיות מסוימות מביאות לתוצאות משמעותיות, והוא היה ריאליסט ביחס למספרים הטבעיים. מאוחר יותר היה בדעה כי אין מטא-מתמטיקה משמעותית כלשהי, ולא משנה באיזה פירוש.

פורמליסטים מודרניים, כגון רודולף קרנפ, אלפרד טרסקי והסקל קורי, חושבים כי המתמטיקה היא חקירה של מערכות אקסיומטיות פורמליות. לוגיקנים מתמטיים חוקרים מערכות פורמליות אך הם פעמים רבות פלאטוניסטים.

פורמליסטים הם בדרך כלל סובלניים למדי, ומזמינים גישות חדשות ללוגיקה, למערכות מספרים לא סטנדרטיות, גרסאות חדשות של תורת הקבוצות, וכו'. ככל שאנו משחקים יותר משחקים כן ייטב. אך בכל שלוש הדוגמאות האלה, המוטיווציה היא תמיד בשל התעניינות מתמטית או פילוסופית. ה"משחקים" אף פעם אינם נבחרים באופן שרירותי.

הבעיה העיקרית עם הפורמליזם היא שהרעיונות המתמטיים האמיתיים שמעסיקים מתמטיקאים אינם דומים כלל למשחקי המניפולציה הקטנים שתוארו למעלה. אם כי אפשר להגדיר הוכחות על ידי המושגים של המשחקים האלה, ההוכחות כמעט אף פעם אינן נעשות למעשה באופן הזה. הפורמליזם גם לא מסביר איזה מערכת אקסיומות יש לחקור.

לוגיציזם

הלוגיציזם טוען כי הלוגיקה היא הבסיס של המתמטיקה, וכי כל האמירות המתמטיות הן אמיתות לוגיות מוכרחות. לדוגמה, הטענה "אם סוקרטס הוא אדם, וכל אדם הוא בן תמותה, אז סוקרטס הוא בן תמותה", היא אמת לוגית מוכרחת. ללוגיציסט, כל האמירות המתמטיות הן מאותו סוג; הן תשובות אנליטיות, או טאוטולוגיות.

גוטלוב פרגה היה מייסד הלוגיציזם. בספרו החשוב, "החוקים הבסיסיים של האריתמטיקה", הוא בנה את האריתמטיקה ממערכת לוגית, שכללה את מה שהוא כינה 'החוק הבסיסי החמישי' (שני מושגים F ו-G הם שווי משמעות, אם ורק אם כל אובייקט a המתאים ל-F מתאים גם ל-G), עיקרון שהוא חשב שהוא חלק מקובל של הלוגיקה.

אך בבנייה של פרגה הייתה טעות פטאלית. ברטרנד ראסל גילה כי החוק הבסיסי החמישי אינו עקבי (זהו הפרדוקס של ראסל). פרגה נטש את תוכניתו הלוגית זמן קצר לאחר מכן, אך ראסל ווייטהד המשיכו אותה. הם ייחסו את הפרדוקס ל"מעגליות מרושעת" ובנו תאוריה מסובכת של מדרג על מנת לפתור את בעיית המעגליות. במערכת זו הם הצליחו, בסופו של דבר, לבנות הרבה מהמתמטיקה המודרנית אך באופן שונה ומסובך יותר (לדוגמה, המספרים היו שונים בכל רמה של המדרג, והיו אינסוף רמות במדרג). הם גם היו צריכים להתפשר בכמה נקודות על מנת לבנות כל כך הרבה מהמתמטיקה, כגון ב"אקסיומת הצמצום". אפילו ראסל אמר כי האקסיומה הזו לא באמת שייכת ללוגיקה.

לוגיקנים מודרניים שבו לתוכנית הקרובה יותר לזו של פרגה. הם נטשו את החוק הבסיסי החמישי לטובת עקרונות הפשטה כגון העיקרון של יום (שמספר הדברים שמתאימים ל-F שווה למספר הדברים שמתאימים ל-G, אם ורק אם קיימת התאמה חד-חד ערכית בין הקבוצות המתארות את F ו-G). פרגה היה זקוק לחוק הבסיסי החמישי כדי לתת הגדרה ברורה של המספרים, אך אפשר להפיק את כל המאפיינים של המספרים מהעיקרון של יום. דבר זה לא היה מספיק בשביל פרגה כי (בפרפרזה על דבריו) אין זה מוציא מכלל אפשרות כי יוליוס קיסר=2.

קונסטרוקטיביזם ואינטואיציוניזם

אינטואיציוניזם היא עמדה שבאה בעקבות טענתו של קאנט, בדבר האפשרות להגיע אל ההכרה הממשית של טבע העולם באמצעות התבונה בלבד, ולפיה כל הידע המתמטי נובע מהחשיבה האנושית. כל עצם מתמטי הוא תוצר של השכל, ולכן קיומו מותנה ביכולת לבנות אותו. בהתאם לכך, יש לקבל לדיון המתמטי רק עצם שקיימת דרך ברורה לבנותו.

ציטוט טיפוסי הוא של לאופולד קרונקר: "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים, כל השאר הוא עבודת האדם". כוח משמעותי מאחורי האינטואיציוניזם הוא ל. אי. ג'יי. בראואר, שהציע לוגיקה חדשה, השונה מהלוגיקה האריסטוטלית הקלאסית; ה"לוגיקה האינטואיציונית" אינה כוללת את כלל השלישי מן הנמנע (החוק שאומר שדבר חייב להיות אמת או שקר, ושאין אפשרות אחרת), ולפיכך היא אינה מסכימה עם הוכחה בדרך השלילה. אקסיומת הבחירה נדחית אף היא. עבודה חשובה נעשתה לאחר מכן על ידי ארנד הייטינג, שהיה תלמידו של ברואר, שניסח באופן פורמלי את הלוגיקה האינטואיציוניסטית, ועל ידי ארט בישופ, שהצליח להוכיח כמה מהמשפטים החשובים ביותר באנליזה במסגרת הזו.

באינטואיציוניזם, המושג "בנייה ברורה" לא הוגדר באופן חותך, ודבר זה הביא לביקורת עליה. ניסיונות נעשו להשתמש במושגים כגון מכונת טיורינג או פונקציה רקורסיבית על מנת למלא את החסר, דבר שהוביל לטענה כי רק שאלות שמתייחסות להתנהגות של אלגוריתמים סופיים משמעותיות, וכי רק אותם המתמטיקה צריכה לחקור.

תאוריות השכל המוגשם

תאוריות אלה טוענות כי החשיבה המתמטית היא פיתוח טבעי של המערכת הקוגניטיבית האנושית לנוכח היקום הפיזי. לדוגמה, המושג המופשט של מספר מגיע מהחוויה של ספירת חפצים נפרדים. כלומר, המתמטיקה אינה אוניברסלית ולא קיימת בצורה אמיתית, חוץ מאשר במוח האנושי. בני אדם יוצרים, אינם מגלים, את המתמטיקה.

לפי זה, היקום הפיזי הוא הבסיס האולטימטיבי של המתמטיקה: הוא שהדריך את האבולוציה של המוח ולאחר מכן קבע איזה שאלות המוח הזה יבקש לחקור. אולם, למוח האנושי אין תביעה מיוחדת על "האמת" או על הגישות אליה שנבנות על המתמטיקה; אם בניות אלה כגון זהות אוילר הן "אמת", אז הן אמת כמפה של החשיבה והמוח האנושי, ולא כמפה של דבר שהמוח הזה "רואה".

היעילות של המתמטיקה בהסבר היקום מוסברת בקלות: המוח הוא שבנה את המתמטיקה כדי שיהיה יעיל ביקום הזה.

כנגד טענה זאת מועלית התנגדות הקשורה באינסוף: המתמטיקה מטפלת בהרבה דברים אינסופיים - הן מבחינת סוגים, הן מבחינת כמות והן מבחינת תהליכים, כיצד המתמטיקה, שכוללת עצם או אידאה כמו האינסוף, יכולה להימצא במוח האנושי, שהוא דבר סופי?

קונסטרוקטיביות חברתית או ריאליזם חברתי

תאוריה זו רואה את המתמטיקה בעיקר כהבניה חברתית, כתוצר של התרבות, שניתן לשינוי ולתיקון. כמו במדעים האחרים, המתמטיקה היא הסכמה בין אנשים, וניתן לשנות אותה אם היא אינה עונה על צורכי הקבוצה. הכיוון של המחקר המתמטי נקבע בידי ההשקפות של הקבוצה החברתית שעוסקת בו, תכונותיה (למשל, האם היא חברה חשדנית או בוטחת באנשים), המבנה החברתי שלה, או על ידי הצרכים של החברה שתומכת בו. כוחות חיצוניים יכולים לשנות את הכיוון של חלק מהמחקר המתמטי, וישנן גם הגבלות פנימיות חזקות (המסורות, השיטות, הבעיות, המשמעויות והערכים המתמטיים שאליהם המתמטיקאים מחונכים). קונסטרוקטיביסטים מרבים לעסוק במושג ההוכחה, במיוחד בפער הרב הקיים בין ההגדרה הפורמלית של הוכחה בלוגיקה מתמטית לבין הוכחות כפי שהן מופיעות הלכה למעשה בכתבי עת וספרים מתמטיים. הם מייחסים את ההבדלים בין קהילות שונות של מתמטיקאים בסטנדרטים של מה שנחשב להוכחה קבילה, שאותם הם מייחסים לנורמות חברתיות שונות.

רעיון זה סותר את האמונות המקובלות ביחס לאופן פעולתם של המתמטיקאים, הטוענות לטוהר ואובייקטיביות המתמטיקה. אך קונסטרוקטיבסטים מתמטיים טוענים כי המתמטיקה למעשה מבוססת על הרבה חוסר ודאות: עם האבולוציה של המתמטיקה, הסטטוס של המתמטיקה הקודמת נעשה פחות ברור, והיא מתוקנת על ידי הקהילה המתמטית, במידה שאפשר או רצוי לשנותה. אפשר לראות את ההיבט הזה בהתפתחות של האנליזה על ידי הבחינה מחדש של החשבון האינפיניטסימלי במאה ה-19. הם גם אומרים כי ישנה אמונה רבה מדי בהוכחות אקסיומטיות ובביקורת עמיתים הדדית.

את טבעה החברתי של המתמטיקה אפשר לראות בתתי-התרבות שלה. אפשר לעשות גילויים חשובים בענף אחד של המתמטיקה שיהיו רלוונטיים לענפים אחרים, אך בדרך כלל לא מגלים את הקישורים האלה בגלל חוסר הקשר החברתי בין המתמטיקאים. כל תת-תחום יוצר לעצמו קהילה נפרדת, ולעיתים יש קושי רב בתקשורת ביניהן, או במחקר העוסק בקשרים שעשויים לחבר את התחומים השונים של המתמטיקה. קונסטרוקטיביים חברתיים רואים את התהליך של המחקר המתמטי כיוצר את המשמעות, ואילו ריאליסטים חברתיים רואים חיסרון ביכולת האנושית לפשט דברים, בהטיות קוגניטיביות אנושיות כמונעים את ההבנה של היקום "האמיתי" של "הדברים המתמטיים". קונסטרוקטיביסטים חברתיים לפעמים דוחים את החיפוש אחר יסודות המתמטיקה ככישלון ודאי, כחסר משמעות או כחסר טעם. יש הטוענים כי המתמטיקה אינה אמיתית או אובייקטיבית כלל, אלא היא מושפעת על ידי גזענות ואתנוצנטריזם. כמה מהרעיונות האלה קשורים לפוסטמודרניזם.

תרומות לאסכולה הזו נעשו על ידי אימרה לקטוש, שבעקבות קרל פופר טען שהידע המתמטי מתפתח בתהליך של השערות והפרכות, ותומאס טימושצקו. פול ארנסט ניסח במפורש פילוסופיה חברתית קונסטרוקטיביסטית, ורובין הרש פיתח תפישה דומה שאותה הוא מכנה הומניזם.

מעבר ל"אסכולות"

במקום להתמקד בוויכוחים הצרים על ה"אמת האמיתית" של המתמטיקה, או אפילו על הדברים המאפיינים את המתמטיקה כמו הוכחה, תנועה גדלה משנות ה-60 של המאה ה-20 ועד שנות ה-90 של המאה ה-20 החלה לאתגר את שאלת "היסודות", ואת האפשרות למצוא תשובה נכונה לשאלה מדוע המתמטיקה פועלת. ההתחלה של התנועה הייתה במאמר מפורסם של יוג'ין ויגנר מ-1960, "היעילות הלא-סבירה של המתמטיקה במדעי הטבע",[2] שבו טען כי העובדה שהמתמטיקה ומדעי הטבע כה מתאימים זה לזה לא יכולה להיות מקרית, אך קשה להסביר אותה.

האסכולות ה"קוגניטיביות" או "החברתיות" הן תשובות לאתגר הזה. אך היו גם ויכוחים נוספים שקמו:

מעין-אמפיריציזם

עניין מקביל אחד, שאינו ממש מפריע לאסכולות באופן ישיר, אך הוא עדיין מאתגר את ההתמקדות שלהם, הוא הרעיון של המעין-אמפיריציזם במתמטיקה. רעיון זה גדל בסוף המאה ה-20 מהטענה הפופולרית שלא ניתן להוכיח כי אף אחד מיסודות המתמטיקה אכן קיים. יש שקוראים לזה "פוסטמודרניזם מתמטי". גישה זו היא צורה מינימלית של ריאליזם/קונסטרוקטיביזם חברתי, שמקבל שיטות אמפיריציסטיות-למחצה, ואף אמפיריציסטיות ממש, לתחום המתמטי המודרני.

שיטות כאלה תמיד היו חלק מהמתמטיקה העממית, ועל ידיה נעשו פעולות מרשימות של חישוב ומדידה. למעשה, השיטות האלה הם ה"הוכחה" היחידה שיש לתרבות כזו.

הילרי פטנאם טען כי כל תאוריה של ריאליזם מתמטי תכלול שיטות מעין-אמפיריציסטיות. הוא הציע כי יצורים מעולם אחר שעוסקים במתמטיקה, עשויים בהחלט להעדיף שיטות אמפיריציסטיות, ולזנוח את ההוכחות האקסיומטיות והקשוחות – אם כי יש סיכוי גדול יותר שהם יטעו בחישוביהם.

פעולה ומעשה

חוקרים רבים שאינם עוסקים בהוכחת משפטים מתמטיים העירו כמה הערות מעניינות ביחס לטבעה של המתמטיקה:

יהודה פרל טען, כי כל המתמטיקה כפי שהיא כיום מבוססת על אלגברה של ראייה – והציע אלגברה של מעשה (סיבתיות) על מנת להשלים אותה – דבר זה הוא התעניינות מרכזית של הפילוסופיה של הפעולה ושל מחקרים אחרים של היחס בין "ידיעה" ל"מעשה". התוצר החשוב ביותר של זה היו תאוריות אמת חדשות, בעיקר אלה שקשורים לאקטיביזם ולביסוס שיטות אמפיריות.

איחוד

הרעיון של פילוסופיה של המתמטיקה בנפרד מהפילוסופיה הכללית ספג ביקורת כ"מביא מתמטיקאים טובים לפילוסופיה גרועה" – פילוסופים מעטים מסוגלים להבין את השפה והתרבות המתמטית באופן כזה שיוכלו לקשר בין המושגים הרגילים יותר של המטאפיזיקה לרעיונות המטאפיזיים המיוחדים יותר של האסכולות דלקמן. דבר זה יכול להוביל לחוסר קשר, שבו המתמטיקאים ממשיכים לעסוק בפילוסופיה גרועה וחסרת בסיס כהצדקה לאמונה בראיית עולם שמאפשרת להם לעבוד בתחומם.

אם כי תאוריות חברתיות ומעין-אמפיריציזם, ובמיוחד תאוריית המוח המוגשם, התמקדו יותר באפיסטמולוגיה שמונחית על ידי הנוהגים המתמטיים הקיימים, הם אינם מצליחים לקשר בין התחומים האלה לבין החישה והידע היומיומי.

אתיקה

כמו כן, יש אך מעט התייחסות לאתיקה של המחקר המתמטי. בתרבות טכנולוגית, המתמטיקה נתפסת כצורך מוחלט שערכה ברור מאליו – אף אם לענפים מסוימים אין מטרה ברורה, או שהם מועילים רק על מנת לאפשר מאבקים, כמו קריפטוגרפיה, סטגנוגרפיה, שמועילים לשמירת סודות, או המתמטיקה שקשורה לשיפור הביקוע הגרעיני. בעוד שהרוב מסכימים כי יש לפיזיקאים אחריות על המעשים האלה, מעטים מייחסים אחריות כלשהי למתמטיקאים.

הסוציולוגיה של הידע עסקה בחלק מהביקורת הזו, אך המתמטיקה עצמה הצליחה להתחמק מהמבטים הבוחנים שהם מנת חלקם של מדעים כמו הגנטיקה, הפיזיקה, הכלכלה או הרפואה.

פסיכולוגיה אבולוציונית לדוגמה אימצה את הרעיון ש"המוח הוא מחשב", במשמעות של "מכונת טיורינג". מהן המשמעויות של שימוש בהפשטה שאמורה הייתה להסביר מחשבים, להסבר המוח האנושי?

אסתטיקה

טענה נוספת היא שאפשר לראות את המתמטיקה באופן צר כמדע המדידה, עם כמות גדולה של קיצורי דרך שנועדו לפשט את החישובים. כמה מהאסכולות ייחסו למתמטיקה יותר חשיבות מאשר המטרה התועלתנית הזו – ולפעמים אף חיפשו הדרכה מוסרית, או אסתטיקה של האמת והיופי, בהפשטות של המתמטיקה. יש שרואים זאת כסימפטום של מדענות. רעיונות אלה מציעים כי המתמטיקה תקפה בתחומים רחבים יותר מאשר פיזיקה בלבד, דוגמת מדעי החברה ומדע הביולוגיה.

שפה

לבסוף, אף כי מתמטיקאים או פילוסופים רבים יקבלו את האמירה "מתמטיקה כשפה", אין הרבה תשומת לב שמופנית למשמעות של האמירה הזו. לא משתמשים בבלשנות כלפי מערכות הסמלים של המתמטיקה, כלומר, חוקרים את המתמטיקה באופן שונה מאשר שפות אחרות. היכולת לקלוט את המתמטיקה ולפעול בה נתפסת כנפרדת מאוריינות וקליטת שפה.

יש שטוענים[דרוש מקור] כי דבר זה הוא תוצאה של כישלון לא של הפילוסופיה של המתמטיקה, אלא של הבלשנות ושל מחקר התחביר הטבעי. תחומים אלה, הם אומרים, אינם קשיחים מספיק, והבלשנות צריכה "לסגור את הפער". אך דבר זה נסמך במרומז על הרעיון שהמתמטיקה היא עילאית מכל שאר סוגי הידע. הסטנדרטים של הקשיחות אולי שונים בשפות שונות, אך "יותר" הוא לאו דווקא "טוב יותר".

ראו גם

לקריאה נוספת

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ Einstein, Albert (1923). "Sidelights on Relativity (Geometry and Experience)". P. Dutton., Co.
  2. ^ Eugene Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, No. I, February 1960
אינטואיציוניזם

בפילוסופיה של המתמטיקה, אינטואיציוניזם היא גישה הרואה במתמטיקה תוצאה של פעילות אנושית של בניות מנטליות. כך, בהינתן אוסף אקסיומות (באינטואיציוניזם: אריתמטיקה של מספרים טבעיים), הטענות היחידות שנחשבות "לגיטימיות" הן אלו שנבנו, בעקיפין או שלא בעקיפין, על ידי האקסיומות. במילים אחרות, טענה ניתן להוכיח או להפריך רק באמצעות שיטות הוכחה קונסטרוקטיביות. לכן פוסלים האינטואיציוניסטים הוכחות על דרך השלילה ולמעשה את כלל השלישי מן הנמנע. אבי האסכולה הוא המתמטיקאי ההולנדי ל.א.י בראואר. מתמטיקאים נוספים שעסקו בתחום הם ארנד הייטינג, אנדריי קולמוגורוב והרמן וייל.

אפוסטריורי

אפוסטריורי או א-פוסטריורי (לטינית: a posteriori, שפירושו: "מתוך מה שבא אחר-כך") הוא מונח בלוגיקה או בפילוסופיה שבא להניח טיעון שמהלכו הוא מן הסיבות הנראות לעין אל הסיבות הלא-ידועות, כלומר, מן החוויות והניסיון שלנו. לעומתו, טיעון א-פריורי הוא טיעון שמתחיל מהסיבות אל המסקנות.

ישנן עובדות רבות שאנחנו יודעים דרך החושים שלנו, כגון: דברים נופלים כלפי מטה ולא מעלה, או: שמן לא מתערבב עם מים. אלו אמיתות שאנחנו יודעים אותן מניסיון הרבה לפני שיש באפשרותנו להסבירן. כל עוד לא נוכל להסביר אותן מבחינה מדעית (כוח הכבידה או הקוטביות של מולקולות השמן), ידיעותינו יהיו ידיעות א-פוסטריוריות.

אפריורי

אַפְּרִיּוֹרִי (מלטינית: a priori, "מן הקודם" או "לפני הניסיון") הוא מונח בפילוסופיה ובלוגיקה. בצורה מופשטת ניתן לומר כי המונח א-פריורי, הוא טיעון שמתחיל מהסיבות אל המסקנות, וגם מתייחס למושגים או תפישות שאינם תלויים בחוויות-חושים, מהתבוננות או ניסיון.

וזאת בניגוד למושגים אפוסטריוריים (מתוך מה שבא אחר-כך), שהוא טיעון שמהלכו הוא מן הסיבות הנראות (כלומר, מן החוויות והניסיון שלנו אל הסיבות) אל העין אל הסיבות הלא-ידועות. למשל דברים הנופלים כלפי מטה ולא כלפי מעלה, או: שמן אשר לא מתערבב עם מים. כל עוד לא נוכל להסביר אותן מבחינה מדעית (הסברים כמו 'כוח הכבידה' או 'הקוטביות של מולקולות השמן'), ידיעותינו אודותיהן יהיו ידיעות א-פוסטריוריות.

ידע אפריורי נחשב ידע פרופוזיציונלי במובן זה שהוא נרכש לפני ניסיון כלשהו.

דוגמה למשפטים אפריורים הם משפטים המובנים מעצמם כגון "שני גדלים השווים לגודל שלישי שווים ביניהם", או הוכחות מתמטיות שאינן נזקקות לניסיון אלא מוכרחות מתוך עצמן.

פילוסופים רבים סבורים שלא תיתכן ידיעה אפריורית, בעיקר בתחום השאלות התאולוגיות. על פי הפוזיטיביזם הלוגי, הצהרות שתהיינה נכונות א-פריורית תהיינה תמיד טאוטולוגיות. קנט טען כי ידע אפריורי קיים בצורת התנאים הנחוצים להתנסות כלשהי, כגון המושגים סיבתיות, חלל וזמן. הניסיונות להגדיר בבהירות או להסביר ידיעה א-פריורית מהי מהווים חלק מזרם מרכזי בתורת ההכרה (אפיסטמולוגיה). לאור העובדה שההגדרות והשימושים של המונח עוותו לאורך השנים ועל כן משתנים על פני תחומי-דעת שונים, יהיה זה קשה לספק הגדרה אוניברסלית בעבורו.

לעיתים, כלכלנים עושים שימוש במונח א-פריורי כדי לתאר צעד בטיעון שאמיתותו יכולה להתקבל כמוכיחה את עצמה.

למשל, עמנואל קאנט קרא למרחב הפיזי (המרחב שבו אנו חיים) גאומטריה אבסולוטית (מוחלטת). הוא טען שהיא הגאומטריה היחידה הא-פריורית. על פי תורת היחסות אנו חיים במרחב-זמן, מרחב לא אוקלידי ולא גאומטריה אבסולוטית.

האסכולה האלאטית

האסכולה האלאטית היא אסכולה בפילוסופיה הקדם-סוקרטית התופסת את המציאות כמהות אחת, קבועה, בלתי מונעת ובלתי משתנה. היא טוענת שמה שנתפס בעינינו כשינוי, אינו אלא אשליה. בפועל, המציאות קבועה ובלתי משתנה.

פרמנידס וזנון נמנים על אסכולה זו. הם נולדו ופעלו בעיר אליאה שמצויה בדרום איטליה ועל שמה הם קרויים. גם מליסוס איש סאמוס היה ממפתחי הפילוסופיה.

הוליזם

הוליזם (מיוונית: όλος; שלם, כולל) הוא הרעיון שתכונות מערכת לא יכולות להיקבע או להיות מוסברות אלא רק על ידי סך כל המרכיבים שלה. המילה, יחד עם התואר הוליסטי, נטבעו על ידי יאן סמאטס בתחילת שנות ה-20 של המאה ה-20. במילון אוקספורד, סמאטס מגדיר את ההוליזם כ"נטייה בטבע ליצור שלם שהוא גדול מסכום חלקיו על ידי אבולוציה יצירתית".

הוליזם מוגדר לעיתים כהיפוכו של הרדוקציוניזם, למרות שתומכי הרדוקציוניזם המדעי טוענים כי מוטב להתייחס אליו כאל היפוכו של הרדוקציוניזם התאוותני. אפשר להנגיד אותו גם עם אטומיזם. כמה מבקרים טוענים שהוליזם הוא ניסיון למיזוג בין רעיון הבריאתנות לבין רעיון האבולוציה.

השטח של חשיבת מערכתית התפתח בשנים האחרונות כדי להתמודד עם מספר גדול של נושאים תוך שימוש במושגים הוליסטיים.

יום הפילוסופיה העולמי

יום הפילוסופיה העולמי (באנגלית: World Philosophy Day) הוא מועד בינלאומי המצוין מדי שנה ביום חמישי השלישי של חודש נובמבר.

יופי מתמטי

יופי מתמטי הוא ההנאה האסתטית שמתמטיקאים עשויים לייחס לתוצאות מסוימות במתמטיקה. הם מבטאים הנאה זו על ידי התייחסות למתמטיקה (או לפחות לחלק מהיבטיה) כיפה. מתמטיקאים מתייחסים למתמטיקה כאל אמנות או לפחות כאל פעילות יצירתית ומרבים להשוות אותה למוזיקה ולשירה. נושא זה נדון על ידי הפילוסופיה של המתמטיקה.

לודוויג ויטגנשטיין

לודוויג ויטגנשטיין (בגרמנית: Ludwig Wittgenstein;‏ 26 באפריל 1889 – 29 באפריל 1951) היה פילוסוף אוסטרי-בריטי ממוצא יהודי. הגותו העיקרית היא בנושאי פילוסופיה של הלשון, פילוסופיה של המתמטיקה, פילוסופיה של הפסיכולוגיה ופילוסופיה של המדע. היה תלמידו של גוטלוב פרגה, ובקיימברידג' למד אצל ברטראנד ראסל.

ויטגנשטיין כתב שני חיבורים עיקריים: "מאמר לוגי פילוסופי" (טרקטטוס לוגיקו-פילוסופיקוס) ו"חקירות פילוסופיות" (שראה אור רק לאחר מותו). שני הספרים הוכרו כיצירות פילוסופיות מרכזיות ופורצות דרך במאה ה-20. רבים מצביעים על תהליך פילוסופי שעבר ויטגנשטיין במהלך חייו בין כתיבת הספרים, ולכן מבחינים בין "ויטגנשטיין המוקדם" לבין "ויטגנשטיין המאוחר".

מונאדה (לייבניץ)

מונאדה היא אובייקט פילוסופי שתיאר הפילוסוף גוטפריד וילהלם לייבניץ.

לפי לייבניץ, לכל אובייקט ישנה מונאדה העומדת בעבורו ושנושאת את כל האינפורמציה לגביו. אותו אובייקט אשר בעבורו עומדת המונאדה הוא "אובייקט אינטנציונאלי" של המונאדה. המונאדות הן נשאי אינפורמציה, כשהאובייקט אותו מייצגת המונאדה הוא "מצב אינפורמטיבי" של המונאדה. המונאדות הן דברים פשוטים שאינם ניתנים לפירוק מכל סוג שהוא.

בעיה העולה מתאוריית המונאדות של לייבניץ היא כיצד נוצרות וכלות מונאדות. נניח לדוגמה שיש קיר הבנוי מלבנים, ודאי המונאדה שתישא את האינפורמציה בעבורו תהיה מונאדה של "קיר עשוי מלבנים", אך אם נשבור את הקיר ונקבל ערימה של לבנים, מה יהיה אז? מה תהיה המונאדה במצב כזה?

אין תמימות דעים לגבי תשובתו של לייבניץ במקרה כזה, אך הועלו מספר סברות לגבי האופציות בהן היה עשוי לבחור:

מונאדת קיר הלבנים "התחלפה" במונאדה של "ערימת לבנים". בעצם ישנה טרנספורמציה: האינפורמציה הקודמת שנשאה המונאדה הוחלפה.

ניתן להקשות על לייבניץ ולשאול מה יהיה במקרה בו נפזר את הבלוקים כך שלא יהוו עוד ערימה, מה אז? ייתכן, שלייבניץ היה משיב, כי מונאדת קיר הלבנים הפכה למונאדה של אחד הבלוקים.למונאדות אין חלונות, אין קשר סיבתי ביניהן; הן כמו איים, האל הוא המסנכרן בין המונאדות בהרמוניה מושלמת.

מטאפיזיקה

מֵטָאפִיזִיקָה (מיוונית: μετά (מֵטַא) "מעבר", φυσικά "פיזיקה", "אודות הטבע") היא ענף של הפילוסופיה העוסק בהסבר טבעם של המציאות, הקשר בין חומר לנפש, בין חומר לתכונה ובין מחשבה למציאות. מקור המונח בספרו של אריסטו, שנקרא "מטאפיזיקה" משום שבסידור המסורתי של כתביו היא הופיעה לאחר ספרו ה"פיזיקה".

אך במשך הדורות קיבל המושג משמעות יותר מילולית- פיזיס משמעותו טבע; לכן מטאפיזיקה עוסקת בדברים אשר הם מעבר לטבע או לעולם הגשמי. התפיסה בפילוסופיה מודרנית מתבססת על שימוש זה.

מתמטיקה

מָתֵמָטִיקָה היא תחום דעת העוסק במושגים כגון כמות, מבנה, מרחב ושינוי. המתמטיקאים מחפשים דפוסים ותבניות משותפות במספרים, במרחב, במדע ובהפשטות דמיוניות.המתמטיקה התפתחה ממנייה, חישוב ומדידה ומהמחקר השיטתי של צורות ותנועה של עצמים מוחשיים. הידע והשימוש במתמטיקה בסיסית היוו תמיד חלק טבעי וחיוני בחיי האדם והקבוצה. ניתן למצוא שכלולים של הרעיונות הבסיסיים בטקסטים המתמטיים שהגו המצרים, הבבלים, ההודים, הסינים, היוונים והמוסלמים. כבר בשלב מוקדם בלטו שלושה מאפיינים המלווים את המתמטיקה עד היום:

הפשטה: אף שמקורם של חלק מן העצמים המתמטיים בעולם הממשי, הדיון המתמטי בהם כרוך בהפשטה ניכרת. המספר 5 עשוי לייצג 5 אבנים או 5 תפוחים, אך המתמטיקה עוסקת במספר כישות עצמאית, שאינה מייצגת דבר. המעגל מזכיר לנו חפצים מוחשיים עגולים, כגון גלגל, אך הגאומטריה עוסקת במעגל מופשט, חסר משקל וחסר נפח ומושלם בצורתו.

הכללה: המתמטיקה בוחנת את עצמיה המופשטים בראייה רחבה, תוך חיפוש מאפיינים כלליים שלהם. מושג המספר כולל בתוכו סדרה של הכללות: מעבר ממספרים טבעיים למספרים שלמים, מהם למספרים רציונליים, מהם למספרים ממשיים ומהם למספרים מרוכבים. בכל אחת ממערכות המספרים הללו מוכלת המערכת שקדמה לה.

הוכחה: כל טענה מתמטית יש להוכיח, כלומר לנמק את נכונות הטענה באמצעות סדרה של כללי היסק. המתמטיקאי מעלה השערות חדשות, שאת אמיתותן עליו לבסס באמצעות הוכחות פורמליות דדוקטיביות הנובעות מתוך אקסיומות (הנחות יסוד שקובעים כי הן נכונות), והגדרות שנבחרו בהתאם. הוכחות פורמליות הופיעו לראשונה במתמטיקה היוונית, ובמיוחד ב"יסודות" של אוקלידס.פיתוח המתמטיקה המשיך, בצורה בלתי מסודרת, עד תקופת הרנסאנס במאה ה-16, שבה החידושים המתמטיים קיימו יחסי גומלין עם התגליות המדעיות של התקופה. דבר זה הוביל להאצה במחקר המתמטי, ובמקביל לכך החלה התרחבות מהירה של המתמטיקה כמדע עצמאי. שני כיווני התפתחות אלה נמשכים עד היום.המתמטיקה משמשת ככלי חיוני בתחומים רבים, ובכלל זה במדעי הטבע, בהנדסה, ברפואה ואף במדעי החברה כגון כלכלה, פסיכולוגיה ודמוגרפיה. בעיות שמקורן בענפי מדע אחרים ממשיכות להוות זרז ומניע לתגליות מתמטיות חדשות, ולעיתים מתפתחים תחומים מתמטיים חדשים לחלוטין בעקבות זאת. במקביל מתפתחת המתמטיקה כענף ידע נרחב ועצמאי, ללא התייחסות ליישומו בענפי מדע אחרים, אם כי לעיתים קרובות מתגלים בהמשך יישומים מעשיים לתגליות שהחלו כמתמטיקה עיונית בלבד.

עצם מתמטי

עצם מתמטי או אובייקט מתמטי הוא מושג מהפילוסופיה של המתמטיקה, שמתייחס לעצם מופשט המופיע במתמטיקה.

עצם מתמטי הוא כל דבר שמוגדר באופן פורמלי וריגורוזי. דוגמאות לעצמים מתמטיים הם מספרים, קבוצות, פונקציות ויחסים.

בגאומטריה, כענף של המתמטיקה, קיימים עצמים כמו נקודות, ישרים, מצולעים, מעגלים, ספירות, פאונים ויריעות.

באלגברה, ענף אחר של המתמטיקה, ישנם עצמים מסוג חבורות, חוגים ושדות.

ערך (אתיקה)

באתיקה, המונח ערך מתייחס למדד של הערכת טיבו המוסרי של מעשה מסוים. תחום הידע העוסק בערכים נקרא "תורת הערך", או "אקסיולוגיה" .

עשרת הכבלים

עשרת הכבלים בבודהיזם הם אלו הכובלים את בני האדם שטרם חוו הארה.

מי שהצליח לנתק את שלושת הכבלים הראשונים מתחיל את המסע לנירוואנה, ואילו זה שהצליח לנתק את כל עשרת הכבלים הופך לבודהה שפירושו מואר.

התמקדות ב"עצמי" - אמונה בזהות אישית

ספק - בעיקר בבודהה ובתורתו. יש להדגיש כי הבודהיזם אינו דוגמטי, ולכן אינו דורש ציות עיוור או אוסר על שאילת שאלות.

היצמדות לטקסים ולפולחנים - אמנם הבודהיזם כמו כל פילוסופיה מוסרית דורש ערכי מוסר גבוהים, אולם אינו דורש אותם כציות עיוור אלא כתוצאה של מודעות והבנה. בנוסף, הבודהיזם לא דורש היצמדות לטקסי דת (אם כי אינו שולל אותם).

השתוקקות חושית / תשוקה חושנית (אחד מהיבטי הטנהא), זו המצוירת במרכז גלגל החיים

שנאה, זדון, רצון-להרע

תאווה חומרנית (אחד מהיבטי הטנהא )

תאווה לקיום חסר הצורה (אחד מהיבטי הטנהא הייחודי למודטים)

גאווה

חוסר שקט

בורות (בערות)

פורמליזם (מתמטיקה)

הפורמליזם (בעברית: הצרנה) הוא מתודה מתמטית, שמהווה מלבד שיטת עבודה גם פילוסופיה ותפיסה כוללת לגבי מהות המתמטיקה.

פילוסוף

פילוסוף הוא אדם העוסק בפילוסופיה. הפילוסוף שואל שאלות כגון מהו מבנה העולם, האם קיים אלוהים ומהי הנפש האנושית. הוא דן בשאלות רבות ובהן מוסריות, קיומיות ומדעיות.

פילוסופיה

פִילוֹסוֹפְיָה (מיוונית: φιλοσοφία, "אהבת החוכמה") היא חקר מושגי יסוד בהכרה האנושית כמו קיום, מציאות, נפש, הכרה, היגיון, מוסר, סיבתיות, ידע ושפה. גישתה של הפילוסופיה לשאלות אלה היא גישה ביקורתית, שיטתית ומסתמכת על בניית טיעונים רציונליים.

פילוסופיה אנליטית

פילוסופיה אנליטית היא זרם של הפילוסופיה שהתפתח החל מסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20 ועיסוקה בראשיתה היה בעיקר בניתוח (אנליזה) של השפה ובניתוח משמעותם של מושגים ומילים, והיחסים הלוגיים ביניהם. הפילוסופיה האנליטית בראשיתה תפסה כתנאי בל-יעבר לדיון פילוסופי שללא האפשרות לבטא, באופן חד משמעי, עמדות בנוגע לנושא מסוים, לא ניתן לקבל נושא זה כשייך לפילוסופיה. האירוע המכונן של הפילוסופיה האנליטית מכונה המהפך הלשוני, מהפך שהציב את השפה במרכז העיסוק הפילוסופי למשך מרבית המאה ה-20. מאפיינים חשובים של הפילוסופיה האנליטית הם השימוש הנרחב בלוגיקה ככלי מרכזי במחקר הפילוסופי, וכן עיסוק בפילוסופיה של השפה, פילוסופיה של המתמטיקה ופילוסופיה של המדע. הלוגיקה והמתמטיקה משמשות בפילוסופיה האנליטית הן ככלים וכמודלים לחשיבה פילוסופית נכונה והן כמושא מחקר בפני עצמן.

אבות הפילוסופיה האנליטית הם גוטלוב פרגה, ברטראנד ראסל, ג'ורג' אדוארד מור, לודוויג ויטגנשטיין והוגי החוג הווינאי. פילוסופים בולטים נוספים הם קוויין, אוסטין, דונלד דייווידסון, קריפקי, פאטנם ורורטי.

ההוגים האנליטיים חלוקים ביניהם בנקודות מגוונות. מאפיינים משותפים להגותם הם העיסוק בלשון ובשפה, השאיפה לאובייקטיביות ולשחרור מהמגמות הפסיכולוגיסטיות בפילוסופיה (ובעיקר מהמסקנות של קאנט בדבר התנאים הסינתטים-אפריורים להכרה), ועיסוק בבעיות התיחום של הפילוסופיה ושל המדע. ההוגים האנליטיים לא קיבלו את עמדותיהם של הגל, ניטשה, מרקס או פרויד ואף התנגדו להן במפורש.

ניתן לומר שהמקור לשאיפותיה של הפילוסופיה האנליטית הוא הרצון להסיר את הבלבול והמבוכה מתוך הפילוסופיה ולעשות זאת על ידי בירור מדוקדק ומפריד (אנליזה לוגית) של טענות פילוסופיות. בראשית דרכה ניסתה הפילוסופיה האנליטית למצוא קריטריונים לפיהם ניתן לנתח כל אמירה פילוסופית ולקבוע לאילו מהן יש משמעות ומובן ואילו אמירות הם נעדרות משמעות ונוצרו בגלל שימוש לא נכון בשפה.

על אף שורשיה הגרמניים הפכה הפילוסופיה האנליטית לזרם הפילוסופי המרכזי במדינות דוברות האנגלית ולעיתים היא אף מוגדרת כפילוסופיה של העולם האנגלו-אמריקני במאה העשרים. מקובל לראות בפילוסופיה הקונטיננטלית זרם מנוגד לפילוסופיה האנליטית.

קונסטרוקטיביזם (פילוסופיה של המתמטיקה)

קונסטרוקטיביזם היא אסכולה בפילוסופיה של המתמטיקה הגורסת שכדי להוכיח את קיומו של אובייקט, יש צורך לבנות אותו באופן מפורש. גישה זו עומדת בניגוד לתפיסה המקובלת במתמטיקה המודרנית, שלפיה אפשר להסיק שהעצם קיים, גם מתוך כך שהנחת אי-קיומו מביאה לסתירה. הקונסטרוקטיביזם מחייב פירוש מחדש לא רק של הכמת היישי, אלא גם של כל הקשרים הלוגיים. לאסכולה הקונסטרוקטיביסטית מספר וריאנטים, שהידוע והמרכזי ביניהם הוא האינטואיציוניזם.

העצמים הנחקרים במסגרת הקונסטרוקטיביזם הם עצמים סופיים, שניתן לבנותם. מכך מקבלים תורה מתמטית שהיא חלשה יותר מהתורה המתמטית המודרנית, משום שישנם משפטים העוסקים בעצמים סופיים אשר הוכחו באמצעים אינסופיים. כך למשל השערת פרמה על העדר פתרונות למשוואות מסוימות במספרים שלמים הוכחה בשנת 1995 באמצעות כלים מתחום העקומים האליפטיים ותורת ההצגות האריתמטיות.

עם זאת, המתמטיקה המודרנית לפי משפט אי השלמות של גדל, בגלל חוזקה הרב, לא מסוגלת להוכיח משפטים מסוימים שיכולים להיות נכונים. יתרה מזאת, לא ניתן לספק הוכחה במסגרת תורת הקבוצות האקסיומטית לכך שתורת הקבוצות עצמה היא עקבית. כלומר, המתמטיקאים אינם יכולים להוכיח כי המתמטיקה אשר בידינו לא כוללת סתירות. לכן, המוטיבציה מאחורי האסכולה הקונסטרוקטיבית היא לפתח מתמטיקה בה אמנם נדע פחות, אך מה שנדע, ייתכן ויהיה פחות רגיש לסתירות והשלכות של משפטי אי השלמות של גדל.

מעבר לכך, העולם בו אנחנו חיים הוא סופי (ככל שאנחנו יכולים להבחין בחושינו) - המסה היא סופית, האנרגיה היא סופית ולפי הפיזיקה המודרנית אין משמעות פיזיקלית למרחקים קטנים מאורך פלאנק. האנליזה המתמטית, לעומת זאת, מבוססת על רעיון הנקודה, שאין לה גודל, כך שכל דבר בעל מידה חייב להיות מורכב מאינסוף נקודות.

אם כן, האסכולה הקונסטרוקטיבית מתנגדת לרעיונות של בנייה אינסופית שלא נגמרת. כך למשל:

בהוכחתו של קנטור כי העוצמה אָלֶף אֶפֶס שונה מאלף, הוא מניח בשלילה כי קבוצת המספרים הממשיים בקטע [0,1] היא מעוצמה אלף אפס, מסדר את כל המספרים בטבלה אינסופית ובונה אלכסון לאורך הטבלה ומחליף כל ספרה לאורך האלכסון בספרה אחרת וכך בונה מספר אשר אינו בטבלה (האלכסון של קנטור). כך מושגת סתירה. לפי הגישה הקונסטרוקטיבית, הוכחה זו אינה קבילה כי היא עושה שימוש באלכסון באורך אינסופי וכו'. מאידך, לפי הקונסטרוקטיביזם לא ניתן בכלל לדבר על קבוצת המספרים הממשיים או בכלל על מספר ממשיים, כי מושגים אלו אינם קיימים בעולם, אלא רק במוחם של בני אדם.

כך למשל ניתן לספק פתרון פילוסופי להשערת הרצף - לא ידוע אם יש עוצמה בין אלף-אפס לאלף. לפי גדל וכהן הבעיה אינה תלויה באקסיומות המקובלות של תורת הקבוצות, ולכן מדובר בבעיה אמיתית ומעניינת אשר האקסיומות המקובלות כיום בתורת הקבוצות לעולם לא יהיו מסוגלות לענות עליה. אולם, אם מקבלים את השיטה הקונסטרוקטיבית הבעיה נעלמת כי לא ניתן להתייחס לעוצמה אלף.

פילוסופיה
תחומים
אונטולוגיהאסתטיקהאפיסטמולוגיהאתיקהלוגיקהמטאפיזיקהמטאפילוסופיהמטא-אתיקהפילוסופיה פוליטיתפילוסופיה של ההיסטוריהפילוסופיה של החינוךפילוסופיה של הלשוןפילוסופיה של המדע • פילוסופיה של המתמטיקה • פילוסופיה של הנפשתאולוגיה
זרמים/אסכולות
טאואיזםהאסכולה הפיתגוראיתהאסכולה האלאטיתהאסכולה האטומיסטית • מוהיזם • לגליזם • נטורליזםהאסכולה הפריפטטיתהאסכולה הסטואיתהאסכולה הציניתנאופלאטוניזםהאסכולה האפיקוראיתקונפוציאניזםסכולסטיקהרציונליזםאמפיריציזםאקזיסטנציאליזם • נאו-קונפוציאניזם • פנומנולוגיהפילוסופיה אנליטיתפרגמטיזםפוסטמודרניזםפילוסופיה בודהיסטיתפילוסופיה הינדואיסטיתפילוסופיה ג'ייניסטיתפילוסופיה יהודית
אישים בולטים
פילוסופים של העת העתיקה לאו דזהקונפוציוסתאלספיתגורסהרקליטוסמו דזההבודההפרמנידספרוטגורסדמוקריטוססוקרטסאפלטוןאריסטוזנון מקיטיוןטימון מפליוספירון מאליספלוטינוססון דזה • קונדה-קונדה
פילוסופים של ימי הביניים אוגוסטינוסיוהאן סקוטוסאבן סינאג'ו שירמב"םתומאס אקווינסויליאם איש אוקאם
פילוסופים מודרניים ניקולו מקיאווליתומאס הובספרנסיס בייקוןרנה דקארטברוך שפינוזהגוטפריד לייבניץג'ון לוקג'ורג' ברקלידייוויד יוםז'אן-ז'אק רוסועמנואל קאנטג'רמי בנת'םגאורג הגלג'ון סטיוארט מילארתור שופנהאוארסרן קירקגורקרל מרקספרידריך ניטשה
פילוסופים בני המאה ה-20 גוטלוב פרגהג'ון דיואיאדמונד הוסרלמרטין היידגרברטראנד ראסלרודולף קרנפלודוויג ויטגנשטייןקרל המפלז'אן-פול סארטרוילארד ואן אורמאן קווייןג'ון רולסיורגן האברמאסמישל פוקוגסטון בשלאר
מונחים
מונחים בסיסיים אינסוףאמת ושקראפוסטריוריאפריורידיאלקטיקההנחהזמןחומר ורוחחוק הזהותטוב ורעישותכשל לוגילוגוסמהותמציאותסיבתיותערךפרדוקסצדקתכונהיום הפילוסופיה העולמי
תאוריות/תפיסות אגואיזם אתיאוניברסליזםאימננטיותאינטואיציוניזםאמנה חברתיתבחירה חופשיתבעיית הראוי-מצויהבעיה הפסיכופיזיתדאונטולוגיהדואליזםנהנתנותהוליזםהיסטוריציזםהשכל הפועלטיעון השפה הפרטיתכשל נטורליסטילוגיציזםמטריאליזםמוניזםמונאדהמכניזםנטורליזם מטאפיזיניהיליזםנומינליזםסובייקטיביזםסוליפסיזםספקנותעל-אדםעשרת הכבליםפוזיטיביזםפטליזםפנאנתאיזםפנתאיזםהפרא האצילהצו הקטגוריהקוגיטוריאליזםרדוקציוניזםרלטיביזםתועלתנותתערו של אוקאםהרצון לעוצמה
פורטל פילוסופיה

דף זה בשפות אחרות

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.