פאון משוכלל למחצה

בגאומטריית המרחב, פאון משוכלל למחצה הוא פאון קמור שכל הפאות שלו הן משוכללות, ואשר הקודקודים שלו חופפים זה לזה (במובן הבא: חבורת הסימטריות פועלת באופן טרנזיטיבי על הקודקודים).

ישנן שתי משפחות אינסופיות של פאונים משוכללים למחצה, המנסרות הקמורות והאנטי-מנסרות הקמורות, עוד שלושה-עשר פאונים ארכימדיים (שלהם לפחות שתי פאות לא חופפות), וחמשת הפאונים האפלטוניים (שבהם כל הפאות חופפות).

במונח "פאון משוכלל למחצה" עשה לראשונה שימוש E. L. Gosset (ב-1912), כדי לתאר מה שקרוי היום פאון אחיד. ה.ס.מ. קוקסטר פסק שההגדרה הזו מלאכותית ורחבה מדי. בהגדרות מאוחרות יותר נכללו פאונים נוספים, לרבות פאונים כוכביים והפאונים הדואליים לאלו המנויים לעיל. בין הספרים העוסקים בנושא אין הסכמה חד-משמעית באשר לתכולת הקבוצה של הפאונים המשוכללים למחצה: מחברים אחדים כוללים בה את פאוני קטלן, בעוד שאחרים משמיטים ממנה את הפאונים האפלטוניים; לעיתים נשמטת גם ההנחה על קמירות.

מיון הפאונים המשוכללים למחצה

כל אחד מן הפאונים המשוכללים למחצה ניתן לתיאור מלא על ידי תבנית הקודקודים שלו, הכוללת את טיפוסי המצולעים הנפגשים בקודקוד, לפי סדרם. כך למשל התבנית 3.5.3.5 מתארת את האיקוסידודקהדרון, שבו נפגשים בכל קודקוד משולש ומחומש, משולש ומחומש; והתבנית 3.3.3.5 מתארת את האנטי-מנסרה המחומשת, שבה נפגשים בכל קודקוד שלושה משולשים ומחומש משוכלל אחד.

הכלי הבסיסי למיון פאונים קמורים הוא השוואה בין זוויות מישוריות וזויות מרחביות. הזווית של מצולע משוכלל בן n צלעות היא (רדיאנים). אם בקודקוד נפגשים פאונים שלהם צלעות האחד, אז סכום הזויות שלהם, , חייב להיות קטן מן הזווית הכוללת סביב נקודה, השווה כמובן ל- . במלים אחרות, . הזווית הקטנה ביותר במצולע משוכלל היא זו של משולשים (שכל זווית שלהם גודלה ), ולכן ; כלומר, מספר הפאות הנפגשות בכל קודקוד הוא . מצד שני בקודקוד של פאון נפגשות לפחות שלוש פאות, ולכן .

יתרה מזו: מנימוקים הנוגעים למדידת זוויות על פני כדור (ראו גם משפט גאוס-בונה) נובע כי כאשר מסכמים את ההפרשים על פני כל הזויות של הפאון, מתקבלת הזווית המרחבית (השווה לשטח פני כדור בעל רדיוס 1). מכאן שמספר הקודקודים בפאון משוכלל למחצה, N, שווה ל-

.

מספר זה חייב, כמובן, להיות שלם.

הפתרונות למשוואה (*) כוללים שלוש משפחות אינסופיות, ועוד 101 פתרונות מבודדים (בספירה מניחים ש- ). פתרונות אלה מחולקים באופן הבא:

  • כאשר k=5 יש שלושה פתרונות: , כאשר ;
  • כאשר k=4 יש משפחה אינסופית של פתרונות, , ועוד 11 פתרונות;
  • כאשר k=3 יש שתי משפחות אינסופיות של פתרונות, ו- , ועוד 87 פתרונות.

רבים מפתרונות אלה אינם יכולים לייצג פאון תלת-ממדי מסיבות גאומטריות שונות. למשל: אם בכל קודקוד נפגשות k=3 פאות, אז סביב כל פאה צריכות להיות מסודרות הפאות משני הסוגים האחרים, לסירוגין. בפרט, אם לאחת הפאות מספר אי-זוגי של צלעות, אז שתי הפאות האחרות חייבות להיות שוות. עקרון פשוט זה פוסל את רוב הפתרונות המספריים, ומשאיר (כאשר k=3) את המשפחה ועוד תשעה פתרונות. נימוקים אחרים, מורכבים יותר, פוסלים חלק מהפתרונות במקרה k=4, ומשאירים את המשפחה האינסופית ועוד 4 פתרונות.

סיכום

הפאונים המשוכללים למחצה כוללים:

קובייה מסותתת (3,3,3,3,4); דודקהדרון מסותת (3,3,3,3,5); קובוקטהדרון (3,3,4,4); איקוסידודקהדרון (3,3,5,5); רומביקובוקטהדרון (3,4,4,4); רומביאיקוסידודקהדרון (3,4,4,5); טטרהדרון קטום (3,6,6); קובייה קטומה (3,8,8); דודקהדרון קטום (3,10,10); אוקטהדרון קטום (4,6,6); קובוקטהדרון קטום (4,6,8); איקוסידודקהדרון קטום (4,6,10); איקוסהדרון קטום (5,6,6).

ראו גם

קישורים חיצוניים

איקוסיטטרהדרון

איקוסיטטרהדרון דלתואידי הוא פאון קטלן בעל 24 פאות זהות, שצורתן דלתון (ולא טרפז - על אף שהפאון נקרא לפעמים, בטעות, "איקוסיטטרהדרון טרפזואידי"). צורתו של הפאון היא מעין קובייה מנופחת. הפאון הדואלי שלו הוא הרומביקוביקטהדרון.

האיקוסיטטרהדרון הדלתואידי מופיע בטבע כצורה של גבישים כמו האנלציט ולפעמים גם הגארנט. בספרות העוסקת במינרלים, צורה זו נקראת לפעמים "טרפזוהדרון", על אף שעל-פי הטרמינולוגיה המקובלת בגאומטריית המרחב, השם טרפזוהדרון מתייחס למשפחה של פאונים שהפאות שלהם הן טרפזים.

חבורת הסימטריות המלאה של הפאון היא מסדר 48, והיא פועלת באופן טרנזיטיבי על 24 הפאות; המייצב של פאה כולל, מלבד הפעולה הטריוויאלית, את שיקוף המרחב השומר על הפאה במקומה.

אנטי-מנסרה

בגאומטריה, אנטי-מנסרה הוא פאון המורכב משני מצולעים חופפים המצויים במישורים מקבילים, המחוברים בעזרת משולשים בצורה הבאה: כל צלע של המצולע מחוברת לצלע של משולש, ובנוסף המשולשים מחוברים בצלעותיהם. המצולעים מכונים בסיסים, והמשולשים מעטפת המנסרה.

אנטי-מנסרה ישרה היא אנטי-מנסרה שהמשולשים בה הם משולשים שווי שוקיים, או באופן שכל הישרים המחברים קודקודים מתאימים של המצולעים מאונכים להם.

אם המצולעים משוכללים והמשולשים שווי-צלעות, האנטי-מנסרה נקראת אנטי-מנסרה משוכללת. אנטי-מנסרות משוכללות הן פאונים משוכללים למחצה.

אניאגרם

אניאגרם או נונאגרם, הוא צורה גאומטרית דמוית כוכב, בעלת תשעה קודקודים. השם הוא הלחם של שתי המילים היווניות אניאה (תשע) ו-גרמוס (דבר כתב או סמל מצויר).

יש שלוש אפשרויות לבנות אניאגרם: שיטת {9/2} - בה מחברים כל נקודה שנייה, שיטת {9/4} - בה מחברים כל נקודה רביעית, ושיטת הכוכב {9/3} - הנוצר מקודקודיו של מתושע משוכלל, המחוברים כשלושה משולשים שווי-צלעות זה על-גבי זה (ראו איורים לעיל).

האניאגרם משמש, בין היתר, כסמל בהאי וכסמל תשע המתנות והפירות של רוח הקודש בנצרות.

טסרקט

טֵסֵרַקְט הוא גוף במרחב ארבע-ממדי המהווה היפרקוביה מממד 4.

הטסרקט הוא הכללה של הקובייה המוכרת בגאומטריה של המרחב התלת-ממדי.

היחס בין הטסרקט לקובייה דומה לזה שבין הקובייה לריבוע. כשם שקובייה היא גוף תלת-ממדי שלו שש פאות ריבועיות, הטסרקט הוא גוף ארבע-ממדי שלו שמונה קוביות. טסרקט הוא אחד מששת הפאונים הארבע-ממדיים.

לטסרקט יש 16 קודקודים, 32 מקצועות, 24 פאות דו-ממדיות, ו-8 פאות תלת-ממדיות.

את המונח "טסרקט" טבע בשנת 1888 המתמטיקאי הבריטי צ'ארלס האוורד הינטון.

מלבן

בגאומטריה, מלבן הוא מרובע שבו כל הזוויות ישרות.

מלבן הוא מקרה פרטי של מקבילית ושל טרפז שווה-שוקיים. מלבן בעל זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.

אורכו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הארוכות יותר, ורוחבו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הקצרות יותר.

מעוין

מעוין הוא מבנה גאומטרי של מרובע שווה-צלעות.

זהו מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית. ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.

פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".

מעוינון

בגאומטריה של המרחב, מעוינון (קרוי גם רומבוהדרון) הוא פאון תלת-ממדי בן שש פאות, שכולן מעוינים. זהו מקבילון שכל צלעותיו באותו אורך, והוא דומה לקובייה מעוותת.

שש הפאות במעוינון מסודרות, כמו בכל מקבילון, בשלושה זוגות מקבילים, והפאות בכל זוג חופפות זו לזו. לעומת זאת, פאות הנפגשות בצלע אינן בהכרח חופפות: הזוויות המישוריות הנפגשות בכל קודקוד עשויות להיות שונות זו מזו. כאשר כל הזויות ישרות, מתקבלת קובייה.

מצולע משוכלל

בגאומטריה, מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות.

מצולע קמור

בגאומטריה, מצולע קמור הוא מצולע שהפנים שלו הוא קבוצה קמורה; כל קטע בין שתי נקודות בתוך המצולע עובר כולו בתוך המצולע.

מקבילית

מקבילית היא מרובע שכל זוג צלעות נגדיות שלו מקבילות זו לזו.

המקבילית היא מקרה פרטי של הטרפז (בהגדרתו המרחיבה). מקרים פרטיים של מקבילית הם מעוין, שכל צלעותיו באורך שווה, המלבן, שבו כל זוג צלעות סמוכות מאונכות זו לזו, והריבוע שהוא מעוין וגם מלבן.

כלל המקבילית מבדיל מרחבי הילברט ממרחבי בנך.

ניתן ליצור ריצוף של המישור עם כל מקבילית שהיא.

הצורה התלת-ממדית הבנויה רק ממקביליות היא המקבילון.

מרובע

מרובע הוא מצולע בעל ארבע צלעות.

משובע

מְשֻׁבָּע (הֶפְּטָגוֹן) הוא מצולע בעל שבע צלעות.

סכום הזוויות במשובע הוא 900 מעלות. מספר האלכסונים בו הוא 14.

ביחס למשושה ולמתומן, השימוש ההנדסי-טכנולוגי במשובע הוא די נדיר.

משושה

מְשֻׁשֶּׁה (Hexagon, הֶקְסָגוֹן) הוא מצולע בעל שש צלעות. סכום כל זוויותיו הפנימיות הוא 720 מעלות. כל משושה הוא בעל תשעה אלכסונים שיוצרים שישה משולשים.

הצרפתים מכנים לעיתים את צרפת "המשושה" בגלל צורתה שנראית כמו משושה.

מתומן

מתומן (אנגלית: Octagon) הוא מצולע בעל שמונה צלעות. סכום זוויותיו הפנימיות הוא 1080°. במתומן יש 20 אלכסונים.

פאון ארכימדי

בגאומטריית המרחב, פאון ארכימדי הוא פאון קמור משוכלל למחצה, שאינו מנסרה או אנטי-מנסרה, ושלא כמו בפאונים האפלטוניים, לא כל פאותיו חופפות. בפרט, כל הפאות של פאון ארכימדי חופפות לאחד משני מצולעים משוכללים או יותר, אשר כולם בעלי אותו אורך צלע. כמו כן, כל הקודקודים זהים, כלומר, כל הפאות הנפגשות בקודקוד אחד חופפות לפאות הנפגשות בכל קודקוד אחר. את הפאונים הארכימדיים אפשר לבנות מן הפאונים האפלטוניים באמצעות בניות ויטהוף.

קובוקטהדרון

קובוקטהדרון הוא פאון משוכלל למחצה, שלו 8 פאות משולשות ו-6 פאות ריבועיות. לקובוקטהדרון 12 קודקודים, שבכל אחד מהם נפגשות שתי פאות משולשות ושתי פאות ריבועיות (לסירוגין). יש לו 24 מקצועות, שכל אחד מהם משותף לפאה ריבועית ופאה משולשת. הקובוקטהדרון הוא אחד מ-13 הפאונים הארכימדיים.

חבורת הסימטריות של הקובוקטהדרון איזומורפית לחבורה הסימטרית (דרך הפעולה שלה על ארבעת הזוגות המנוגדים של פאות משולשות). היא פועלת טרנזיטיבית על הקודקודים ועל המקצועות.

לקובוקטהדרון שצלעו a יש שטח ונפח .

קובייה קטומה

קובייה קטומה או הקסהדרון קטום היא פאון ארכימדי שפאותיו הן שישה מתומנים משוכללים ושמונה משולשים. לקוביה קטומה יש 24 קודקודים ו-36 מקצועות.

ריבוע

בגאומטריה, ריבוע הוא מרובע משוכלל. בריבוע יש ארבע צלעות שוות וארבע זוויות שוות. זוויות אלה הן זוויות ישרות.

ריבוע הוא מקרה פרטי של מרובע, טרפז (בהגדרה הרחבה שלו), מקבילית, מלבן, דלתון ומעוין. לריבוע יש השטח המקסימלי מבין המרובעים עם היקף נתון, והיקף מינימלי מבין המרובעים עם שטח נתון.

תמניון קטום

תמניון קטום או אוקטהדרון קטום הוא פאון ארכימדי שפאותיו הן שמונה משושים משוכללים ושישה ריבועים. לאוקטהדרון הקטום יש 24 קודקודים ו-36 מקצועות. הפאון הדואלי לתמניון הקטום הוא הקוביה הקיסית.

מצולעים ופאונים
מושגים מצולעפאוןקודקודצלעמקצועפאהזווית חיצוניתאלכסון
מצולעים
לפי מספר צלעות משולשמרובעמחומשמשושהמשובעמתומן
משולשים משולש ישר-זוויתמשולש שווה-שוקייםמשולש שווה-צלעות
מרובעים מקביליתטרפזטרפז שווה-שוקייםמרובע ציקלידלתוןדלתון ריצוףמעויןמלבןריבוע
כוכבים פנטגרםמגן דודאניאגרם
תכונות מצולע משוכללמצולע שווה-צלעותמצולע קמורכוכב
פאונים
פאונים משוכללים ארבעוןקובייהתמניוןתריסרוןעשרימון
פאונים ארכימדיים ארבעון קטוםקובוקטהדרוןקובייה קטומהתמניון קטום • רומביקובוקטהדרון • קובוקטהדרון קטום • קובייה מסותתת • איקוסידודקהדרון • דודקהדרון קטום • איקוסהדרון קטום • רומביקוסידודקהדרון • איקוסידודקהדרון קטום • דודקהדרון מסותת
פאונים אחרים פירמידהמנסרהאנטי-מנסרהמקבילוןמעוינוןתיבהאיקוסיטטרהדרון
תכונות פאון משוכלל • פאון משוכלל למחצה • פאון ארכימדי
הכללות
הכללות סימפלקסהיפרקובייהטסרקט

דף זה בשפות אחרות

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.