פאון משוכלל

בגאומטריה של המרחב, פֵּאוֹן משוכלל הוא גוף קמור המוגבל על ידי מצולעים משוכללים, כך שבכל קודקוד שלו נפגש מספר שווה של מקצועות ולכל פאה מספר שווה של פאות שצמודות לה. קיימים חמישה פאונים משוכללים: ארבעון, קובייה, תמניון, תריסרון ועשרימון.

חמשת הפאונים האפלטוניים
Tetrahedron.jpg Hexahedron.jpg Octahedron.jpg Dodecahedron.jpg Icosahedron.jpg
ארבעון
(טטרהדרון - 4 פאות)
קובייה
(קובייה - 6 פאות)
תמניון
(אוקטהדרון - 8 פאות)
תריסרון
(דודקהדרון - 12 פאות)
עשרימון
(איקוסהדרון - 20 פאות)
Platonic solids sg01
חמשת הפאונים המשוכללים בגן המדע במכון ויצמן

חמשת הפאונים המשוכללים

Regular dodecahedron net
הדגמה של יצירת תריסריון משוכלל מהפריסה שלו, ולאחר מכן, פריסתו מחדש.

חמשת הפאונים המשוכללים במרחב התלת-ממדי הם:

  • ארבעון (טטרהדרון) - פאון משוכלל בעל 4 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות (פירמידה משולשת).
  • קובייה (הקסהדרון) - פאון משוכלל בעל 6 פאות שכל אחת מהן היא ריבוע.
  • תמניון (אוקטהדרון) - פאון משוכלל בעל 8 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות (שווה ערך לשתי פירמידות ריבועיות המחוברות בבסיסן).
  • תריסרון (דודקהדרון) - פאון משוכלל בעל 12 פאות, שכל אחת מהן היא מחומש שווה-צלעות.
  • עשרימון (איקוסהדרון) - פאון בעל 20 פאות שכל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות.

גופים אלו מכונים גם "הגופים האפלטוניים" או "הגופים המשוכללים של אפלטון", וזאת משום שהם מוזכרים בדיאלוג האפלטוני "טימאוס", אם כי הם היו ידועים עוד לפני זמנו של אפלטון. התריסרון התגלה על ידי הפיתגוראים, שהכירו גם את יתר הגופים.

אוקלידס הראה בספרו "יסודות" איך לבנות את הגופים האלה והוכיח שאלה הפאונים המשוכללים היחידים בשלושה ממדים.

Hexagons
במרחב התלת ממדי, לא ניתן לצור פאון ממשושים משוכללים, כי הצמדתם יוצרת בהכרח מישור

הסיבה לכך שחמשת אלו בלבד הם הפאונים המשוכללים האפשריים במרחב התלת ממדי, היא העובדה שכל קודקוד של פאון כזה צריך להפגיש יותר משני קודקודים של מצולע משוכלל וליצור מהם משטח לא מישורי. קודקוד כזה של פאון, אפשר ליצור בחמש דרכים: הצמדת קודקודים של שלושה משולשים שווי צלעות (כמו בארבעון), הצמדת קודקודים של ארבעה משולשים שווי צלעות (כמו בתמניון), הצמדת קודקודיהם של חמישה משולשים שווי צלעות (כמו בעשרימון), הצמדת קודקודיהם של שלושה ריבועים (כמו בקובייה) והצמדת קודקודיהם של שלושה מחומשים (כמו בתריסרון). יצירת פאון שבכול קודקוד שלו יש יותר מחמישה קודקודים של משולשים שווי צלעות, אינה אפשרית כי שישה קודקודים כאלו יוצרים משטח מישורי לחלוטין ויותר משישה אינם ניתנים להצמדה. אותו הדין לגבי קודקודים של יותר משלושה ריבועים ויותר משלושה מחומשים משוכללים. לגבי מצולעים שיש להם יותר מחמש צלעות, שלושה משושים יוצרים מישור וקודקודיהם של שלושה מצולעים משוכללים עם כל מספר אחר של צלעות אינם ניתנים להצמדה.

חבורות הסימטריה של הפאונים המשוכללים הן (חבורת התמורות הזוגיות מסדר 4) לאוקטהדרון, (החבורה הסימטרית מסדר 4) לארבעון ולקוביה, ו- לדודקהדרון ולאיקוסהדרון.

בטבע ובטכנולוגיה

BluePlatonicDice
הפאונים המשוכללים כקוביות משחק

השימוש הטכנולוגי הכמעט יחידי בפאונים המשוכללים, בעיקר בקובייה, הוא ליצירת קוביות משחק. הפאונים המשוכללים מתאימים לשימוש זה, משום שקוביות כאלה תהיינה הוגנות - לכל פאה יהיה אותו סיכוי להופיע בהטלת הקוביה. הקוביות הסטנדרטיות של משחק התפקידים מבוכים ודרקונים הן חמשת הגופים המשוכללים בתוספת גוף אחד שאינו משוכלל, אף כי הוא מורכב מעשר פאות זהות: פאותיו מהוות דלתונים, ולא מצולעים משוכללים.

בטבע, ניתן למצוא פאונים משוכללים, בעיקר במבנים של מולקולות פשוטות, של גבישים ושל מעטפות חלבוניות של נגיפים. למולקולת האמוניה, למשל, יש צורה של טטראהדרון ולנגיף הפוליו יש מעטפת חלבונית בצורה של איקוסהדרון.

סימבוליזם

טימאוס מלוקרי, מראשוני הפיתגוראים, ערך התאמה מיסטית בין ארבעת הפאונים הראשונים ובין ארבעת היסודות שהיו מקובלים ביוון העתיקה (אש, אוויר, מים ואדמה)[1]. אפלטון, בדיאלוג טימאוס העוסק בקוסמולוגיה, אימץ התאמה שונה מעט: הוא שייך את הארבעון לאש, את הקוביה לאדמה, את התמניון לאוויר ואת העשרימון למים, וקישר את התריסרון לגלגל המזלות - כשם שלתריסרון יש 12 פאות, כך בשמים יש 12 מזלות. להשלמת ההקבלה הוסיף מאוחר יותר אריסטו יסוד חמישי לרשימה, אתר.

פאצ'ולי, בחיבורו על הפרופורציה האלוהית, קישר את התריסרון ליסוד החמישי, וקישר בינו לבין יחס הזהב, הלא הוא "הפרופורציה האלוהית".

כמעט אלפיים שנה מאוחר יותר, בסוף המאה ה-16, קישר יוהנס קפלר את הגופים המשוכללים לכוכבי הלכת שהיו ידועים אז (מלבד כדור הארץ): כוכב חמה, נוגה, מאדים, צדק ושבתאי, כשהציע שהיחסים בין הגופים המשוכללים החוסמים את אותו כדור, קובעים את המרחקים היחסיים של כוכבי הלכת אל השמש.

פאונים בממד כלשהו

את ההגדרה הגאומטרית שהובאה בראש הערך אפשר לנסח גם מנקודת המבט של הסימטריות, התקפה בכל ממד. פאון רגולרי (או משוכלל) הוא פאון שחבורת הסימטריות שלו פועלת טרנזיטיבית על הדגלים המקסימליים (כלומר השרשראות הכוללות נקודה, צלע העוברת דרכה, פאה העוברת דרך הצלע, וכן הלאה עד לגוף הפאון עצמו). יש ארבע משפחות אינסופיות של פאונים רגולריים:

  • המצולעים המשוכללים (כולם מממד 2),
  • הסימפלקסים ה-n-ממדיים (בכל ממד),
  • הקוביה ה-n-ממדית (בכל ממד),
  • התמניון ה-n-ממדי (בכל ממד).

יש רק חמישה פאונים רגולריים נוספים: הדודקהדרון והאיקוסהדרון שהוזכרו לעיל בממד 3, ועוד שלושה גופים במרחב הארבעה ממדי. בפרט, בכל ממד גדול מארבע יש בדיוק שלושה פאונים רגולריים.

שלושת הפאונים הרגולריים במרחב הארבעה ממדי הם:

  • האוֹקְטַפְּלֶקְס, בעל 24 תאים אוקטהדריים, 96 פאות משולשות, 96 מקצועות ו-24 קודקודים;
  • גוף בעל 600 תאים טטראדריים, 1200 פאות משולשות, 720 מקצועות ו-120 קודקודים;
  • גוף בעל 120 תאים דודקהדרוניים, 720 פאות מחומשות, 1200 מקצועות ו-600 קודקודים.

האוקטפלקס דואלי לעצמו, ושני הגופים האחרים דואליים זה לזה.

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ Regular Polytopes, H.S.M. Coxeter, עמ' 13
אניאגרם

אניאגרם או נונאגרם, הוא צורה גאומטרית דמוית כוכב, בעלת תשעה קודקודים. השם הוא הלחם של שתי המילים היווניות אניאה (תשע) ו-גרמוס (דבר כתב או סמל מצויר).

יש שלוש אפשרויות לבנות אניאגרם: שיטת {9/2} - בה מחברים כל נקודה שנייה, שיטת {9/4} - בה מחברים כל נקודה רביעית, ושיטת הכוכב {9/3} - הנוצר מקודקודיו של מתושע משוכלל, המחוברים כשלושה משולשים שווי-צלעות זה על-גבי זה (ראו איורים לעיל).

האניאגרם משמש, בין היתר, כסמל בהאי וכסמל תשע המתנות והפירות של רוח הקודש בנצרות.

מלבן

בגאומטריה, מלבן הוא מרובע שבו כל הזוויות ישרות.

מלבן הוא מקרה פרטי של מקבילית ושל טרפז שווה-שוקיים. מלבן בעל זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.

אורכו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הארוכות יותר, ורוחבו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הקצרות יותר.

מעוין

מעוין הוא מבנה גאומטרי של מרובע שווה-צלעות.

זהו מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית. ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.

פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".

מעוינון

בגאומטריה של המרחב, מעוינון (קרוי גם רומבוהדרון) הוא פאון תלת-ממדי בן שש פאות, שכולן מעוינים. זהו מקבילון שכל צלעותיו באותו אורך, והוא דומה לקובייה מעוותת.

שש הפאות במעוינון מסודרות, כמו בכל מקבילון, בשלושה זוגות מקבילים, והפאות בכל זוג חופפות זו לזו. לעומת זאת, פאות הנפגשות בצלע אינן בהכרח חופפות: הזוויות המישוריות הנפגשות בכל קודקוד עשויות להיות שונות זו מזו. כאשר כל הזויות ישרות, מתקבלת קובייה.

מצולע

בגאומטריה, מצולע הוא חלק ממישור המתוחם על ידי מספר סופי של קטעים. מצולע הוא פשוט אם הקטעים אינם נחתכים מלבד בקצוותיהם. כל קטע במצולע נקרא צלע, וכל נקודה בה נפגשות שתי צלעות נקראת קודקוד. כל שתי צלעות שנפגשות בקודקוד יוצרות זווית.

מצולע משוכלל

בגאומטריה, מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות.

מצולע קמור

בגאומטריה, מצולע קמור הוא מצולע שהפנים שלו הוא קבוצה קמורה; כל קטע בין שתי נקודות בתוך המצולע עובר כולו בתוך המצולע.

מרובע

מרובע הוא מצולע בעל ארבע צלעות.

משושה

מְשֻׁשֶּׁה (Hexagon, הֶקְסָגוֹן) הוא מצולע בעל שש צלעות. סכום כל זוויותיו הפנימיות הוא 720 מעלות. כל משושה הוא בעל תשעה אלכסונים שיוצרים שישה משולשים.

הצרפתים מכנים לעיתים את צרפת "המשושה" בגלל צורתה שנראית כמו משושה.

מתומן

מתומן (אנגלית: Octagon) הוא מצולע בעל שמונה צלעות. סכום זוויותיו הפנימיות הוא 1080°. במתומן יש 20 אלכסונים.

עשרימון משוכלל

עֶשְׂרִימוֹן משוכלל (נקרא גם אִיקוֹסָהֶדְרוֹן רגולרי; מאנגלית: Icosahedron), הוא פאון משוכלל בעל עשרים פאות, אשר כל אחת מהן היא משולש שווה-צלעות, כלומר, משולש שכל צלעותיו שוות זו לזו וכל זוויותיו שוות זו לזו. לאיקוסהדרון 12 קודקודים, 30 מקצועות ו-20 פאות. האיקוסהדרון הוא אחד מחמשת הגופים האפלטוניים. בדרך כלל נקרא סתם עשרימון או איקוסהדרון.

שטח הפנים והנפח של איקוסהדרון שצלעו באורך הם ו-, בהתאמה.

הפאון הדואלי לאיקוסהדרון המשוכלל, כלומר, הפאון שמתקבל אם מחברים את המרכז של כל פאה אל מרכזי הפאות הסמוכות לה, הוא התריסרון המשוכלל.

חבורת האוטומורפיזמים של האיסהדרון המשוכלל איזומורפית לחבורת התמורות הזוגיות , הקרויה בשל כך גם "חבורת האיקוסהדרון".

זוהי החבורה הפשוטה הקטנה ביותר, והיא אחת מחבורות המשולש הסופיות, עם ההצגה .

צורת האיקוסהדרון המשוכלל נמצאת גם בטבע. למשל, לרבים מהנגיפים יש קפסיד (מבנה המורכב מחלבונים המקיף את המטען הגנטי הנגיפי) בצורה זו. קפסיד כזה בנוי מעשרים או יותר תת-יחידות זהות, המיוצרות כל אחת בנפרד, והוא מאפשר מזעור פי עשרים של הגן המקודד לחלבון הקפסיד. היחידות היוצרות את הפאות הן בצורת משושה, בעוד הקודקודים בנויים מחלבונים מחומשים (שהרי כל קודקוד מאגד 5 משולשים).

העשרימון ידוע בקהילת משחקי התפקידים כ-ק20 בעברית או D20 באנגלית - קובייה בת 20 פאות. זוהי אחת הקוביות השימושיות במשחקי תפקידים דוגמת מבוכים ודרקונים (היא משמשת בעיקר במצבי קרב לבדיקה האם הדמות הצליחה לפגוע באויבה), וישנן אף שיטות משחק המשתמשות רק בקובייה זו, הנקראות "שיטות ק20".

פאון ארכימדי

בגאומטריית המרחב, פאון ארכימדי הוא פאון קמור משוכלל למחצה, שאינו מנסרה או אנטי-מנסרה, ושלא כמו בפאונים האפלטוניים, לא כל פאותיו חופפות. בפרט, כל הפאות של פאון ארכימדי חופפות לאחד משני מצולעים משוכללים או יותר, אשר כולם בעלי אותו אורך צלע. כמו כן, כל הקודקודים זהים, כלומר, כל הפאות הנפגשות בקודקוד אחד חופפות לפאות הנפגשות בכל קודקוד אחר. את הפאונים הארכימדיים אפשר לבנות מן הפאונים האפלטוניים באמצעות בניות ויטהוף.

פאון משוכלל למחצה

בגאומטריית המרחב, פאון משוכלל למחצה הוא פאון קמור שכל הפאות שלו הן משוכללות, ואשר הקודקודים שלו חופפים זה לזה (במובן הבא: חבורת הסימטריות פועלת באופן טרנזיטיבי על הקודקודים).

ישנן שתי משפחות אינסופיות של פאונים משוכללים למחצה, המנסרות הקמורות והאנטי-מנסרות הקמורות, עוד שלושה-עשר פאונים ארכימדיים (שלהם לפחות שתי פאות לא חופפות), וחמשת הפאונים האפלטוניים (שבהם כל הפאות חופפות).

במונח "פאון משוכלל למחצה" עשה לראשונה שימוש E. L. Gosset (ב-1912), כדי לתאר מה שקרוי היום פאון אחיד.

ה.ס.מ. קוקסטר פסק שההגדרה הזו מלאכותית ורחבה מדי. בהגדרות מאוחרות יותר נכללו פאונים נוספים, לרבות פאונים כוכביים והפאונים הדואליים לאלו המנויים לעיל. בין הספרים העוסקים בנושא אין הסכמה חד-משמעית באשר לתכולת הקבוצה של הפאונים המשוכללים למחצה: מחברים אחדים כוללים בה את פאוני קטלן, בעוד שאחרים משמיטים ממנה את הפאונים האפלטוניים; לעיתים נשמטת גם ההנחה על קמירות.

קובוקטהדרון

קובוקטהדרון הוא פאון משוכלל למחצה, שלו 8 פאות משולשות ו-6 פאות ריבועיות. לקובוקטהדרון 12 קודקודים, שבכל אחד מהם נפגשות שתי פאות משולשות ושתי פאות ריבועיות (לסירוגין). יש לו 24 מקצועות, שכל אחד מהם משותף לפאה ריבועית ופאה משולשת. הקובוקטהדרון הוא אחד מ-13 הפאונים הארכימדיים.

חבורת הסימטריות של הקובוקטהדרון איזומורפית לחבורה הסימטרית (דרך הפעולה שלה על ארבעת הזוגות המנוגדים של פאות משולשות). היא פועלת טרנזיטיבית על הקודקודים ועל המקצועות.

לקובוקטהדרון שצלעו a יש שטח ונפח .

קובייה

קובייה (ביוונית: הֶקְסַאהֶדְרוֹן) היא פאון משוכלל בעל 6 פאות ריבועיות הניצבות כל אחת לכל שכנותיה. לקובייה יש 8 קודקודים ו- 12 מקצועות שווים באורכם.

הסימטריות הרבה של הקובייה מתבטאת בכך שחבורת הסימטריות שלה היא מסדר 24 (החבורה איזומורפית לחבורת התמורות ), והיא פועלת טרנזיטיבית על הקודקודים, על הצלעות ועל הפאות. חבורת הסימטריות של השלד של הקובייה, שהוא הגרף המורכב מן הקודקודים והצלעות בלבד, היא מסדר 48; לסימטריות הקודמות נוסף גם היפוך מבפנים-החוצה, שאינו אפשרי בקובייה מלאה.

הקובייה מופיעה באופן טבעי במערכת צירים קרטזית, משום שהיא כדור היחידה של נורמת-אינסוף על המרחב האוקלידי התלת-ממדי.

קובייה היא מקרה פרטי של מקבילון, תיבה ומעוינון.

ריבוע

בגאומטריה, ריבוע הוא מרובע משוכלל. בריבוע יש ארבע צלעות שוות וארבע זוויות שוות. זוויות אלה הן זוויות ישרות.

ריבוע הוא מקרה פרטי של מרובע, טרפז (בהגדרה הרחבה שלו), מקבילית, מלבן, דלתון ומעוין. לריבוע יש השטח המקסימלי מבין המרובעים עם היקף נתון, והיקף מינימלי מבין המרובעים עם שטח נתון.

תמניון קטום

תמניון קטום או אוקטהדרון קטום הוא פאון ארכימדי שפאותיו הן שמונה משושים משוכללים ושישה ריבועים. לאוקטהדרון הקטום יש 24 קודקודים ו-36 מקצועות. הפאון הדואלי לתמניון הקטום הוא הקוביה הקיסית.

תריסרון

בגאומטריה, תְּרֵיסָרוֹן (דּוֹדֵקָהֶדְרוֹן dōdeka "שנים עשר" + hédra "בסיס" או "פאה") הוא כל פאון עם שנים עשר פאות שטוחות. התריסרון המוכר ביותר הוא תריסרון משוכלל, שהוא פאון משוכלל. ישנם גם שלושה כוכבי תריסרון משוכלל, אשר בנוים כמו כוכב ()stellations של צורה קמורה .

תריסרון משוכלל

תְּרֵיסָרוֹן משוכלל (דּוֹדֵקָהֶדְרוֹן רגולרי) הוא פאון משוכלל בעל תריסר פאות, אשר כל אחת מהן היא מחומש משוכלל, כלומר, מחומש שכל צלעותיו שוות זו לזו וכל זוויותיו שוות זו לזו. לעיתים קרובות נקרא סתם תריסרון.

לתריסרון המשוכלל 20 קודקודים, 30 מקצועות ו-12 פאות. זהו אחד מחמשת הגופים האפלטוניים.

שטח הפנים והנפח של תריסרון משוכלל שצלעו באורך הם ו-, בהתאמה.

הפאון הדואלי לתריסרון המשוכלל, כלומר, הפאון שמתקבל אם מחברים את המרכז של כל פאה אל מרכזי הפאות הסמוכות לה, הוא העשרימון המשוכלל.

חבורת האוטומורפיזמים של התריסרון המשוכלל איזומורפית לחבורת התמורות הזוגיות , החבורה הפשוטה הקטנה ביותר, הקרויה גם "חבורת האיקוסהדרון". זוהי החבורה הפשוטה הקטנה ביותר, והיא אחת מחבורות המשולש הסופיות, עם ההצגה .

מצולעים ופאונים
מושגים מצולעפאוןקודקודצלעמקצועפאהזווית חיצוניתאלכסון
מצולעים
לפי מספר צלעות משולשמרובעמחומשמשושהמשובעמתומן
משולשים משולש ישר-זוויתמשולש שווה-שוקייםמשולש שווה-צלעות
מרובעים מקביליתטרפזטרפז שווה-שוקייםמרובע ציקלידלתוןדלתון ריצוףמעויןמלבןריבוע
כוכבים פנטגרםמגן דודאניאגרם
תכונות מצולע משוכללמצולע שווה-צלעותמצולע קמורכוכב
פאונים
פאונים משוכללים ארבעוןקובייהתמניוןתריסרוןעשרימון
פאונים ארכימדיים ארבעון קטוםקובוקטהדרוןקובייה קטומהתמניון קטום • רומביקובוקטהדרון • קובוקטהדרון קטום • קובייה מסותתת • איקוסידודקהדרון • דודקהדרון קטום • איקוסהדרון קטום • רומביקוסידודקהדרון • איקוסידודקהדרון קטום • דודקהדרון מסותת
פאונים אחרים פירמידהמנסרהאנטי-מנסרהמקבילוןמעוינוןתיבהאיקוסיטטרהדרון
תכונות פאון משוכלל • פאון משוכלל למחצהפאון ארכימדי
הכללות
הכללות סימפלקסהיפרקובייהטסרקט

דף זה בשפות אחרות

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.