פאון

פֵּאוֹן (או ביוונית: פוליהדרון, באנגלית: Polyhedron) הוא גוף תלת-ממדי המורכב מפאות, היוצרות יחד גוף קשיר, חסום וסגור. המונח "פאון" מתייחס גם לגופים בעלי תכונות דומות מממד גבוה יותר (הגם שבאנגלית גוף תלת-ממדי נקרא polyhedron, ופאון כללי הוא polytope).

ישנם 5 סוגי פאונים משוכללים (תלת-ממדיים), הנקראים גם "פאונים אפלטוניים": טטרהדרון (פירמידה משולשת בעלת 4 פאות משולשות) קובייה (בעלת 6 פאות ריבועיות), אוקטהדרון (בעל 8 פאות משולשות), דודקהדרון (בעל 12 פאות מחומשות) ואיקוסהדרון (בעל 20 פאות משולשות).

קבוצת נוספת של פאונים הדומים לפאונים האפלטוניים היא הפאונים הארכימדיים. בקבוצה זו יש שלושה-עשר פאונים, מהם שניים בעלי כיווניות ימנית או שמאלית, וביחד 15 פאונים שונים (עד כדי דמיון במרחב).

מנסרה, פירמידה מרובעת ופאונים נוספים אינם נחשבים פאונים משוכללים משום שאינם בנויים מפאות זהות.

בשנת 1900 פרסם דויד הילברט את רשימת 23 הבעיות שלו, שרובן הפכו לאבני דרך חשובות בהתפתחות המתמטיקה. הבעיה השלישית של הילברט שואלת האם אפשר לעבור מפאון נתון לכל פאון שווה שטח אחר, באמצעות חיתוך והרכבה. בעיה זו נפתרה זמן קצר אחר-כך (ומשום כך נחשבת לבעיה הקלה ביותר מבין הבעיות של הילברט) על ידי תלמידו, מקס דן, שהוכיח כי התשובה שלילית.

Polyhedron
היטל תלת-ממדי של פאון ארבע-ממדי בן 1,860 קודקודים ו-5,340 מקצועות.

טרמינולוגיה

Small rhombicosidodecahedron
רומביקוסידודקהדרון

הטרמינולוגיה המיוחדת לפאונים, כגון האיקוסידודקהדרון הקטום וההקסגון המסותת, היא עניין סבוך ומבלבל. השמות נגזרים בדרך כלל מיוונית ומלטינית, והם נסמכים על הכללים שקבע קפלר, שגילה (מחדש) את הפאונים הארכימדיים ועסק רבות בתחום.

מספר הפאות

בהכללה מן המקרה הדו-ממדי, שבו נקרא כל מצולע על-פי מספר הצלעות שלו, שמו של פאון אמור להציג בראש וראשונה את מספר הפאות. תוספות לשם מתארות משהו מן המבנה המרחבי, או מצביעות על קשר בין הפאון המדובר לפאון פשוט יותר.

הבסיס לכל שם הוא מספר הצלעות, הנגזר מן התחיליות היווניות, והסיומת הקבועה '-הדרון'. התחיליות החשובות הן דו- (2), טטר- (4), הקס- (6), אוקט- (8), דקה- (10), איקוס- (20), הקטו- (100). כדי לבטא מספרים אחרים, מחברים תחיליות. כך למשל דודקהדרון הוא פאון בן 12 פאות, ולאיקוסידודקהדרון יש 20+10+2=32 פאות. הצירוף -קונט- מבטא קבוצות של עשר, כך שלטטרקונטהדרון יש 40 פאות.

בעברית מקובלים גם שמות אלו, שנגזרו מיוונית, וגם השמות המעוברתים ארבעון (טטרהדרון), תריסרון (=דודקהדרון), עשרימון (איקוסהדרון), וכדומה.

צורת הפאות

במקרה הדו-ממדי, המונח "מתומן" עשוי לתאר כל מצולע בן 8 צלעות, בעוד ש"מתומן משוכלל" הוא מתומן שכל זויותיו שוות. באופן דומה, "דודקהדרון" עשוי להיות כל פאון בן 12 צלעות, ו"דודקהדרון משוכלל" הוא דודקהדרון שכל פאותיו מצולעים משוכללים. בפאונים, רמת השכלול שניתן להגיע אליה מורכבת יותר: ייתכן שכל הזויות המרחביות יהיו חופפות, שכל הפאות יהיו משוכללות וחופפות זו לזו, וכדומה. כל אחת מתכונות אלה עשויה לזכות את הפאון בתואר "משוכלל", ולעיתים קרובות נדרש ביאור נוסף כדי לאפיין את הפאון באופן חד-משמעי. הקובייה, אם-כך, אינה אלא הקסהדרון משוכלל.

סיומות אחרי המלה מציגות את מבנה הפאות, במקרה שאלו אינן משוכללות. למשל, "איקוסיטטרהדרון מחומש" הוא פאון בן 24 פאות, שכולן מחומשות (בדרך כלל הכוונה היא למחומשים משוכללים). ל"דודקהדרון מעוין" יש 12 פאות בצורת מעוין (בשפות הלטיניות מקובלת במקרה כזה התחילית רומבי-). הצורה "דלתוני" מתארת פאון שבו כל פאה היא בצורת דלתון; באנגלית מקובלת כאן התחילית טרפזו-, בהתאם למינוח האנגלי, ולא האמריקאי).

סיומת המתארת את צורת הפאה עשויה לאפיין את הפאון כחבר במשפחה אינסופית מוכרת. לדוגמה, "מנסרה מתומנת" היא מנסרה, שהבסיסים שלה מתומנים. ה"דו-פירמידה המתושעת" מתקבלת מהדבקת שתי פירמידות, שלכל אחת מהן בסיס מתושע ותשע פאות משולשות, בבסיסיהן.

בנייה ושינוי

Truncated hexahedron
קובייה קטומה, המתקבלת מקיטום הפינות של קובייה והחלפתן במשולשים.
Snub hexahedron
קובייה מסותתת, המתקבלת מסיתות המקצועות של הקובייה לזוגות של משולשים.

פאונים מעניינים רבים מתקבלים בדרכים שונות מפאונים אחרים. במקרה כזה המינוח עשוי להתייחס לפאון-האב, תוך ציון האופן שבו נוצר הפאון החדש.

הצירוף -קיס- (-kis-) מתאר פירוק כל אחת מן הפאות של הפאון הישן למשולשים, הנפגשים כולם בנקודה אחת, במרכז הפאה. אם פעולה זו נעשתה בפאות הריבועיות של קובייה, הפאון הנוצר נקרא "קובייה קיסית", או "קובייה טטרקיסית" (משום שהפאות שהוחלפו היו טטרגונים, היינו מרובעים). "דודקהדרון קיסי" (או "פנטקיסי") מתקבל מדודקהדרון, על ידי החלפת כל פאה מחומשת בחמישה משולשים הנפגשים בנקודה.

המונח קטום (truncated) מתייחס לתהליך של קיטום הפינות, כבאיור משמאל. הקיטום מוסיף פאה במקומו של כל קודקוד (מספר הצלעות בפאה החדשה שווה למספר הפאות שנפגשו בקודקוד), ומכפיל את מספר הצלעות של כל פאה. קיים גם קיטום עמוק יותר, שבו מישורי החיתוך של הפינות נפגשים, ומכל פאה משוכללת נשארת פאה משוכללת בעלת אותו מספר צלעות. גם התוצאה של חיתוך כזה מתוארת במונח "קטום".

המונח מסותת (snub) מתאר תהליך שבו מוחלף כל מקצוע של הפאון בזוג משולשים. בקוביה המסותתת (משמאל), הפאות הישנות נותרות במקומן, ו-12 המקצועות מוחלפים ב-24 משולשים משוכללים; גם שמונה הקודקודים הופכים למשולשים. זהו תהליך כיווני, משום שבזמן הוספת המשולשים יש לקבוע לאיזה כיוון יסתובבו הפאות הקיימות; לכן יש שתי צורות לא-חופפות של קובייה מסותתת. סיתות האוקטהדרון, שהוא הפאון הדואלי של הקוביה, מביא לאותה תוצאה: שמונה הקודקודים הופכים לשמונה ריבועים, בעוד ש-12 המקצועות הפכו ל-24 פאות משולשות. מסיבה זו מקובל לקרוא לקוביה המסותתת (שהיא הקסהדרון מסותת, וגם אוקטהדרון מסותת) בשם "קובוקטהדרון מסותת". סיתות הפאונים הדואליים דודקהדרון ואיקוסהדרון מביא גם הוא לאותה צורה, הנקראת איקוסידודקהדרון מסותת. השם "איקוסידודקהדרון" מציין שילוב בין דודקהדרון (12) לאיקוסהדרון (20) הדואליים, ואין לו קשר לפאון בן 32 צלעות, כפי שהשם עלול לרמוז.

פאון מכוכב הוא כזה שבו חלק מהמקצועות (או כולם) נמשכים כלפי חוץ, עד שהם נפגשים פעם נוספת. פאונים כאלה אינם קמורים, כמובן. יש דרכים רבות לככב את אותו פאון (לדוגמה, יש 59 איקוסהדרונים מכוככבים). פאון הוא מוגדל אם עבר תהליך דומה, שבו ממשיכים את הפאות (ולא את המקצועות).

פאונים רב ממדיים

Peonim
מימין: ריבוע - פאון דו-ממדי, קובייה - פאון תלת-ממדי, היפרקובייה ארבע ממדית

המילה "פאון" משמשת בעברית גם לתיאור גוף מממד כלשהו (מ-2 ואילך) המורכב מפאותאנגלית polytope, להבדיל מפאון תלת-ממדי, הקרוי polyhedron).

את מספר הפאות מממד i של פאון P מסמנים ב-. לכל פאון בעל n קודקודים מתקימים החסמים , כאשר הוא הפאון המגובב בממד d עם n קודקודים, המתקבל מגיבוב סימפלקס על אחת הפאות של ; ו- הוא הפאון הציקלי, שהוא הקמור של n נקודות (כלשהן) על העקום . לדוגמה, לפאון הציקלי יש פאות i-ממדיות עבור i<d/2.

נוסחת אוילר

נוסחת אוילר קושרת בין מספר פאותיו, מספר המקצועות ומספר הקודקודים של פאון. הנוסחה היא V - E + F = 2, כאשר V הוא מספר הקודקודים של הפאון, E הוא מספר המקצועות ו-F הוא מספר הפאות.[1]

Euler GDR stamp
בול דואר מזרח גרמני לזכרו של אוילר, ובו נוסחת אוילר
נוסחת אוילר לפאונים משוכללים
פאון V
מספר הקודקודים
F
מספר הפאות
E
מספר הצלעות
V - E + F
ארבעון 4 4 6 2
קובייה 8 6 12 2
תמניון 6 8 12 2
תריסרון 20 12 30 2
עשרימון 12 20 30 2

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. ^ גדי אלכסנדרוביץ', הגופים האפלטוניים, נוסחת אוילר לפאונים, וכדורגל, באתר "לא מדויק"
ארבעון

אַרְבָּעוֹן (גם טטראדר או טטרהדרון; באנגלית: Tetrahedron) הוא פירמידה משולשת, כלומר גוף שכל ארבע פאותיו הן משולשים. לארבעון 4 קודקודים, 4 פאות, ו-6 מקצועות.

אף על פי שלעיתים נתפסת התיבה כגוף הפשוט ביותר, תואר זה שייך דווקא לארבעון. הוא מכיל את מספר הקדקודים המזערי הדרוש כדי להיות גוף תלת ממדי ולא מישורי, שכן דרך כל שלוש נקודות עובר מישור.

הארבעון הוא 3-סימפלקס, מקרה פרטי של n-סימפלקס (הכללה רב-ממדית של המשולש).

מלבן

בגאומטריה, מלבן הוא מרובע שבו כל הזוויות ישרות.

מלבן הוא מקרה פרטי של מקבילית ושל טרפז שווה-שוקיים. מלבן בעל זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.

אורכו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הארוכות יותר, ורוחבו של המלבן מוגדר כאורך של צלע מזוג הצלעות הקצרות יותר.

מנסרה (גאומטריה)

בגאומטריה, מנסרה היא פאון תלת-ממד שפאותיו הן שני מצולעים חופפים ומצויים בשני מישורים מקבילים, והמקביליות המחברות את זוגות הצלעות בהתאמה. המצולעים המנוגדים נקראים בסיסי המנסרה, והמקביליות נקראות המעטפת שלה.

המנסרה נקראת על-שם מספר הצלעות במצולעי הבסיס. למשל, אם הבסיסים מחומשים המנסרה נקראת מחומשת, ואם הבסיסים מתומנים המנסרה מתומנת. מנסרה ישרה היא כזו שבה התנאים השקולים הבאים מתקיימים: פאות המעטפת מאונכות לבסיסים; פאות המעטפת הן מלבנים; הישר המחבר את מרכזי הכובד של הבסיסים מאונך למישורים שבהם הם נמצאים.

את הנפח של מנסרה אשר שטח בסיסה S וגובהה h אפשר לחשב לפי הנוסחה .

כמה טיפוסים של מנסרות:

מעוין

מעוין הוא מבנה גאומטרי של מרובע שווה-צלעות.

זהו מקרה פרטי של דלתון ושל מקבילית. ריבוע הוא מקרה פרטי של מעוין שבו הזוויות שוות.

פאון שכל פאותיו הן מעוינים נקרא "מעוינון".

מצולע

בגאומטריה, מצולע הוא חלק ממישור המתוחם על ידי מספר סופי של קטעים. מצולע הוא פשוט אם הקטעים אינם נחתכים מלבד בקצוותיהם. כל קטע במצולע נקרא צלע, וכל נקודה בה נפגשות שתי צלעות נקראת קודקוד. כל שתי צלעות שנפגשות בקודקוד יוצרות זווית.

מצולע משוכלל

בגאומטריה, מצולע משוכלל הוא מצולע שכל צלעותיו שוות וכל זוויותיו שוות.

מרובע

מרובע הוא מצולע בעל ארבע צלעות.

משושה

מְשֻׁשֶּׁה (Hexagon, הֶקְסָגוֹן) הוא מצולע בעל שש צלעות. סכום כל זוויותיו הפנימיות הוא 720 מעלות. כל משושה הוא בעל תשעה אלכסונים שיוצרים שישה משולשים.

הצרפתים מכנים לעיתים את צרפת "המשושה" בגלל צורתה שנראית כמו משושה.

מתומן

מתומן (אנגלית: Octagon) הוא מצולע בעל שמונה צלעות. סכום זוויותיו הפנימיות הוא 1080°. במתומן יש 20 אלכסונים.

סאטיר

הסאטירים, (Satyrs ביוונית: Σάτυροι, Satyroi) במיתולוגיה היוונית, היו בריות שמחציתן אדם ומחציתן תיש. נהוג לתארן כבעלי פרסות עז ורגליים שעירות וכן בעלי זוג קרניים הבולטות מקודקודם וזקן תיש. הם חבריי לוויה של דיוניסוס, אל היין. לעיתים הם מתוארים כיצורי יער המתהוללים בקרחות היער עם נימפות ובאקכות ולעיתים מתוארים כשוכני השממה.

לעיתים מתורגם שמם בעברית לשעירים והמיתולוגיה הרומית מכנה יצורים דומים בשם פָאוּנִים. לסאטירים היה תיאבון מיני גדול וכן כוח פיזי גדול, לכן הרבו לאנוס נימפות ובנות תמותה.

המיתוס על אורפיאוס ואורידיקה החל בגלל סאטיר, שרדף אחרי אורידיקה ביער בניסיון לאנוס אותה, ובעת מנוסתה היא לא שמה לב ודרכה על נחש, שהכיש אותה וכך מתה והגיעה לשאול.

"פאן", אל הפרא במיתולוגיה היוונית, היה בן דמותם של הסאטירים, אשר אהב לנגן בחליל. קולות נגינתו בלילה היו מעוררים לעיתים חרדה בכפרים ומכאן מקור המילה פאניקה.

השם "סאטירה" איננו נגזר מן השם "סאטיר", שכן שינויים וטעויות דקדוקיות טישטשו את מקורה של המילה "סאטירה" מהשפה הלטינית (Satura), ועל כן טעות אטימולוגית נפוצה היא לקשר בין סאטיר לסאטירה.

האל פאן מוזכר בספרים כגון סדרת ספרי פרסי ג'קסון וסדרת ההמשך "גיבורי האולימפוס" שכתב ריק ריירדן.

פאה (גאומטריה)

בגאומטריה פאה היא מצולע המגביל פאון מצדו האחד. כל פאה גובלת בכל צדדיה עם פאות נוספות, וכל אחת מצלעות הפאה, המשותפת לפאה סמוכה, נקראת מקצוע. פאונים סימטריים (בפרט פאון אפלטוני ופאון ארכימדי) מאופיינים על ידי סוג הפאות שלהם והאופן שבו הפאות פוגשות זו את זו בקודקודי הפאון.

פאותיהם של כל אחד מחמשת הפאונים האפלטוניים (פאונים משוכללים) הן מצולעים משוכללים חופפים, מסוג אחד. פאותיה של קובייה, למשל, הן שישה ריבועים חופפים. שמות הפאונים האפלטוניים (פרט לקובייה) משקפים את מספר פאותיהם.

פאותיהם של פאונים ארכימדיים הן מצולעים משוכללים חופפים, משניים או שלושה סוגים. למשל: לארבעון קטום יש 8 פאות - 4 בצורת משולש שווה-צלעות ו-4 בצורת משושה משוכלל, ולקובוקטהדרון הקטום יש 26 פאות - 12 ריבועים, 8 משושים ו-6 מתומנים.

נוסחת אוילר קושרת בין מספר פאותיו, צלעותיו וקודקודיו של פאון. הנוסחה היא V - E + F = 2, כאשר V הוא מספר הקודקודים של הפאון, E הוא מספר הצלעות ו-F הוא מספר הפאות.

פאון ארכימדי

בגאומטריית המרחב, פאון ארכימדי הוא פאון קמור משוכלל למחצה, שאינו מנסרה או אנטי-מנסרה, ושלא כמו בפאונים האפלטוניים, לא כל פאותיו חופפות. בפרט, כל הפאות של פאון ארכימדי חופפות לאחד משני מצולעים משוכללים או יותר, אשר כולם בעלי אותו אורך צלע. כמו כן, כל הקודקודים זהים, כלומר, כל הפאות הנפגשות בקודקוד אחד חופפות לפאות הנפגשות בכל קודקוד אחר. את הפאונים הארכימדיים אפשר לבנות מן הפאונים האפלטוניים באמצעות בניות ויטהוף.

פאון משוכלל

בגאומטריה של המרחב, פֵּאוֹן משוכלל הוא גוף קמור המוגבל על ידי מצולעים משוכללים, כך שבכל קודקוד שלו נפגש מספר שווה של מקצועות ולכל פאה מספר שווה של פאות שצמודות לה. קיימים חמישה פאונים משוכללים: ארבעון, קובייה, תמניון, תריסרון ועשרימון.

פאון משוכלל למחצה

בגאומטריית המרחב, פאון משוכלל למחצה הוא פאון קמור שכל הפאות שלו הן משוכללות, ואשר הקודקודים שלו חופפים זה לזה (במובן הבא: חבורת הסימטריות פועלת באופן טרנזיטיבי על הקודקודים).

ישנן שתי משפחות אינסופיות של פאונים משוכללים למחצה, המנסרות הקמורות והאנטי-מנסרות הקמורות, עוד שלושה-עשר פאונים ארכימדיים (שלהם לפחות שתי פאות לא חופפות), וחמשת הפאונים האפלטוניים (שבהם כל הפאות חופפות).

במונח "פאון משוכלל למחצה" עשה לראשונה שימוש E. L. Gosset (ב-1912), כדי לתאר מה שקרוי היום פאון אחיד.

ה.ס.מ. קוקסטר פסק שההגדרה הזו מלאכותית ורחבה מדי. בהגדרות מאוחרות יותר נכללו פאונים נוספים, לרבות פאונים כוכביים והפאונים הדואליים לאלו המנויים לעיל. בין הספרים העוסקים בנושא אין הסכמה חד-משמעית באשר לתכולת הקבוצה של הפאונים המשוכללים למחצה: מחברים אחדים כוללים בה את פאוני קטלן, בעוד שאחרים משמיטים ממנה את הפאונים האפלטוניים; לעיתים נשמטת גם ההנחה על קמירות.

פירמידה (גאומטריה)

פִּירָמִידָה היא פאון תלת-ממדי המורכב ממצולע שנקרא בסיס הפירמידה, מנקודה מחוץ למישור של המצולע שנקראת קודקוד הפירמידה, ומכל הקטעים המחברים בין הקודקוד לבין הקודקודים של מצולע הבסיס. באופן שקול, פירמידה מורכבת מפאת הבסיס שהיא מצולע כלשהו, מקודקוד מחוץ למישור הבסיס, ומפאות משולשיות שהן כל המשולשים המוגדרים על ידי שני קודקודים סמוכים במצולע הבסיס ביחד עם קודקוד הפירמידה.

מספר הצלעות של מצולע הבסיס מעניק לפירמידה את שמה, ובהתאם לכך יש פירמידה משולשת, פירמידה מרובעת וכו'. פירמידה משולשת משוכללת (כלומר כזו עם ארבע פאות שהן משולשים חופפים ושווי צלעות), קרויה גם טטראדר (בעברית: "ארבעון"), וזהו אחד מחמשת הפאונים המשוכללים.

כל אחד מהקטעים המחברים את קודקוד הפירמידה עם אחד מקודקודי הבסיס נקרא מקצוע צדדי. צלע הבסיס נקראת מקצוע בסיס. גובה הפירמידה הוא הקטע היורד מקודקוד הפירמידה אל מישור הבסיס וניצב למישור הבסיס.

יש המכנים פירמידה שבה כל המקצועות הצדיים שווים באורכם פירמידה ישרה. באופן שקול, פירמידה ישרה היא פירמידה שבה כל הפאות המשולשיות (פרט, אולי, לבסיס) הן שוות-שוקיים כאשר השוקיים השוות הן המקצועות הצדיים. בפרט, בפירמידה ישרה כל קודקודי הבסיס נמצאים על אותו מעגל (תנאי הכרחי זה תמיד מתקיים בפירמידה משולשת, אך החל בפירמידה מרובעת הוא לאו דווקא מתקיים), והגובה יורד אל מרכז המעגל החוסם את הבסיס.

נפח הפירמידה (בדומה לנפח החרוט) שווה לשטח הבסיס כפול הגובה חלקי 3, כלומר שליש מנפח מנסרה בעלת אותו בסיס ואותו גובה (). נוסחה זו ניתן להוכיח באמצעות עקרון קאוואליירי.

קובייה

קובייה (ביוונית: הֶקְסַאהֶדְרוֹן) היא פאון משוכלל בעל 6 פאות ריבועיות הניצבות כל אחת לכל שכנותיה. לקובייה יש 8 קודקודים ו- 12 מקצועות שווים באורכם.

הסימטריות הרבה של הקובייה מתבטאת בכך שחבורת הסימטריות שלה היא מסדר 24 (החבורה איזומורפית לחבורת התמורות ), והיא פועלת טרנזיטיבית על הקודקודים, על הצלעות ועל הפאות. חבורת הסימטריות של השלד של הקובייה, שהוא הגרף המורכב מן הקודקודים והצלעות בלבד, היא מסדר 48; לסימטריות הקודמות נוסף גם היפוך מבפנים-החוצה, שאינו אפשרי בקובייה מלאה.

הקובייה מופיעה באופן טבעי במערכת צירים קרטזית, משום שהיא כדור היחידה של נורמת-אינסוף על המרחב האוקלידי התלת-ממדי.

קובייה היא מקרה פרטי של מקבילון, תיבה ומעוינון.

ריבוע

בגאומטריה, ריבוע הוא מרובע משוכלל. בריבוע יש ארבע צלעות שוות וארבע זוויות שוות. זוויות אלה הן זוויות ישרות.

ריבוע הוא מקרה פרטי של מרובע, טרפז (בהגדרה הרחבה שלו), מקבילית, מלבן, דלתון ומעוין. לריבוע יש השטח המקסימלי מבין המרובעים עם היקף נתון, והיקף מינימלי מבין המרובעים עם שטח נתון.

שטח פנים

בגאומטריה אוקלידית, שטח הפּנים של גוף כלשהו במרחב אוקלידי תלת ממדי הוא שטח השפה של אותו גוף.

לדוגמה, שטח הפנים של פאון הוא סכום שטחי כל פאות הפאון.

שטח פנים נמדד ביחידות מידה של שטח. לדוגמה, סמ"ר (סנטימטר רבוע) או מ"ר (מטר רבוע).

שטח פנים נמדד כסכום שטח כל הפאות, כלומר, כדי למדוד שטח פנים של מצולע, מחשבים שטח (צלע כפול צלע נגדית) של כל פאה בנפרד ומחברים את שטח כל הפאות.

תמניון משוכלל

תְּמָנְיוֹן משוכלל (גם אוֹקְטָהֶדְרוֹן או אוקטאדר) הוא פאון בעל 8 פאות משולשות שוות צלעות, 6 קודקודים ו-12 מקצועות. את התמניון המשוכלל, הקרוי גם דו-פירמידה ריבועית, אפשר לבנות משתי פירמידות ריבועיות שפאותיהן הצדדיות הן משולשים שווי-צלעות, אשר חוברו בבסיסיהן. התמניון המשוכלל הוא אחד מחמשת הפאונים המשוכללים, הקרויים גם "הגופים האפלטוניים". הפאון הדואלי, המתקבל מחיבור המרכז של כל פאה עם מרכזי הפאות הסמוכות לה, הוא קובייה.

אם נסמן את אורך מקצועו של התמניון המשוכלל ב-a, אזי:

מצולעים ופאונים
מושגים מצולע • פאון • קודקודצלעמקצועפאהזווית חיצוניתאלכסון
מצולעים
לפי מספר צלעות משולשמרובעמחומשמשושהמשובעמתומן
משולשים משולש ישר-זוויתמשולש שווה-שוקייםמשולש שווה-צלעות
מרובעים מקביליתטרפזטרפז שווה-שוקייםמרובע ציקלידלתוןדלתון ריצוףמעויןמלבןריבוע
כוכבים פנטגרםמגן דודאניאגרם
תכונות מצולע משוכללמצולע שווה-צלעותמצולע קמורכוכב
פאונים
פאונים משוכללים ארבעוןקובייהתמניוןתריסרוןעשרימון
פאונים ארכימדיים ארבעון קטוםקובוקטהדרוןקובייה קטומהתמניון קטום • רומביקובוקטהדרון • קובוקטהדרון קטום • קובייה מסותתת • איקוסידודקהדרון • דודקהדרון קטום • איקוסהדרון קטום • רומביקוסידודקהדרון • איקוסידודקהדרון קטום • דודקהדרון מסותת
פאונים אחרים פירמידהמנסרהאנטי-מנסרהמקבילוןמעוינוןתיבהאיקוסיטטרהדרון
תכונות פאון משוכללפאון משוכלל למחצהפאון ארכימדי
הכללות
הכללות סימפלקסהיפרקובייהטסרקט

דף זה בשפות אחרות

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.