אופרטור אוניטרי

באלגברה ליניארית, אופרטור אוניטרי הוא אופרטור ליניארי של מרחב מכפלה פנימית מעל שדה המספרים המרוכבים, המקיים את התנאי , כאשר הוא הצמוד ההרמיטי של ' ו- הוא אופרטור הזהות. באופן דומה, מטריצה ריבועית מרוכבת A היא אוניטרית אם , כאשר הוא הצמוד המרוכב של המטריצה המשוחלפת (ההגדרות מתלכדות, אם חושבים על המטריצה כאופרטור , ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית של מרחב הווקטורים) ו- היא מטריצת היחידה. אופרטור אוניטרי אנלוגי במובנים רבים למספר מרוכב שערכו המוחלט הוא 1, וזאת בגלל הקשר בין מושג הצמידות ההרמיטית למושג ה"צמוד המרוכב", ומשום שכל מספר מרוכב z שערכו המוחלט הוא 1 מקיים: .

הגדרה שקולה

יהי מרחב וקטורי ממימד סופי מעל שדה המספרים המרוכבים עם מכפלה פנימית.

יקרא אופרטור אוניטרי אם מתקיים:

לכל ב- .

שמירת מרחק

אופרטור אוניטרי שומר על הגאומטריה של המרחב. הוא אינו משנה אורך של וקטורים, ושומר גם על הזוויות. למעשה כל אופרטור שומר אורך (כלומר, המקיים לכל ) הוא אוניטרי. הדוגמה המובהקת לאופרטור אוניטרי הוא סיבוב של או שיקוף של המרחב, שאפשר לתאר גם כהחלפה של בסיס אורתונורמלי אחד באחר (אכן, מטריצת המעבר בין בסיסים אורתוגונליים היא אוניטרית). בפרט, העמודות של מטריצה אוניטרית מהוות בסיס אורתונורמלי.

במכניקת הקוונטים אופרטור אוניטרי מייצג פעולה שמכבדת את חוקי השימור, לרוב את חוק שימור ההסתברות וחוק שימור זרם ההסתברות.

חבורת המטריצות האוניטריות

אוסף המטריצות האוניטריות הוא חבורה ביחס לכפל מטריצות. הדטרמיננטה היא הומומורפיזם מן החבורה הזו אל החבורה של מספרים מרוכבים בעלי ערך מוחלט 1. הגרעין הוא אוסף המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה 1, הנקראות מטריצות אוניטריות מיוחדות.

לחבורות אלה יש חשיבות רבה בתורת שדות ובמודל הסטנדרטי. הפיזיקאים יובל נאמן ומארי גל-מן הראו שאפשר למיין את הקווארקים לקבוצות באמצעות חבורת הסימטריה .

הקשר לטיפוסי מטריצות אחרים

מטריצה ממשית אוניטרית היא מטריצה אורתוגונלית; העמודות של מטריצה כזו מהוות בסיס אורתונורמלי, וכן גם השורות שלה.

אם A אופרטור הרמיטי אזי הוא אופרטור אוניטרי, וכל אופרטור אוניטרי הוא בעל צורה כזו.

ראו גם

קישורים חיצוניים

איזומטריה

בטופולוגיה, איזומטריה היא פונקציה משמרת מרחק ממרחב מטרי אחד על מרחב מטרי אחר. מרחבים שיש ביניהם איזומטריה הם איזומטריים, ויש להם אותן תכונות מטריות.

כל איזומטריה היא חד-חד-ערכית (כי היא מעתיקה נקודות שהמרחק ביניהן חיובי לנקודות שהמרחק ביניהן חיובי). לכן איזומטריות הן האיזומורפיזמים של מרחבים מטריים.

דינמיקה קוונטית

דינמיקה קוונטית היא תחום פיזיקלי העוסק בהתפתחות בזמן של מערכת קוונטית.

הפוסטולטים של תורת הקוונטים

ערך זה עוסק בהנחות ובעקרונות היסוד של תורת קוונטים לא יחסותית כפי שמקובל להציגם בגישה המודרנית. הערך מציג את ניסוח דיראק, אשר משלב את שני הניסוחים הקודמים: מכניקת המטריצות של ורנר הייזנברג, ומשוואת הגל של ארווין שרדינגר. מאוחר יותר פותחו לתורת הקוונטים ניסוחים שונים מאד, אך שקולים, למשל ניסוח אינטגרלי מסלול של ריצ'רד פיינמן, וניסוח תורת הקוונטים במרחב הפאזה של חוסה אנריקה מויאל ואחרים.

לשם הבנת הערך רצוי להכיר את סימון דיראק.

וקטור מצב (קוונטים)

במכניקה קוונטית, וקטור מצב הוא וקטור במרחב הילברט המיצג את המצב של מערכת פיזיקלית, כשמספר דרגות החופש של המערכת הוא הממד של הווקטור. הדרך הנפוצה ביותר לכתוב את וקטור המצב היא באמצעות סימון דיראק: .

פונקציית גל משמשת גם היא לתיאור מצב קוונטי ויש חפיפה רבה במשמעות שני המונחים.

מטריצה אוניטרית

באלגברה ליניארית, מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית מעל המספרים המרוכבים המקיימת את התנאי

כלומר

כאשר I היא מטריצת היחידה, ו- הצמוד ההרמיטי של מטריצה A.

מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של מטריצה נורמלית.

מטריצה אוניטרית שכל מרכיביה הם מספרים ממשיים היא מטריצה אורתוגונלית.

משפט האי-שכפול

משפט האי-שכפול (באנגלית: No cloning theorem) האי-שכפול הוא משפט בתורת האינפורמציה הקוונטית. לפי המשפט, לא קיים אופרטור היוצר עותק זהה למצב קוונטי שרירותי. הוא נוסח על ידי ווטרס, וויצך זורק, ודיקס בשנת 1982, ובעל השלכות רבות על מחשוב קוונטי ותחומים דומים.

המצב של מערכת יכול להיות שזור עם מצב של מערכת אחרת (לדוגמה, מצבי בל), אך זהו לא שכפול. משום שאין מצב מוגדר היטב שניתן להתייחס אליו כאל תת-מערכת של מצב שזור. שכפול הוא תהליך שתוצאתו היא שני מצבים זהים לא שזורים.

משפט האי-שכפול בדרך כלל מנוסח ומוכח עבור מצבים טהורים, ומשפט האי-שידור מכליל זאת למצבים מעורבים.

למשפט האי-שכפול יש תאום הפוך בזמן: משפט האי-מחיקה, הטוען כי לא קיים אופרטור שבהינתן שני עותקים זהים של מצב קוונטי שרירותי, מוחק את אחד העותקים. יחד, משפטים אלו מחזקים את המשמעות של מכניקת הקוונטים במונחי תורת הקטגוריות.

נושאים באלגברה ליניארית
מושגי יסוד שדהמרחב וקטורימשוואה ליניאריתמערכת משוואות ליניאריותהעתקה ליניאריתמטריצה
וקטורים תלות ליניאריתצירוף ליניאריקבוצה פורשתבסיסקואורדינטות
מטריצות כפל מטריצותשחלוףדטרמיננטהדרגהעקבהמטריצה מצורפתמטריצת מעברמטריצה משולשיתדמיון מטריצותערך עצמיפולינום אופיינילכסון מטריצותצורת ז'ורדן
העתקות העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגתגרעין (אלגברה)אנדומורפיזםאיזומורפיזםהעתקה אפיניתהעתקה פרויקטיבית
מרחבי מכפלה פנימית מכפלה סקלריתמכפלה וקטוריתאורתוגונליותמטריצה סימטריתאופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית
תבניות תבנית ביליניאריתתבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצותמשפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור

דף זה בשפות אחרות

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.