Matemáticas

Matemáticas ou matemática[1] (do grego μαθηματικός, mathematikós, 'o que aprende', que á súa vez deriva de μάθημα, máthēma, 'coñecemento', 'estudo', 'aprendizaxe') é o estudo abstracto de cuestións que abranguen os conceptos de cantidade[2][3], estrutura[4], espazo[3], cambio[5][6], e outras propiedades[7]; se ben non hai unha definición xeralmente aceptada[8][9]. Os matemáticos buscan patróns[10][11] e formulan novas conxecturas das que tratan de establecer a súa verdade ou falsidade mediante unha demostración matemática. Cando as estruturas matemáticas son bos modelos de fenómenos reais, o razoamento matemático pode axudar a comprender e facer predicións sobre a natureza.

Por medio da abstracción e do razoamento lóxico, as matemáticas desenvólvense a partir da acción de contar, o cálculo, a medida, e o estudo sistemático das formas e os movementos dos obxectos físicos. A práctica das matemáticas ven sendo unha actividade humana polo menos desde que existen documentos escritos. A resolución dos problemas matemáticos pode levar séculos de investigación continuada. O razoamento rigoroso aparece por primeira vez na matemática grega, especialmente nos Elementos de Euclides. Desde os traballos pioneiros a finais do século XIX de Giuseppe Peano (1858–1932), David Hilbert (1862–1943) e outros acerca dos sistemas axiomáticos, fíxose habitual ver a investigación matemática como a busca da verdade mediante a dedución rigorosa a partir de axiomas e definicións elixidos axeitadamente. As matemáticas desenvolvéronse dun xeito relativamente lento ata o Renacemento, momento no que as innovacións matemáticas interactúan cos novos descubrimentos científicos para dar lugar a un rápido incremento do número de achados matemáticos que continúa no presente.

Sobre as matemáticas Galileo Galilei (1564–1642) dixo[12]:

Carl Friedrich Gauss (1777–1855) referíase ás matemáticas coma "a raíña das ciencias"[13]. Benjamin Peirce (1809–1880) chamaba ás matemáticas "a ciencia que obtén conclusións necesarias"[14]. David Hilbert opinaba que "de ningunha maneira estamos a falar aquí de arbitrariedades. As matemáticas non son como un xogo no que as tarefas están determinadas por regras arbitrariamente estipuladas. Pola contra, é un sistema conceptual cunha necesidade interna de que só poida ser así e de ningún outro modo."[15]. Albert Einstein (1879–1955) afirmou que "canto máis se refiren á realidade, as leis das matemáticas máis lonxe están da exactitude; e canto máis se achegan á exactitude, máis se afastan da realidade"[16]. A matemática francesa Claire Voisin sinala que "hai un pulo creativo nas matemáticas, é todo acerca do movemento que intenta manifestarse"[17].

As matemáticas son unha ferramenta esencial en moitos campos do saber, incluídas as ciencias naturais, a enxeñería, a medicina e as ciencias sociais. A matemática aplicada, a rama das matemáticas á que lle concirnen as aplicacións dos coñecementos matemáticos a outros campos, inspírase e fai uso dos novos descubrimentos matemáticos, os cales conducen ao desenvolvemento de novas disciplinas matemáticas, coma a estatística e a teoría de xogos. Os matemáticos tamén se implican na matemática pura sen teren en mente ningunha aplicación práctica, só polo pracer de facer matemáticas. Porén non hai unha liña clara de separación entre a matemática pura e a aplicada e con frecuencia descóbrense aplicacións prácticas a aquilo que comezou sendo matemática pura[18].

Euclid
Euclides, matemático grego do século III a.C., tal como foi imaxinado por Rafael nun detalle do fresco de 1509 A escola de Atenas, que se conserva na Stanza della Segnatura dos Palacios Pontificios do Vaticano.
Assayertitle
Il Saggiatore, obra de Galileo Galilei publicada en Roma en 1623 na que se destaca a importancia das matemáticas para entender o universo.

Etimoloxía

Sanzio 01 Pythagoras
Pitágoras escribindo música no fresco A Escola de Atenas de Rafael.

A palabra matemáticas quere dicir "o que se aprende". Vén do grego μαθηματικός, mathematikós, "o que aprende", palabra derivada de μάθημα, máthēma, "coñecemento, estudo, aprendizaxe"[19]. O filósofo neoplatónico Iámblico, na súa obra De vita pythagorica, explica que na comunidade pitagórica había dúas clases de membros: os matemáticos, mathematikoi (coñecedores), cos que Pitágoras compartía o coñecemento; e os acusmáticos, akousmatikoi (oidores), os membros da irmandade que tamén compartían os coñecementos pero dun xeito superficial, sen profundar nas súas razóns[20].

Ata arredor do ano 1700, o vocábulo matemáticas tiña como acepción máis común o de "astroloxía" (ou, ás veces, "astronomía"); o significado foi cambiando gradualmente ata o actual entre aproximadamente 1500 e 1800. Isto provocou erros nas traducións e interpretacións erróneas: é particularmente notoria a advertencia que fai Agostiño de Hipona aos cristiáns prevíndoos dos mathematici co significado de astrólogos o cal, nalgunhas traducións, se interpreta como unha condena das matemáticas.

Definicións de matemáticas

Plato and Aristotle in The School of Athens, by italian Rafael
Aristóteles, cuxa definición das matemáticas estivo vixente durante máis de 2.000 anos, e o seu mestre Platón, representados no fresco de Rafael A Escola de Atenas.

A definición dada por Aristóteles das matemáticas como "a ciencia da cantidade" prevaleceu ata o século XVIII[21]. A chegada do século XIX supuxo un aumento do rigor no estudo das matemáticas, nacendo novas disciplinas abstractas coma a teoría de grupos e a xeometría proxectiva nas que non quedaba clara a relación entre cantidade e medida. Como consecuencia, matemáticos e filósofos comezaron a propor novas definicións[22]. Algunhas destas definicións resaltan o carácter dedutivo de moita da matemática, outras salientan a súa abstracción, e hainas que destacan certa temática da propia matemática. Hoxe en día, mesmo entre os matemáticos profesionais, non hai consenso sobre que definición debe prevalecer[8]. Máis aínda, non hai consenso sobre se a matemática é unha arte ou unha ciencia[9]. Un gran número de matemáticos non teñen interese nunha definición das matemáticas, ou considéranas indefiníbeis[8]. Algúns din que "Matemáticas é o que fan os matemáticos"[8].

Os tres tipos principais de definición das matemáticas reciben o nome de loxicista, intuicionista e formalista, cada unha reflectindo diferentes escolas filosóficas de pensamento[23]. Ningunha ten unha ampla aceptación e non parece posíbel unha teoría única que as englobe[23].

Bertrand Russell (c. April 1940)
Bertrand Russell, un dos fundadores do loxicismo, na UCLA en abril de 1940.

Unha definición temperá en termos de lóxica, "a ciencia que obtén conclusións necesarias", deuna Benjamin Peirce en 1870[14], se ben foron Bertrand Russell e Alfred North Whitehead quen estableceron as bases do proxecto filosófico coñecido coma loxicismo, tentando probar que todos os conceptos, afirmacións e principios matemáticos poden ser definidos e probados en termos da lóxica simbólica. A definición de Bertrand Russell de 1903, "toda a matemática é lóxica simbólica", é unha definición loxicista[24].

As definicións intuicionistas, desenvolvidas a partir do traballo do filósofo das matemáticas Luitzen Egbertus Jan Brouwer, identifican as matemáticas con certos fenómenos mentais. Un exemplo de definición intuicionista é: "Matemática é a actividade mental que consiste en tirar conclusións sucesivas, unha tras outra"[23]. Unha peculiaridade do intuicionismo é que rexeita algunhas ideas matemáticas consideradas válidas segundo outras definicións. En particular, mentres que outros filósofos das matemáticas permiten obxectos dos que se pode probar a súa existencia, mesmo se non poden ser construídos, os intuicionistas só aceptan obxectos matemáticos que realmente poden ser construídos.

As definicións formalistas identifican as matemáticas cos seus símbolos e as regras operativas sobre eles. Haskell Curry define as matemáticas simplemente como "a ciencia dos sistemas formais"[25]. Un sistema formal é un conxunto de símbolos e regras que indican como se combinan os símbolos para formar fórmulas. A palabra axioma ten un significado especial nos sistemas formais, diferente do seu significado ordinario de "verdade evidente per se". Nos sistemas formais, un axioma é unha combinación de símbolos incluído nun sistema formal sen necesidade de deducilo usando as regras do sistema.

A inspiración, as matemáticas pura e aplicada, e a estética

EugeneWignerAlvinWeinberg
Eugene Wigner (á esquerda con Alvin Weinberg) falaba da irrazoábel eficacia das matemáticas nas ciencias.
Ghhardy@72
O matemático inglés Godfrey Harold Hardy xustificaba facer matemáticas simplemente pola súa estética.

É moi posíbel que a arte do cálculo fose desenvolvida antes mesmo ca escritura[26], relacionada fundamentalmente co comercio, a agrimensura, a arquitectura e, posteriormente, a astronomía. Actualmente, todas as ciencias aportan problemas que estudan matemáticos, ao mesmo tempo que aparecen novos problemas dentro das propias matemáticas. Por exemplo, o físico Richard Feynman inventou a integral de camiños da mecánica cuántica, usando unha combinación do razoamento matemático e unha visión física; e a actual teoría de cordas, que aínda está a ser desenvolvida e que trata de unificar as catro forzas fundamentais, continúa inspirando novas matemáticas[27]. Algunhas matemáticas só son relevantes na área na que estaban inspiradas e son aplicadas para outros problemas nese campo. Mais acotío as matemáticas inspiradas nunha área concreta resultan útiles en moitos ámbitos, e inclúense dentro do corpus xeral de conceptos matemáticos. Frecuentemente faise unha distinción entre a matemática pura e a matemática aplicada. Así a todo, a matemática pura ten con frecuencia aplicacións prácticas coma, por exemplo, a teoría de números na criptografía. Este notábel feito é o que Eugene Wigner definiu como «a irrazoábel eficacia das Matemáticas nas Ciencias Naturais»[28]. Como na maioría dos campos do saber, a explosión de coñecementos na era científica levou á especialización: hoxe en día hai centos de áreas especializadas en matemáticas, a última clasificación MSC ten 46 páxinas[29]. Varias áreas das matemáticas aplicadas fusionáronse con outros campos tradicionalmente fóra das matemáticas para se converter en disciplinas independentes, como poden ser a estatística, a investigación de operacións ou a informática.

Para aqueles que senten predilección polas matemáticas hai, con frecuencia, un aspecto estético que define á maioría das matemáticas. Moitos matemáticos falan da elegancia das matemáticas, a súa estética intrínseca e beleza interna. En xeral a simplicidade está moi valorada. Hai beleza nunha demostración simple e elegante, como na demostración de Euclides de que hai infinitos números primos, e nunha elegante análise numérica que acelera o cálculo, así como na transformada rápida de Fourier. G. H. Hardy na súa obra Apoloxía dun Matemático, expresa a crenza de que estas consideracións estéticas son, en si mesmas, suficientes para xustificar o estudo da matemática pura. Hardy sinala criterios como a relevancia, o inesperado, a inevitabilidade e a economía como factores que contribúen a unha estética matemática[30]. Decotío os matemáticos esfórzanse por achar demostracións que sexan particularmente elegantes, probas que están no "Libro", segundo palabras do prolífico matemático húngaro Paul Erdős[31][32]. A popularidade das matemáticas recreativas é outro signo do pracer que moita xente sente resolvendo problemas matemáticos.

Notación, linguaxe e rigor

Russell PM 1+1=2
Exemplo de notación matemática complexa nunha obra de Russell, no punto concreto onde deduce que 1+1=2.

A maioría da notación matemática que se usa hoxe en día non foi inventada ata o século XVI[33]. Antes diso, as matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limitaba o avance matemático[34]. Euler (1707–1783) foi o responsábel de moitas das notacións que se usan hoxe. A notación moderna fai a matemática moito máis fácil para o profesional, mais os principiantes a encontran complicada. A información está extremadamente comprimida: uns poucos símbolos conteñen unha gran cantidade de información. Ao igual cá notación musical, a moderna notación matemática ten unha sintaxe estrita (que polo seu limitado alcance, varía dun autor a outro e dunha a outra disciplina) e codifica información que sería difícil de escribir doutra maneira.

1925 kurt gödel
Kurt Gödel, autor dos teoremas de incompletitude, na súa época de estudante.

A linguaxe matemática pode ser difícil de entender para os principiantes. Palabras como "ou" e "só" teñen un significado máis restritivo ca na linguaxe coloquial. Máis aínda, palabras como "aberto" e "campo" adquiriron uns significados matemáticos especializados. Termos técnicos como "homeomorfismo" e "integrable" teñen significados precisos en matemáticas. Outras frases como "se e só se" son exclusivas da xerga matemática. Hai unha razón para a notación especial e o vocabulario técnico: as matemáticas requiren máis precisión cá linguaxe coloquial. Os matemáticos refírense a esta precisión da linguaxe e da lóxica coma "rigor".

Unha demostración matemática é fundamentalmente unha cuestión de rigor. Partindo de axiomas, os matemáticos demostran os seus teoremas usando un razoamento sistemático. Isto é así para evitar "teoremas" erróneos baseados en intuicións falíbeis, como ten ocorrido moitas veces na historia da materia. O nivel de rigor que se espera nas matemáticas foi variando ao longo do tempo: na Grecia clásica buscábanse argumentos detallados, pero no tempo de Isaac Newton os métodos empregados eran menos rigorosos. Os problemas inherentes ás definicións usadas por Newton levaron a un rexurdimento no século XIX da análise coidadosa e da demostración formal. A febleza do rigor é a causa dalgúns dos máis comúns malentendidos das matemáticas. Hoxe, os matemáticos debaten acerca das demostracións asistidas por ordenador: como os longos resultados producidos son difíciles de verificar; tales probas poderían non ser suficientemente rigorosas.[35].

Os axiomas no pensamento tradicional eran "verdades autoevidentes", mais esa concepción é problemática. A un nivel formal, un axioma non é máis ca unha cadea de símbolos nun sistema axiomático, cun significado intrínseco só no contexto de tódalas fórmulas derivadas dentro dese sistema. O programa de Hilbert tiña como obxectivo dotar as matemáticas dunha base axiomática completa (toda sentenza pode ser probada ou refutada) e probar que dita axiomática era consistente (non ten axiomas contraditorios), pero Gödel demostrou a imposibilidade desta axiomatización cando estableceu o seu primeiro teorema de incompletitude que afirma que un sistema axiomático que tente describir a aritmética, non pode ser consistente e completo á vez.[36]. Con todo, nalgunha axiomatización as matemáticas redúcense (cando menos o seu contido formal) a non máis que teoría de conxuntos, no sentido de que toda proposición ou demostración pode ser formulada dentro da teoría de conxuntos[37].

As matemáticas como ciencia

Carl Friedrich Gauss
Carl Friedrich Gauss, coñecido como o "príncipe dos matemáticos".[38].

Gauss referíase ás matemáticas como "A Raíña das Ciencias"[13]. No latín orixinal Regina Scientiarum, e tamén no alemán Königin der Wissenschaften, a palabra correspondente a ciencia ten o significado de "campo de coñecemento". Por suposto, as matemáticas son, neste sentido, un campo de coñecemento. A irrupción do método baconiano trae coma consecuencia a especialización, restrinxindo o significado de "ciencia" ás ciencias naturais, contrapoñéndoa ao escolasticismo, o método aristotélico de investigación a partir do primeiro principio. É indubidábel que o papel da experimentación empírica e a observación é insignificante en matemáticas, en contra do que ocorre nas ciencias naturais coma a psicoloxía, a bioloxía ou a física. Albert Einstein afirmou que "canto máis se refiren á realidade, as leis das matemáticas máis lonxe están da exactitude; e canto máis se achegan á exactitude, máis se afastan da realidade"[16]. Máis recentemente, Marcus du Sautoy chamou ás matemáticas "a Raíña da Ciencia ... a principal forza impulsora do descubrimento científico" [39].

Professor Imre Lakatos, c1960s
Imre Lakatos, lóxico e filósofo das matemáticas que propuxo unha versión especial do falsacionismo para as matemáticas.

Moitos filósofos cren que as matemáticas non son falsaciábeis experimentalmente, e por tanto non son unha ciencia segundo a definición de Karl Popper. [40]. Porén, nos anos trinta do século XX, os teoremas de incompletitude de Gödel convenceron a moitos matemáticos de que as matemáticas non poden reducirse só á lóxica, e Karl Popper concluíu que "a maioría das teorías matemáticas son, coma as da física e da bioloxía, hipotético-dedutivas: as matemáticas puras por tanto tornan a estar moito máis preto das ciencias naturais cuxas hipóteses son conxecturas, ca o que semellaba non hai moito"[41]. Outros pensadores, especialmente Imre Lakatos, teñen aplicado unha versión específica do falsacionismo para as matemáticas.

Unha visión alternativa é a de que certos campos científicos (coma a física teórica) son matemáticas con axiomas que tentan corresponder á realidade. De feito, o físico teórico J. M. Ziman propón que ciencia é coñecemento público e, por tanto, inclúe ás matemáticas[42]. En calquera caso, as matemáticas teñen moito en común con moitos campos das ciencias físicas, principalmente a exploración das consecuencias lóxicas das hipóteses asumidas. A intuición e a experimentación tamén xogan un papel na formulación de conxecturas, tanto nas matemáticas coma nas outras ciencias. As matemáticas experimentais continúan gañando importancia dentro das matemáticas, e a computación e a simulación xogan un papel crecente nas ciencias e nas matemáticas, atenuando a obxección de que as matemáticas non usan o método científico. En 2002 Stephen Wolfram sostén, no seu libro Un novo tipo de ciencia, que a matemática computacional merece ser explorada empiricamente coma un campo científico[43].

As opinións dos matemáticos sobre este asunto son variadas. Moitos cren que chamarlle ciencia ás matemáticas diminúe a importancia da súa faceta estética e o da súa historia coma unha das sete artes liberais tradicionais; outros pensan que ignorar as conexións coas ciencias é tornarse cego ao feito de que a interrelación entre as matemáticas e as súas aplicacións na ciencia e enxeñería ten provocado moitos desenvolvementos nas matemáticas. As diferenzas destes dous puntos de vista reflíctense no debate filosófico sobre se as matemáticas se crean (é unha arte) ou se descobren (é unha ciencia). Ë habitual ver universidades onde existe unha división nomeada Ciencia e Matemáticas, indicando que os dous campos son afíns pero non coincidentes. Na práctica, os matemáticos agrúpanse tipicamente cos científicos nun sentido amplo, pero se separan deles a niveis máis finos. Este é un dos moitos temas tratados na filosofía das matemáticas.

Historia

Artigo principal: Historia das matemáticas.
Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330)
Papiro de Rhind do Antigo Exipto, c. 1.650 a.C.

Alén de recoñecer cantidades de obxectos, o home prehistórico aprendeu a contar cantidades abstractas coma o tempo: días, estacións, anos. A aritmética elemental (adición, subtracción, multiplicación e división) tamén foi conquistada naturalmente. Crese que ese coñecemento é anterior á escrita e, por iso, non hai rexistros históricos.

O primeiro obxecto coñecido que atesta a habilidade de cálculo é o óso de Ishango, unha fíbula de babuíno con riscos que indican unha contabilidade, que data de hai 20.000 anos[44].

Na antigüidade ideáronse moitos sistemas de numeración. Un exemplo áchase no Papiro de Rhind, un documento que resistiu ao tempo e no que se mostran os numerais escritos no Antigo Exipto.

O desenvolvemento da matemática impregnou as primeiras civilizacións e tornou posíbel a aparición de aplicacións concretas: o comercio, as medicións de terras para a agricultura, a previsión de eventos astronómicos, e ás veces, a realización de rituais relixiosos. As tres primeiras aplicacións poden ser relacionadas en certa forma coa división ampla das matemáticas coma o estudo da estrutura, do espazo e do cambio. A partir do 3000  a.C., cando babilonios e exipcios comezaron a usar aritmética e xeometría en construcións, astronomía e algúns cálculos financeiros, a matemática comezou a se tornar un pouco máis sofisticada. O estudo de estruturas matemáticas iniciouse coa aritmética dos números naturais, seguiu coa extracción de raíces cadradas e cúbicas, resolución dalgunhas ecuacións polinómicas de segundo grao, trigonometría e fraccións, entre outras materias.

Euclid Pisano OPA Florence
Representación de Euclides en mármore, no Museo dell'Opera del Duomo de Florencia.

Tales desenvolvementos son atribuídos ás civilizacións acadia, babilónica, exipcia, chinesa, ou aínda ás do val do Indo. Arredor de 600  a.C., na civilización grega, a matemática, influenciada por traballos anteriores e pola filosofía, tornouse máis abstracta. Distinguíronse dúas ramas: a aritmética e a xeometría. Formalizáronse as xeneralizacións, por medio de definicións axiomáticas dos obxectos de estudo, e as demostracións. A obra Os elementos de Euclides é un rexistro importante do coñecemento matemático na Grecia do século III a.C.

A civilización musulmá permitiu que a herdanza grega fose conservada e propiciou a súa confrontación cos descubrimentos chineses e hindús, en particular na cuestión da representación numérica. Os traballos matemáticos desenvolvéranse considerabelmente tanto na trigonometría, coma na introdución das funcións trigonométricas e na aritmética. Desenvolveuse amais a análise combinatoria, a análise numérica e a álxebra de polinomios.

Na época do Renacemento, unha parte dos textos árabes foi estudada e traducida ao latín. A pescuda matemática concentrouse entón en Europa. O cálculo alxébrico desenvolveuse rapidamente cos traballos dos franceses François Viète e René Descartes. Nesa época tamén foron creadas as táboas de logaritmos, extremadamente importantes para o avance científico dos séculos XVI ao XX, sendo substituídas apenas despois da invención das calculadoras. A percepción de que os números reais non son suficientes para a resolución de certas ecuacións tamén data do século XVI. Xa nesa época comezou o desenvolvemento dos chamados números complexos, apenas cunha definición e catro operacións. Unha comprensión máis profunda dos números complexos só foi acadada no século XVIII con Euler.

No inicio do século XVII, Isaac Newton e Leibniz descubriran o cálculo infinitesimal e introduciran a definición de fluxor (vocábulo abandonado posteriormente). Ao longo dos séculos XVIII e XIX a matemática desenvolveuse fortemente coa introdución de novas estruturas abstractas, coma os grupos, grazas aos traballos de Évariste Galois sobre a resolubilidade de ecuacións polinómicas, e os aneis definidos nos traballos de Richard Dedekind.

O século XIX ve con Cantor e Hilbert o desenvolvemento dunha teoría axiomática sobre todos os obxectos estudados e a investigación dos fundamentos matemáticos[45]. Este desenvolvemento da axiomática conducirá a varios matemáticos do século XX a buscar definir todas as matemáticas coa axuda dunha linguaxe, a lóxica matemática.

O século XX coñeceu un forte desenvolvemento das matemáticas cunha especialización crecente dos seus dominios e o nacemento de numerosas ramas novas coma, por exemplo, a teoría da medida, a teoría espectral, a topoloxía alxébrica e a xeometría alxébrica. A informática tivo un grande impacto sobre a investigación: dunha banda, facilitou a comunicación e compartir os coñecementos, e doutra, forneceu dunha formidábel ferramenta para a confrontación con exemplos. Este movemento levou dun xeito natural á modelización e á numerización.

Dominios

O estudo da estrutura comeza cos números, inicialmente os números naturais e os números enteiros. As regras que dirixen as operacións aritméticas estúdanse na álxebra elemental e as propiedades máis fondas dos números enteiros estúdanse na teoría de números.

A investigación de métodos para resolver ecuacións leva ao campo da álxebra abstracta. O importante concepto de vector, xeneralizado a espazo vectorial, é estudado na álxebra lineal e pertence ás dúas ramas da estrutura e o espazo. O estudo do espazo orixina a xeometría, primeiro a xeometría euclidiana e logo a trigonometría.

A comprensión e descrición do cambio en variábeis mensurábeis é o tema central das ciencias naturais e o cálculo. Para resolver problemas que dirixen en forma natural cara ás relacións entre unha cantidade e a súa taxa de cambio, e das solucións a estas ecuacións, estúdanse as ecuacións diferenciais.

Os números que se usan para representar as cantidades continuas son os números reais. Para estudar os procesos de cambio utilízase o concepto de función matemática. Os conceptos de derivada e integral, introducidos por Isaac Newton e Leibniz, xogan un papel clave neste estudo, que se denomina análise.

Por razóns matemáticas, é conveniente para moitos fins introducir os números complexos, o que dá lugar á análise complexa.

A análise funcional consiste en estudar problemas cuxa incógnita é unha función, pensándoa como un punto dun espazo funcional abstracto.

Campos importantes en matemáticas aplicadas son a probabilidade e a estatística, que permiten a descrición, a análise e a predición de fenómenos que teñen variábeis aleatorias e que se usan en todas as ciencias.

A análise numérica investiga os métodos para realizar os cálculos en ordenadores.

Divisións e ligazóns

As numerosas ramas da matemática están moi interrelacionadas, velaquí unha lista de seccións que podemos considerar no seu estudo:

Os números
Números -- Número natural -- Número enteiro -- Número racional -- Número real -- Número complexo -- Cuaternións -- Octonións -- Sedenións -- Números hiperreais -- Números infinitos -- Díxito -- Sistema de numeración -- Teoría de números
Matemáticas do cambio
Cálculo infinitesimal -- Cálculo vectorial -- Análise matemática -- Ecuación diferencial -- Sistemas dinámicos -- Teoría do caos -- Lista de funcións -- Logaritmo
Análise matemática
Sucesións - Series -- Análise Real -- Análise Complexa -- Análise Funcional -- Álxebra de operadores
Estruturas alxébricas
Álxebra abstracta -- Teoría de grupos -- Monoides -- Aneis -- Álxebra lineal -- Teoría de grafos -- Teoría de categorías
Espazos
Topoloxía -- Xeometría -- Xeometría alxébrica -- Xeometría diferencial -- Topoloxía diferencial -- Topoloxía alxébrica -- Espazo vectorial -- Cuaternións e rotación no espazo
Matemática discreta
Combinatoria -- Teoría de conxuntos -- Teoría da Computación -- Matemática discreta -- Criptografía -- Teoría de grafos -- Teoría de xogos
Matemática aplicada
Mecánica -- Cálculo numérico -- Optimización -- Matemática discreta -- Estatística e probabilidade
Teoremas e conxecturas famosas
Último Teorema de Fermat -- Hipótese de Riemann -- Hipótese do continuo -- Clases de complexidade P e NP -- Conxectura de Goldbach -- Conxectura dos números primos xemelgos -- Teoremas de incompletitude de Gödel -- Conxectura de Poincaré -- Argumento da diagonal de Cantor -- Teorema de Pitágoras -- Teorema Fundamental do Cálculo -- Teorema Fundamental da Álxebra -- Teorema das catro cores -- Lema de Zorn -- Identidade de Euler.
Fundamentos e métodos
Filosofía da matemática -- Intuicionismo matemático -- Construtivismo matemático -- Fundamentos das matemáticas -- Teoría de conxuntos -- Subconxuntos difusos -- Lóxica simbólica -- Lóxica difusa -- Teoría de modelos -- Teoría de categorías -- Proba dos teoremas -- Axiomática -- Indución
Historia das matemáticas. O mundo dos matemáticos
Historia das matemáticas -- Matemáticos -- Medallas Fields -- Millennium Prize Problems (Clay Math Prize) -- International Mathematical Union -- Competicións matemáticas
Matemática recreativa
Cadrado máxico -- Papiroflexia

Así pois, unha división básica das matemáticas establecería as seguintes categorías:

  1. Aritmética, estuda as operacións con números.
  2. Xeometría, estuda o espazo, os seus subconxuntos e as súas relacións.
  3. Topoloxía, estuda a noción de proximidade nos distintos espazos.
  4. Análise matemática, estuda as funcións reais e complexas baseándose no cálculo infinitesimal.
  5. Análise numérica, busca a resolución aproximada de problemas complexos mediante algoritmos chamados métodos numéricos.
  6. Álxebra, ou estudo das estruturas, conxuntos, ecuacións, linguaxes simbólicas etc.
  7. Cálculo de probabilidades e Estatística, dedicadas ao estudo teórico do azar e á descrición de datos experimentais ou poblacionais.

No tocante á metodoloxía, outra división simple da matemática establece que esta pode ser pura, cando se consideran as magnitudes ou cantidades abstractamente, sen relación á materia; ou aplicada, cando se tratan as magnitudes coma substancia de corpos materiais, e por consecuencia relaciónase con consideracións físicas.

Notas

  1. Definicións no Dicionario da Real Academia Galega e no Portal das Palabras para Matemática.
  2. Real Academia Galega (ed.). "matemático -a". Dicionario da RAG. Consultado o 5 de maio de 2013. Ciencia que se ocupa das propiedades dos números, das figuras xeométricas etc., das súas relacións e da súa aplicación a outras ciencias e no que se engloban a aritmética, a xeometría, a álxebra, a trigonometría etc.
  3. 3,0 3,1 Oxford University Press, ed. (2012). "mathematics, n.". Oxford English Dictionary (en inglés). Consultado o 16 xuño 2012. A ciencia do espazo, o número, a cantidade e o axuste, cuxos métodos implican o uso de razoamento lóxico e de notación simbólica, e que inclúe xeometría, aritmética, álxebra e análise.
  4. Kneebone, G.T. (1963). Dover, ed. Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey (en inglés). pp. 4. ISBN 0-486-41712-3. Matemáticas ... é simplemente o estudo das estruturas abstractas, ou patróns formais de conectividade.
  5. LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris (2011). Cengage Learning, ed. Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change (en inglés). pp. 2. ISBN 1-4390-4957-2. Calculus é o estudo do cambio—como cambian as cousas, e como de rápido o fan.
  6. Ramana (2007). Tata McGraw–Hill Education, ed. Applied Mathematics (en inglés). p. 2.10. ISBN 0-07-066753-5. O estudo matemático do cambio, o movemento, o crecemento e o decrecemento é calculus.
  7. Ziegler, Günter M. (2011). "What Is Mathematics?". En Springer. An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research (en inglés). pp. 7. ISBN 3-642-19532-6.
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 Mura, Robert (decembro 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences". Educational Studies in Mathematics (en inglés) 25 (4): 375–385.
  9. 9,0 9,1 Tobies, Renate and Helmut Neunzert (2012). Springer, ed. Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry (en inglés). pp. 9. ISBN 3-0348-0229-3. É necesario, primeiramente, preguntar cal é o significado de "matemáticas" en xeral. Ilustres expertos debateron este asunto ata a saciedade e aínda non se ten acadado consenso sobre se a matemática é unha ciencia natural, unha rama das humanidades, ou unha forma de arte.
  10. Steen, Lynn (1988). "The Science of Patterns". Science (en inglés) 240 (29 abril): 611–616. Consultado o 5 de maio de 2013. Resumo do artigo na web da Association for Supervision and Curriculum Development
  11. Devlin, Keith (1996). "Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe". Scientific American Paperback Library (en inglés). ISBN 978-0-7167-5047-5.
  12. Galilei, Galileo (1623). "Capitolo VI". En Accademia dei Lincei. Il Saggiatore (en italiano). Roma. La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.
  13. 13,0 13,1 Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, reimpr. 1965). Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend, ed. Gauss zum Gedächtniss (en alemán). ISBN 3-253-01702-8.
  14. 14,0 14,1 *Peirce, Benjamin (1881). Peirce, Charles Sanders, ed. "Linear associative algebra". American Journal of Mathematics (en inglés) (Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed.) (Johns Hopkins University) 4 (1–4): 97–229. doi:10.2307/2369153. Corrected, expanded, and annotated revision with an 1875 paper by B. Peirce and annotations by his son, C. S. Peirce, of the 1872 lithograph ed. Google Eprint and as an extract, D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint.
  15. Hilbert, David (reimpr. 1992). Birkhäuser, ed. Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (cunha introdución en inglés por David E. Rowe) (en alemán). Basel.
  16. 16,0 16,1 Einstein, Albert (1923). E.P. Dutton & Co., New York, ed. Sidelights on Relativity: I. Ether and relativity. II. Geometry and experience (tradución: G.B. Jeffery, D.Sc., e W. Perrett, Ph.D). (en inglés). p. 28. A cita é a resposta de Einstein á pregunta: como é posíbel que as matemáticas, sendo un produto do pensamento humano que é independente da experiencia, se adapten tan admirablemente aos obxectos reais?
  17. Charline Zeitoun. CNRS internantional magazine, ed. "Claire Voisin, Artist of the Abstract" (en inglés). Consultado o 8 de maio de 2013.
  18. Peterson, Ivars (2001). Owl Books, ed. Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics (en inglés). ISBN 0-8050-7159-8.
  19. epsilones.com (ed.). "Etimoloxía de matemática" (en español). Consultado o 16 de maio de 2013.
  20. Cátedra Miguel de Guzmán. Facultade de Matemáticas da Universidade Complutense, ed. "La comunidad pitagórica. Generaciones de matemáticos". Lecciones pitagóricas (en español). Arquivado dende o orixinal o 03 de setembro de 2014. Consultado o 16 de maio de 2013.
  21. Franklin, James (2009). "Aristotelian Realism". En Elsevier, Andrew D. Irvine. Philosophy of Mathematics (en inglés). Oxford. p. 104. ISBN 978-0-444-51555-1. Consultado o 16 de maio de 2013.
  22. Cajori, Florian (1893). American Mathematical Society (reedición de 1991), ed. A History of Mathematics (en inglés). pp. 285–6. ISBN 0-8218-2102-4.
  23. 23,0 23,1 23,2 Snapper, Ernst (1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism". Mathematics Magazine (en inglés) 52 (4): 207–16. doi:10.2307/2689412.
  24. Russell, Bertrand (1903). University Press, ed. The Principles of Mathematics (en inglés). Cambridge. p. 5. Consultado o 16 de maio de 2013.
  25. Curry, Haskell (1951). Elsevier, ed. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics (en inglés). p. 56. ISBN 0-444-53368-0.
  26. Hazewinkel, Michiel, ed. (2001). "Arithmetic". Encyclopaedia of Mathematics (en inglés). Springer. ISBN 978-1556080104. Consultado o 16 de maio de 2013.
  27. Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). Oxford University Press, ed. The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus (en inglés).
  28. Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences". Communications on Pure and Applied Mathematics (en inglés) 13 (1): 1–14. doi:10.1002/cpa.3160130102.
  29. "Mathematics Subject Classification 2010" (PDF) (en inglés). Consultado o 19 maio 2013.
  30. Hardy, G.H. (1940). Cambridge University Press, ed. A Mathematician's Apology (en inglés). ISBN 0-521-42706-1.
  31. Gold, Bonnie; Simons, Rogers A. (2008). MAA, ed. Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy (en inglés).
  32. Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (2001). Springer, ed. Proofs from The Book (en inglés). ISBN 3-540-40460-0.
  33. Jeff Miller (coord.) (ed.). "Earliest Uses of Various Mathematical Symbols (Contains many further references)" (en inglés). Consultado o 21 de maio de 2013.
  34. Kline, Morris (1990). Oxford University Press, ed. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (en inglés). USA. pp. 140, 261. ISBN 0-19-506135-7.
  35. Peterson, Ivars (1988). Freeman, ed. The Mathematical Tourist (en inglés). p. 4. ISBN 0-7167-1953-3. Uns poucos lamentan que o programa informático non pode ser verificado axeitadamente (en referencia á demostración de Haken-Apple do Teorema das Catro Cores)
  36. Eulerianos (ed.). "Teoremas de incompletitud" (en español). Consultado o 22 de maio de 2013.[Ligazón morta]
  37. Suppes, Patrick (1972). Dover, ed. Axiomatic Set Theory (en inglés). p. 1. ISBN 0-486-61630-4. Entre as moitas ramas das matemáticas modernas, a teoría de conxuntos ocupa un lugar único: con moi poucas raras excepcións, os entes estudados e analizados en matemáticas poden ser contemplados como certos conxuntos particulares de clases de obxectos
  38. Zeidler, Eberhard (2004). Oxford University Press, ed. Oxford User's Guide to Mathematics (en inglés). Oxford, RU. p. 1188. ISBN 0-19-850763-1.
  39. Marcus du Sautoy, A Brief History of Mathematics: 10. Nicolas Bourbaki, BBC Radio 4, 1 outubro 2010. (en inglés)
  40. Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Springer, ed. Out of Their Minds: The Lives and Discoveries of 15 Great Computer Scientists (en inglés). p. 228.
  41. Popper, Karl R. (1995). Routledge, ed. "On knowledge". In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. (en inglés). p. 56. ISBN 0-415-13548-6.
  42. Ziman, J.M. (1968). Cambridge University Press, ed. Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science (en inglés). Cambridge. Consultado o 25 de maio de 2013.
  43. Wolfram, Stephen (2002). Wolfram Media, Inc., ed. A New Kind of Science (en inglés). ISBN 1-57955-008-8. Consultado o 25 de maio de 2013.
  44. The Mathematics Department of The State University of New York at Buffalo (ed.). "An Old Mathematical Object" (en inglés). Consultado o 26 de maio de 2013.
  45. Jean-Yves Girard (17 xuño 2002). Université de tous les savoirs, ed. "Conférence sur les fondements des mathématiques" (en francés). Consultado o 26 de maio de 2013.

Véxase tamén

Outros artigos

Apse

Un apse (do grego ἁψίς) é o punto de maior ou menor distancia dun corpo a un dos focos da súa órbita elíptica. En mecánica celeste este foco é tamén o centro de atracción, que é normalmente o centro de masas do sistema.

O punto de máxima aproximación (o punto no que os dous corpos están máis cerca) chámase periapse ou pericentro, namentres que o punto de maior afastamento chámase apoapse ou apocentro. Á liña recta trazada cruzando o apoapse e o periapse chámaselle liña de ápsides, e coincide co eixo maior da elipse, que é a liña que atravesa a parte máis longa dunha elipse.

Os termos derivados úsanse para identificar o corpo orbitado. Os máis comúns son perixeo (do grego περί peri = arredor de, e Γαῖα Gaia = Terra) -punto da órbita máis preto da Terra- e apoxeo (do grego ἀπό apó = lonxe, e Γαῖα Gaia = Terra) para referirse a órbitas arredor da Terra e perihelio (do grego περί perí = arredor de, e ἥλιος Helios = Sol) e afelio (do grego ἀπό apó = lonxe, e ἥλιος Helios = Sol) para referirse a órbitas arredor do Sol. Para órbitas arredor da Lúa úsanse os termos perilúa e apolúa.

ArXiv

O arXiv (pronunciado como a palabra inglesa "archive" /ˈɑːkaɪv/) é un repositorio de prepublicacións electrónicas, coñecidas como e-prints, de literatura científica nos campos das matemáticas, física, astronomía, ciencias da computación, bioloxía cuantitativa, estatística e finanzas, que poden ser consultadas en liña. En moitos campos das matemáticas e da física, a maioría das publicacións científicas son auto-arquivadas no repositorio de arXiv. Comezou o 14 de agosto de 1991, e arXiv.org superou o medio millón de artigos o 3 de outubro de 2008, e acadou o millón a finais de 2014. No 2014, a media de entradas novas medrou a máis de 8 000 ó mes.

Coordenadas xeográficas

O Sistema de Coordenadas Xeográficas expresa todas as posicións sobre a Terra usando dúas das tres coordenadas dun sistema de coordenadas esféricas que está aliñado co eixo de rotación da Terra. Este define dous ángulos medidos desde o centro da Terra:

A latitude mide o ángulo entre calquera punto e o ecuador. As liñas de latitude chámanse paralelos e son círculos paralelos ao ecuador na superficie da Terra.

A lonxitude mide o ángulo ao longo do ecuador desde calquera punto da Terra. Acéptase que Greenwich en Londres é a lonxitude 0 na maioría das sociedades modernas. As liñas de lonxitude son círculos máximos que pasan polos polos e chámanse meridianos.O ecuador é un elemento importante deste sistema de coordenadas; representa o cero dos ángulos de latitude e o punto medio entre os polos. É o plano fundamental do sistema de coordenadas xeográficas.

Círculo

Superficie plana limitada por unha circunferencia. A expresión da área dun círculo é igual a onde r é o raio da circunferencia que o circunscribe. Non debe confundirse coa circunferencia.

Espazo

O espazo concíbese comunmente como o escenario onde se sitúan os obxectos físicos, e onde transcorre a realidade.

Estatística

A estatística é a rama das matemáticas que describe os fenómenos onde non hai un compoñente absoluto, é dicir, trata coa aleatoriedade dos resultados da experiencia cotiá. A estatística axuda a todas as demais ciencias a xerar modelos matemáticos "xerais" onde se teña considerado un compoñente aleatorio.

A estatística como ciencia "utiliza conxuntos de datos numéricos para obter inferencias baseadas no cálculo de probabilidades".

Ten como base a análise de datos ou estatística descritiva e o cálculo de probabilidades. Ambas as dúas xorden por separado a fin de uniren por unha banda os métodos e pola outra os modelos, conformando de tal xeito a estatística tal e como a coñecemos na actualidade.

Unha das ramas máis interesantes da estatística é a inferencia estatística, que permite inferir ou prever tendencias ou "describir" resultados dun fenómeno ou experimento estudado a partir dun modelo xeral do devandito fenómeno. Porén, tamén se emprega para o traballo e a simplificación de grandes cantidades de datos: o uso de grandes poboacións ou corpus de datos poden obrigar a un uso de resultados que dean unha visión xeral do conxunto e axuden a tomar decisións con rapidez. Por exemplo, mentres os diferentes puntos medidos nunha topografía teñen unha certa individualidade que non se pode reducir, a xenética de poboacións, a dialectoloxía ou a lingüística de corpus aplicada a Galicia fai necesario o uso de simplificadores estatísticos coma a media, a mediana, o desvío estándar, a regresión etc.

As súas subdivisións dependen da disciplina á cal se enfoque, posto que, como especialidade matemática que é, resulta ser unha ciencia auxiliar en canto ás súas aplicacións.

Facultade de Matemáticas de Santiago de Compostela

A Facultade de Matemáticas forma parte da Universidade de Santiago de Compostela (USC) e está situada na avenida Lope Gómez de Marzoa, no campus sur de Santiago de Compostela. É a única que hai en Galicia.

Función

O concepto de función é unha xeneralización da noción común de fórmula matemática. As funcións ou aplicacións describen relacións matemáticas especiais entre dous obxectos, x e y=f(x). O obxecto x chámase o argumento da función f e o obxecto y, que depende de x, chámase imaxe de x en f.

Intuitivamente, unha función é un xeito de asociar a cada valor do argumento x un único valor da función f(x). Isto pódese facer especificando a través dunha fórmula, unha relación gráfica entre diagramas representando os dous conxuntos, ou dunha regra de asociación, mesmo pódese construír cunha táboa de correspondencia. Entre conxuntos numéricos é común representarmos funcións polos seus gráficos, cada par de elementos relacionados pola función determina un punto nesta representación, a restrición de unicidade da imaxe implica que existe un único punto para f en cada valor independente x. Este concepto é determinístico, sempre produce o mesmo resultado a partir dunha dada entrada (a xeneralización aos valores aleatorios é chamada de función estocástica). Unha función pode ser vista como unha "máquina" ou "caixa negra" que converte entradas válidas en saídas de forma unívoca, por iso algúns autores chaman ás funcións "relacións unívocas".

O tipo de función máis común é aquel onde o argumento e mailo valor da función son ambos numéricos, o relacionamento entre os dous é expreso por unha fórmula e o valor da función obtense a través da substitución directa dos argumentos. Considere o exemplo

Que resulta en calquera valor de x ao cadrado.

Unha xeneralización directa é permitir que funcións dependan non só dun único valor, mais de varios. Por exemplo esta función de dúas variables,

recibe dous números x e y e resulta no produto deles, xy.

En base ao xeito en que se especifica unha función, esta pode chamarse función explícita (exemplo de riba) ou función implícita, como en

Función implícita

que implicitamente especifica a función

Función explícita

Vimos que a noción intuitiva de funcións non se limita a computacións usando apenas números e tampouco se limita a computacións; a noción matemática de funcións é máis xeral e non se limita tampouco a situacións que inclúan números. En vez diso, unha función liga un "dominio" (conxunto de valores de entrada) cun segundo conxunto o "contra- dominio" (ou codominio) de tal forma que a cada elemento do dominio está asociado exactamente un elemento do contra-dominio, o conxunto dos elementos do contra-dominio que son relacionados pola f a algún x do dominio, chámase "conxunto-imaxe" ou "imaxe" . As funcións defínense abstractamente por certas relacións, como veremos mais adiante. Por causa da súa xeneralización, as funcións aparecen en moitos contextos matemáticos, e moitos campos da matemática baséanse no estudo de funcións.

Pode notarse que as palabras "función","aplicación", "transformación", "mapeado", "mapear" son xeralmente usadas como sinónimos.

Latitude

Latitude é un termo usado na xeografía e cartografía. No globo terrestre, é o ángulo que establece, co plano do ecuador terrestre, un raio que vaia dun determinado observador ou lugar ao centro da Terra. Na Liña do Ecuador a latitude é de 0º, no polo Norte é 90º (indicado 90º N) e no polo Sur é -90º (indicado 90ºS). Así, as latitudes positivas, 'por riba' do ecuador, corresponden ó hemisferio norte (chamado tamén hemisferio boreal), e as negativas, 'por baixo' do ecuador, ó hemisferio sur (ou austral).

Lonxitude (cartografía)

O termo lonxitude úsase en xeografía e cartografía para indicar, no globo terrestre, a distancia medida en graos de calquera punto da superficie terrestre ata ao Meridiano de Greenwich.

Lóxica

A lóxica, termo con orixe no grego λογική logos, 'razón', 'palabra', é a parte da filosofía e das matemáticas que se ocupa dos razoamentos expresados lingüisticamente. Estuda a súa estrutura, a súa forma e a súa corrección e establece cando un razoamento está ben construído e podemos, polo tanto, asegurar a validez da súa conclusión.

Así como o obxecto de estudo tradicional da química é a materia, e o da bioloxía a vida, o da lóxica é a inferencia. A inferencia é o proceso polo cal se derivan conclusións a partir de premisas. A lóxica investiga os principios polos cales algunhas inferencias son aceptables, e outras non. Cando unha inferencia é aceptable, éo pola súa estrutura lóxica, e non polo contido específico do argumento ou a linguaxe utilizada. Por esta razón a lóxica considérase unha ciencia formal, como a matemática, no canto dunha ciencia empírica.

A lóxica tradicionalmente foi considerada unha rama da filosofía. Pero desde finais do século XIX, a súa formalización simbólica demostrou unha íntima relación coas matemáticas, e deu lugar á lóxica matemática. No século XX a lóxica pasou a ser principalmente a lóxica simbólica, un cálculo definido por símbolos e regras de inferencia, o que permitiu a súa aplicación á informática. Até o século XIX, a lóxica aristotélica e estoica mantiveron sempre unha relación cos argumentos formulados en linguaxe natural. Por iso, aínda que eran formais, non eran formalistas. Hoxe esa relación trátase baixo un punto de vista completamente diferente. A formalización estrita mostrou as limitacións da lóxica tradicional ou aristotélica, que hoxe se interpreta como unha parte pequena da lóxica de clases.

Matemático

Un matemático é unha persoa cuxa área primaria de estudo e investigación é a matemática. Deste xeito, os que unicamente aplican teorías matemáticas non son considerados matemáticos, por exemplo, enxeñeiros, economistas etc.

Os matemáticos son empregados en compañías privadas ou como profesores en universidades, institutos, organizacións de investigación ou axencias do goberno. Para pór un exemplo, nos Estados Unidos o principal empregador de matemáticos é a Axencia de Seguridade Nacional.

Debido a que a matemática é útil en varias áreas, moitos matemáticos están involucrados coa física e a informática.

Mathematics Genealogy Project

Mathematics Genealogy Project (en galego: Proxecto de xenealoxía de matemáticas) é unha base de datos en liña para a xenealoxía académica das matemáticas. Contén dende 2007 información de datas de gradación, alma máter, supervisores doutorais e estudantes doutorais de máis de 100 000 matemáticos.

Número real

En matemáticas, o conxunto dos números reais (denotado por ) inclúe tanto aos números racionais (positivos, negativos e o cero) como aos números irracionais; e noutro enfoque, transcendentes e alxébricos. Os irracionais e os transcendentes (1970) non se poden expresar mediante unha fracción de dous enteiros con denominador non nulo; teñen infinitas cifras decimais aperiódicas, tales como: √5, π, o número real log2, cuxa transcendencia foi enunciada por Euler no século XVIII.

Os números reais poden ser descritos e construídos de varias formas, algunhas simples aínda que carentes do rigor necesario para os propósitos formais de matemáticas e outras máis complexas pero co rigor necesario para o traballo matemático formal.

Durante os séculos XVI e XVII o cálculo avanzou moito aínda que carecía dunha base rigorosa, debido a que no momento prescindían do rigor e fundamento lóxico, tan esixente nos enfoques teóricos da actualidade, e usábanse expresións como «pequeno», «límite», «achégase» sen unha definición precisa. Isto levou a unha serie de paradoxos e problemas lóxicos que fixeron evidente a necesidade de crear unha base rigorosa para a matemática, a cal consistiu de definicións formais e rigorosas (aínda que certamente técnicas) do concepto de número real. Nunha sección posterior describiranse dúas das definicións precisas máis usuais actualmente: clases de equivalencia de sucesións de Cauchy de números racionais e cortaduras de Dedekind.

Semieixo maior

En matemáticas, o semieixe ou semieixo maior (tamén chamado semieixo maior ou eixo semimaior) dunha elipse é a metade do diámetro máis longo; o seu símbolo é a. En astronomía, é a distancia media dun obxecto que orbita ao redor doutro.

O semieixe maior é unha das características máis importantes dunha órbita, xunto co seu período orbital. Pode ser matematicamente probado que para un corpo orbitando, o semieixe maior representa a distancia media do corpo á fonte central gravitacional. Para os obxectos do Sistema Solar, o semieixe maior está relacionado co período da órbita pola terceira lei de Kepler, orixinalmente descrita como:

onde P é o período medido en anos, a é o semieixe maior medido en unidades astronómicas e k, unha constante de proporcionalidade.

Esta fórmula foi modificada por Newton ao desenvolver a súa teoría gravitatoria, expresándoa como:

onde G é a constante da gravitación universal, M é a masa do corpo central e m é a masa do corpo orbitando.

Superficie

En matemáticas, unha superficie é un obxecto topolóxico que, intuitivamente falando, é localmente "parecido" (homeomorfo) ao plano cartesiano , é dicir para cada punto P na superficie hai unha veciñanza de P na superficie que é homeomorfa a un disco aberto de e isto dános un sistema local de coordenadas contorna ao momento na superficie. Podemos chamar ao homeomorfismo local que vai da superficie a como carta e ao inverso (deste homeomorfismo) parametrización. Non sempre é posible parametrizar unha superficie cun único homeomorfismo local.

Exemplos: A esfera, o touro, o plano proxectivo, a botella de Klein, son instancias de superficies pechadas, é dicir sen fronteira.

Un disco (en ), un cilindro e a banda de Möbius son exemplos de superficies con fronteira.

Tamén as superficies se distinguen segundo sexan orientables ou non. Dise que unha superficie é non orientable se contén polo menos unha subsuperficie que é homeomorfa a unha banda de Möbius pechada. Caso contrario dise orientable.

Volume (magnitude)

O volume é a magnitude física que expresa a cantidade de espazo que ocupa un obxecto. A súa ecuación de dimensións é [V]=L3. A súa unidade no Sistema Internacional de Unidades é o metro cúbico (m3). Outra unidade moi empregada é o litro (l). Equivalencias: 1m3=1000l; 1l=10−3m3=1dm3

Xeometría

A xeometría (do grego γεωμετρία; palabra composta de γῆ ,geo, "terra", e μέτρον ,metron, "medida") é a rama das matemáticas concernente con cuestións de forma, tamaño, posición relativa de figuras, e coas propiedades do espazo. Os matemáticos que traballan no campo da xeometría chámanse xeómetras.

A xeometría desenvolveuse independentemente nun gran número de civilizacións antigas como un corpo de coñecemento práctico relacionado con lonxitudes, áreas e volumes, con elementos de ciencia matemática formal, polo menos a partir do século VI a.C. con Tales de Mileto. No século III a.C., Euclides axiomatizou a xeometría, este modelo coñecido como xeometría euclidiana estivo vixente durante moitos séculos.. Arquimedes ideou técnicas enxeñosas para calcular áreas e volumes que anticipaban en moitos puntos o cálculo integral moderno.

Durante o milenio e medio seguinte, a astronomía foi unha importante fonte de problemas xeométricos que contribuíron ao seu desenvolvemento, especialmente o establecemento da posición das estrelas e os planetas na esfera celeste e a descrición das relacións entre os movementos dos corpos celestes. Tanto a xeometría como a astronomía formaban parte do Quadrivium do mundo clásico, catro das sete artes liberais consideradas esenciais para a formación de cidadáns libres.

A introdución das coordenadas por René Descartes e o desenvolvemento concorrente da álxebra, marcan un novo estadio da xeometría no que as figuras xeométricas, como as curvas planas, podían representarse agora dun xeito analítico, é dicir, con funcións e ecuacións. Isto xogou un papel fundamental no nacemento do cálculo infinitesimal no século XVII. Ademais, a teoría da perspectiva mostrou que estaba máis relacionada coa xeometría que coas propiedades métricas das figuras, de feito, a perspectiva é a orixe da xeometría proxectiva. A disciplina da xeometría foi posteriormente enriquecida polo estudo da estrutura intrínseca dos obxectos xeométricos iniciado por Euler e Gauss e que levou á creación da topoloxía e a xeometría diferencial.

No tempo de Euclides non estaba clara a distinción entre o espazo físico e o espazo xeométrico. Desde o descubrimento no século XIX de xeometrías non euclidianas, o concepto de espazo sufriu transformacións radicais e xurdiu unha pregunta clave: cales son os espazos xeométricos que mellor se axustan ao espazo físico? Coa irrupción das matemáticas formais no século XX, mesmo o concepto de espazo (e punto, liña, plano) perdeu o seu contido intuitivo, de xeito que hoxe en día débese distinguir entre espazo físico, espazos xeométricos (nos que os conceptos de espazo, punto etc. aínda conservan o seu significado intuitivo) e espazos abstractos. A xeometría contemporánea considera variedades, espazos que son considerabelmente máis abstractos cos familiares espazos euclidianos, aos que só se asemellan a pequenas escalas. Estes espazos deben ser provistos con estruturas adicionais que permitan falar de lonxitude. A xeometría moderna está estreitamente relacionada coa física, exemplificada polos lazos existentes entre as variedades pseudoriemannianas e a teoría xeral da relatividade. Unha das máis novas teorías físicas, a teoría de cordas, ten tamén unha esencia moi xeométrica.

Mentres que a natureza visual da xeometría faina inicialmente máis accesíbel ca outras partes das matemáticas, tales como a álxebra e a teoría de números, a linguaxe xeométrica úsase tamén en contextos afastados da súa tradicional orixe euclidiana, como, por exemplo, na xeometría fractal e na xeometría alxébrica.

Área

Área é a extensión ou superficie comprendida dentro dunha figura (de dúas dimensións), expresada en unidades de medida denominadas superficiais. Para superficies planas o concepto é intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma de triángulos.

Con todo, para calcular a área de superficies curvas requírese introducir métodos de xeometría diferencial.

Para poder definir a área dunha superficie en xeral, que é un concepto métrico, tense que definir un tensor métrico sobre a superficie en cuestión: cando a superficie está dentro dun espazo euclídeo, a superficie herda unha estrutura métrica natural inducida pola métrica euclídea.

Matemáticas
Áreas
Divisións

Outras linguas

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.