Matemaatika

Matemaatika (sõna algallikas on vanakreeka väljend μαθηματική τέχνη (mathēmatikē téchnē; ligikaudne tähendus 'õppimise kunst')) on teadusharu, mis on välja kujunenud geomeetriliste kujundite uurimisest ja arvudega arvutamisel.

Matemaatikal puudub üldtunnustatud definitsioon. Tänapäeva matemaatika uurib põhiliselt abstraktseid matemaatilisi struktuure ja nende klasse, mille elementide omadused on määratletud postuleeritud aksioomidega. Uurimismeetodina kasutatakse deduktsiooni.

Egyptian A'h-mosè or Rhind Papyrus (1065x1330)
Rhindi papüürus Vana-Egiptusest

Hulgateooria raamistikus, saab öelda, et matemaatika uurib mitmesuguseid hulki – arvuhulki, punktihulki ehk kujundeid, funktsioonihulki jms. Peatähelepanu ei osutata seejuures hulkade sisulisele tähendusele, vaid nende elementide seostele ja omadustele.

Palju matemaatika mõisteid, näiteks arv, geomeetriline kujund ja funktsioon, on tekkinud tegelike hulkade, esemete või seoste kõrvutamisel ja võrdlemisel, kusjuures on jäetud kõrvale kõik need omadused, mis matemaatika seisukohast pole olulised. Näiteks arv 5 pole seoses ühegi tegeliku hulgaga, kuid teda saab seada vastavusse ühe käe sõrmedega, 5 õunaga jne. Kõigil sellistel hulkadel on elementide sisulisest tähendusest olenemata üks ühine omadus – nende elemente saab seada üksühesesse vastavusse.

Matemaatika eripära teiste teadustega võrreldes on, et matemaatikas ei saa pidada ühtki väidet (peale aksioomide ja definitsioonide) tõeseks, kui seda pole loogiliselt järeldatud varem teada olnud väiteist. Loogiline järeldamine on uute matemaatiliste tõdede saamise vahend.

Matemaatika on tekkinud eluliste vajaduste, näiteks aja- ja maamõõtmise, ehituse jms. nõudel. Nüüdisajal rakendatakse matemaatikat kõigil inimtegevuse aladel.

Matemaatika tekkejärk kestis 4. aastatuhandest 5. sajandini eKr. Sel perioodil sugenesid paljud praktilised, kuid veel süstematiseerimata eeskirjad mitmesuguste arvutuste sooritamise kohta (näiteks pindala ja ruumala arvutamiseks).

Teises järgus – elementaarmatemaatika perioodil, mis kestis 17. sajandini – kujunesid suured matemaatika harud, näiteks algebra, aritmeetika ja geomeetria. Sellesse ajajärku kuulub ka Eukleidese teos "Elemendid" (3. sajand eKr), mis koondas kõik tol ajal teada olnud geomeetriateadmised terviklikuks loogiliseks süsteemiks.

Kolmandaks järguks loetakse kõrgema matemaatika perioodi, mis kestis 19. sajandini. Siis olid kesksel kohal muutuja ja funktsiooni mõiste ning loodi kõverate ruumide geomeetriad (Lobatševski geomeetria ja Riemanni geomeetria).

Neljas ajajärk hõlmab nüüdisaegse matemaatika, millele on eriti iseloomulik laialdane arvutite kasutamine (arvutusmatemaatika). Selles järgus on tekkinud mitu uut matemaatikaharu, näiteks matemaatiline loogika, nüüdisaegne algebra ja funktsionaalanalüüs.

Disambig gray.svg  See artikkel räägib teadusharust; õppeaine kohta vaata artiklit Matemaatika (õppeaine)

Matemaatika ajalugu

Next.svg Pikemalt artiklis Matemaatika ajalugu

Kuigi peaaegu kõikides kultuurides on matemaatika algelisel tasemel toimib (loendatakse ja mõõtmine), on matemaatika edasiarendamine teada suhtelistelt vähestest kultuuridest ja ajastutest. Enne uusaega, mil teadmised hakkasid globaalselt levima, on matemaatika areng kirjalike dokumentide kaudu teada üksnes vähestest kohtadest. Kõige vanemad matemaatikaalased tekstid pärinevad Vana-Egiptuse Keskmisest riigist (Berliini papüürus, umbes 13. sajand eKr), Mesopotaamiast (kiilkirjatahvel Plimpton 322, umbes 19.–18. sajand eKr) ja Vana-Indiast (Sulbasuutrad, umbes 8.–6. sajand eKr). Kõik need tekstid puudutavad Pythagorase teoreemi, mis näib olemas üks vanemaid ja levinumaid matemaatika saavutusi pärast aritmeetika ja geomeetria põhialuseid.

Vana-Kreekas ning hellenismiaegses Egiptuses, Mesopotaamias ja Sürakuusas arenes matemaatika edasi.

Džainistlikud matemaatikud tegutsesid 4. sajandist eKr 2. sajandini pKr.

Esimesed tõendid Vana-Hiina matemaatikast on loendamissümbolid oraakliluudel, mis on dateeritud 14.–13. sajandisse eKr. Hani dünastia ajast pärinevad "Meresaare käsiraamat" ja "Üheksa peatükki matemaatikakunstist" (2. sajand eKr kuni 2. sajand pKr).

Matemaatika arenes oluliselt Indias 5. sajandist ning islamimaailmas alates 9. sajandist.

Enne renessansiaega arenes matemaatika puhangutena: intensiivne areng vaheldus seisakutega. Alates 16. sajandi matemaatilistest avastustest Itaalias on matemaatika hakanud arenema üha kiiremini.

Matemaatika arengu algetapp

On säilinud väga vanu joonistusi, mis annavad tunnistust matemaatika tundmisest ja aja mõõtmisest taevakehade järgi.

Ühest Lõuna-Aafrika koopast on leitud ookerkaljud, millele on 70 000 aastat tagasi uuristatud geomeetrilised kujundid. Aafrikast ja Prantsusmaalt on leitud nooremast kiviajast pärinevaid esemeid (dateeringud 35 000...20 000 aastat tagasi), mis annavad tunnistust aja mõõtmisest. On põhjust arvata, et loendamisega tegelesid naised, kes pidasid arvet oma menstruaaltsükli üle: näiteks on luule või kivile uuristatud 28, 29 või 30 kriipsu, millele järgneb teistsugune kriips. Loomakarjadega kokkupuutuvatel küttidel olid mõisted 'üks', 'kaks' jne ning ka 'null'.

Niiluse lätete piirkonnast Kongo DV kirdeosast on leitud nooremast kiviajast (umbes 20 000 aastat tagasi) pärinev Ishango luu. Ühe tõlgenduse järgi on sellel kujutatud algarve ja egiptuse korrutamist. Dünastiate-eelses Egiptuses 5. aastatuhandel eKr kujutati piltidena geomeetrilisi kehasid. On väidetud, et Egiptuse megaliidid 5. aastatuhandest eKr ning hiljem praeguse Inglismaa ja Šotimaa alal paiknevad megaliidid 3. aastatuhandest eKr kehastavad oma konstruktsiooni poolest ringjooni, ellipseid ja Pythagorase kolmikuid ning annavad võib-olla tunnistust ka aja mõõtmisest taevakehade liikumise järgi. Vana-Egiptuse ehitustehnoloogia umbes 2600 eKr annab tunnistust täpsest geodeesiast ning lubab oletada kuldlõike tundmist.

Vana-Egiptus

Tähtsamad säilinud allikad Vana-Egiptuse matemaatika kohta on Rhindi papüürus, Moskva papüürus ja nn nahkrull.

Muinasegiptlased kasutasid matemaatikat peamiselt praktiliste ülesannete lahendamiseks: näiteks töötasu arvutamiseks, leivaküpsetamiseks tarvisminevate teraviljahulkade arvutamiseks, pindala arvutamiseks. Nad tundsid nelja aritmeetika põhitehet, mille nad taandasid liitmisele, harilikke murde ning ühe tundmatuga võrrandite lahendamist.

Geomeetrias oskasid nad arvutada kolmnurkade, ristkülikute ja trapetsite pindala, tundsid arvu π ligikaudset väärtust (16/9)² ning oskasid arvutada ruudukujulise alusega tüvipüramiidi ruumala valemi V=(a²+ab+b²)h/3 järgi, kus a on aluse küljepikkus, b on äralõikamisel tekkinud tahu küljepikkus, h on tüvipüramiidi kõrgus ja V on tüvipüramiidi ruumala.

Vana-Egiptuses ei tuntud rangeid tõestusi, mis iseloomustavad hilisemat matemaatikat.

Vaata ka

Kirjandus

  • E.Robson, J.Stedall, The Oxford Handbook of The History of Mathematics, 2008, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921312-2

Välislingid

Alamklass

Alamklass on bioloogias taksonoomiline üksus või takson, mis järgneb mõnikord vahetult klassile.

Algoritm

Algoritm on sammsammuline tegevusjuhis, juhend, eeskiri mingi tegevuse sooritamiseks või eesmärgi saavutamiseks. Kõige sagedamini kasutatakse seda terminit matemaatilise ülesande lahendamiseks mõeldud eeskirja kohta. Algoritmi esitust mingis formaalses keeles, tavaliselt programmeerimiskeeles või masinakoodis, nimetatakse arvutiprogrammiks.

Sõna "algoritm" tuleb 9. sajandi araabia matemaatiku Muḩammad ibn Mūsā al-Khwārizmī hüüdnimest "al-Horazmi" ('horezmlane') tema sünnilinna, praeguses Usbekistanis asuva Hiiva tolleaegse nime järgi. Al-Horazmi tööd tõlgiti 12. sajandil ladina keelde ja autorinimeks märgiti Algorithmi. Selle töö kaudu jõudis Lääne-Euroopasse mitu võrrandite lahendamise eeskirja, mis kõik algasid fraasiga "Nõnda kõneles Algorithmi ...". Selle järgi hakatigi üksikasjalikke tegutsemisjuhiseid algoritmideks kutsuma.

Mittematemaatiliste algoritmidega puutume kokku iga päev, näiteks kokaraamatus olevad retseptid või sõbrale jäetud juhised kohtumispaika jõudmiseks. Algoritmid on ka koolis õpetatavad mitmekohaliste arvude kirjaliku liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise eeskirjad.

Esimesed katsed anda algoritmile matemaatiliselt range kuju tehti 1920. aastatel. Esmalt arvati, et formaliseerimiseks kõlbab lihtrekursiivne funktsioon. 1928 avaldas Wilhelm Ackermann näite funktsioonist, mis on algoritmiliselt arvutatav, kuid ei ole lihtrekursiivne. 1930. aastatel lõid Alonzo Church ja Stephen Kleene lambdaarvutuse. Sel ajal lõid ka Alan Turing ja Emil Leon Post Turingi masina ning Kurt Gödeli ja Jacques Herbrand võtsid kasutusele täisrekursiivse funktsiooni mõiste.

Astendamine

Astendamiseks nimetatakse matemaatilist tehet kahe arvuga: arvu nimetatakse astendajaks ehk eksponendiks ning arvu astendatavaks ehk astme aluseks. Kui on naturaalarv, siis tähendab astendamine võrdse teguri korrutamist:

Astendamise pöördtehted on juurimine ja logaritmimine.

Element (matemaatika)

Elemendiks nimetatakse matemaatikas üksteisest erinevaid objekte, mis moodustavad hulga.

Funktsioon (matemaatika)

Funktsioon ehk kujutus on matemaatikas binaarne seos, mis seob ühe hulga iga elemendi üheselt määratud elemendiga teisest hulgast (need kaks hulka võivad ka kokku langeda). Varem on funktsioonide all mõistetud peamiselt arvude hulkade vahelisi kujutusi.

Funktsiooni mõistel on keskne koht peaaegu kõikides matemaatika harudes ja kvantitatiivseid meetodeid kasutavates teadusharudes.

Funktsiooni mõistele on lähedased teisenduse ja operaatori mõiste.

Geomeetria

Geomeetria (kaudlaen vanakreeka sõnast γεωμετρία, mille algne tähendus on 'maamõõtmine') on matemaatika haru, mis tegeleb ruumisuhetega. Geomeetria peamisteks uurimisobjektideks on kujundid.

Hulgateooria

Hulgateooria on matemaatika haru, mis uurib hulkade üldisi omadusi, samuti järjestusi ja muid seoseid ning mõningaid muid valdkondi.

Matemaatika alused on hulgateooriaga tihedalt läbi põimunud.

Hulgateooria on üks moodsa matemaatika alustaladest. Kogu tänapäeva matemaatika sõnastatakse tavaliselt hulgateooria terminites ja enamik matemaatilisi objekte on defineeritav hulkadena.

Moodsa hulgateooria rajajateks loetakse Georg Cantorit ja Richard Dedekindi. Pärast nende nn naiivse hulgateooria paradokside avastamist (matemaatika aluste kriis) pakuti välja mitmeid aksiomaatilisi hulgateooriaid, mille seas on Zermelo-Fraenkeli hulgateooria, mis sisaldab valikuaksioomi, ja Von Neumanni-Bernaysi-Gödeli hulgateooria.

Hulk

Hulga mõiste on üks nüüdisaegse matemaatika põhimõisteid. Lihtsustatult öeldes on hulk eri objektide kogum. Objekte, mis hulga moodustavad (hulka kuuluvad), nimetatakse selle hulga elementideks, kusjuures hulk võib sisaldada nii lõpliku (sealhulgas ühe) või lõpmatu arvu elemente kui ka mitte ühtegi elementi.

Esimeste näidetena hulkadest tuuakse sageli füüsiliste objektide kogumeid: linnuparv, klassitäis õpilasi jne. Matemaatikas on hulkade elementideks enamasti matemaatilised objektid, näiteks arvud, kuid hulki võib põhimõtteliselt moodustada mis tahes objektidest. Siiski peab olema täidetud kaks olulist tingimust: hulga elemendid on omavahel eristatavad ja iga objekti puhul peab olema võimalik üheselt otsustada, kas ta kuulub vaadeldavasse hulka või mitte.

Hulga elementideks võivad olla ka teised hulgad. Hulga element ja hulk ise on aga erinevad objektid[a], mistõttu pole hulk kunagi iseenda elemendiks. Seetõttu ei saa rääkida ka kõikide hulkade hulgast, sest selline hulk peaks sisaldama ka iseennast. Selle asemel räägitakse kõikide hulkade klassist või kõikide hulkade kogumist.Mõnikord nimetatakse hulki ka kogumiteks või süsteemideks. Viimast väljendit kasutatakse enamasti juhul, kui räägitakse hulgast, mille elemendid on hulgad (vt hulkade süsteem).

Hüpotees

Hüpotees on oletus.

Kitsamas mõttes mõistetakse hüpoteesi all teaduslikku oletust, mille tõesus ei ole kindlaks tehtud.

Martinus Veltman

Martinus Justinus Godefriedus Veltman (sündinud 27. juunil 1931 Waalwijkis) on hollandi füüsik. Aastal 1999 sai ta koos oma endise õpilase Gerardus 't Hooftiga Nobeli füüsikaauhinna.

Martinus Veltman alustas 1948 matemaatika- ja füüsikaõpinguid Utrechti Ülikoolis. Ta kaitses 1963 doktorikraadi teoreetilises füüsikas ja sai 1966 Utrechti Ülikooli professoriks. 1981. aastal suundus ta tööle Michigani Ülikooli Ann Arboris. Praegu on ta Michigani Ülikooli emeriitprofessor.

Tema auks on nimetatud asteroid 9492 Veltman.

Matemaatik

Matemaatik on teadlane, kes lahendab matemaatika probleeme.

Matemaatiline loogika

Matemaatiline loogika ehk sümbolloogika on matemaatika haru, mis uurib matemaatilisi tõestusi ja matemaatika aluseid. Matemaatilisele loogikale vastandatakse traditsioonilist loogikat.

Matemaatiline loogika esitab väiteid ja arutlusi formaliseeritud kujul, kasutades kunstlikke formaalseid keeli. Selle valdkonnaga tegelevad nii filosoofia kui ka matemaatika. 20. sajandi alguses püüdsid Gottlob Frege, Bertrand Russell ja teised filosoofid näidata, et matemaatikat saab taandada sümbolloogikale. See küll ei õnnestunud, kuid vastavad loogika-alased uuringud on muutnud tänapäeva formaalse loogika üpris matemaatikasarnaseks.

Mõõde

Matemaatikas on ruumi mõõde ehk dimensioon lihtsamal juhul koordinaatide arv, mis on vajalik punkti asukoha määramiseks selles ruumis. Keerukamatel juhtudel on kasutusel keerukamad mõõtme definitsioonid.

Mõõtme mõistet kasutatakse ka füüsikas, kus viimane sarnaneb väga vastavate matemaatiliste konstruktsioonidega.

Parajasti siis, kui

"Parajasti siis, kui" ja "siis ja ainult siis, kui" on loomuliku keele väljendid, millega loogikas, matemaatikas, filosoofias ja nende rakendustes väljendatakse loogilist ekvivalentsi.

Nende väljenditega tähistatakse matemaatikas piisavuse ja tarvilikkuse koosesinemist ning neid kasutatakse teoreemi A ⇒ B ja selle pöördteoreemi B ⇒ A ühendava teoreemi A ⇔ B sõnastamisel: "A parajasti siis, kui B".

Pindala

Pindala on pinna (või pinna üldistuse) või selle osa teatavat mõõtu väljendav arv.

Saab rääkida kas pinna või selle osa pindalast matemaatikas, mida väljendab tavaliselt mittenegatiivne reaalarv, või füüsilise keha pinna või selle osa pindalast, mida mõõdetakse pindala mõõtühikuga (SI-süsteemis ruutmeeter). Väga sageli räägitakse mingi territooriumi pindalast.

Pseudonüüm

Pseudonüüm ehk varjunimi on isiku kodanikunime asemel kasutatav teine nimi või nimemärk.

Sageli eelistavad pseudonüüme kasutada teatri- või filminäitlejad, lauljad, kirjanikud, kunstnikud, poliitikud. Varjunime kasutavad ka luureagendid, põrandaaluste organisatsioonide liikmed, kurjategijad jms. Pseudonüümid on laialdaselt kasutusel ka internetikeskkonnas.

Pseudonüüm võib olla ka kollektiivne, ühine mitmele autorile, isikule vmt. Näiteks kirjanike Bernhard Lülle ja Iko Marani ühine pseudonüüm oli Lall Kahas. Pariisi École Normale Supérieure'i noortest lõpetanutest väljakasvanud matemaatikute rühm koostas matemaatika põhialuste paljuköitelise aksiomaatilise esituse "Matemaatika elemendid", kasutades kollektiivset pseudonüümi Nicolas Bourbaki.

Pseudonüümiks võib olla ka mingi sümbol. Näiteks Prince kasutas oma elu lõpus pseudonüümina väljamõeldud "armastuse sümbolit", mida polnud võimalik hääldada.

Kui naised võtavad varjunimeks mehenime, nimetatakse seda pseudoandronüümiks. Seda tehti rohkem nendel aegadel, kui naise avalikku esinemist peeti sobimatuks.

Näiteks:

Hans = Anna Haava

Heiti Lehtme = Alide Ertel

Juhani Tervapää = Hella Wuolijoki

Felix Tuli = Hella Wuolijoki

Idrek Paas = Kersti Sang-Merilaas

George Sand = Armandine Aurore Lucile Duplin

George Eliot = Mary Ann EvansKui mehed võtavad pseudonüümiks naisenime, nimetatakse seda pseudogünüümiks.

Näiteks:

Mari = Jakob Liiv

Anni Paluoja = Jaan Vahtra

Liidi = Mart Pukits

Tiibuse Mari = August Kitzberg

Tiiu Tasane = Eduard Vilde

Punkt (matemaatika)

Punkt on elementaargeomeetrias objekt, mida näitlikustatakse mõõtmeteta ruumiosana. Geomeetria aksiomaatilises käsitluses on punkt üks algmõisteid.

Mis tahes meetrilise ruumi või üldiselt topoloogilise ruumi elemente nimetatakse punktideks.Geomeetrias nimetatakse hulka, mille elementideks on punktid, punktihulgaks või ka kujundiks.

Tartu Ülikooli füüsika instituut

TÜ Füüsika Instituut on Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna instituut.

Instituut loodi 1946. aastal kui Eesti NSV Teaduste Akadeemia Füüsika, Matemaatika ja Mehaanika Instituut (FMMI).Aastal 1952 nimetati ta ümber Füüsika ja Astronoomia Instituudiks (FAI). Aastal 1973 pooldus FAI Astrofüüsika ja Atmosfäärifüüsika Instituudiks Tõraveres (AAI, nüüdne Tartu Observatoorium) ja TA Füüsika Instituudiks (FI) Tartus. FI ühines Tartu Ülikooliga aastal 1997. 2008. aastal ühines Füüsika Instituut füüsika-keemiateaduskonna füüsika osakonnaga ning sai instituudiks loodus- ja tehnoloogiateaduskonna koosseisus. 2016. aastast, seoses ülikooli struktuurimuutustega, on Füüsika Instituut Tartu Ülikooli loodus- ja täppisteaduste valdkonna koosseisus.Instituudi direktorid on olnud:

1947–1950 Arnold Humal (FMMI)

1950–1973 Aksel Kipper (FMMI, FAI)

1973–1976 Karl Rebane (FI)

1976–1981 Harry Õiglane (FI)

1981–1988 Peeter Saari (FI)

1988–1994 Arvi Freiberg (FI)

1994–2002 Kristjan Haller (FI, TÜFI)

2002–2009 Ergo Nõmmiste

2009–2012 Marco Kirm

2013–2017 Jaak Kikas

2018– Toomas Plank

Tõenäosus

Tõenäosus on tulevaste sündmuste toimumise või väidete tõesuse ebakindluse mõõt.

Teistes keeltes

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.