Μαθηματικά

Τα Mαθηματικά είναι η επιστήμη που μελετά θέματα που αφορούν την ποσότητα (αριθμούς),[2] τη δομή (γεωμετρικά σχήματα),[3] το χώρο,[2] τη μεταβολή,[4][5] τις σχέσεις όλων των μετρήσιμων αντικειμένων της πραγματικότητας και της φαντασίας μας, καθώς επίσης, σύμφωνα με ορισμένους ερευνητές, και μερικά άλλα που δεν είναι γενικώς δεκτά ότι πρέπει να περιλαμβάνονται στον ορισμό των μαθηματικών.[6][7][8]

Euclid
Ευκλείδης: Έλληνας μαθηματικός, 3ος αιώνας π.Χ., όπως εικονίζεται από το Ραφαήλ στη λεπτομέρειά του από τον πίνακα Scuola di Atene (Η Σχολή των Αθηνών).[1]

Το πεδίο έρευνας των μαθηματικών

Οι Μαθηματικοί περιγράφουν τις σχέσεις[9][10] με τύπους ή και αλγόριθμους και ερευνούν την αλήθεια τους με αποδεικτική διαδικασία λογικών βημάτων που στηρίζονται σε αξιώματα και θεωρήματα.

Οι μαθηματικοί ερευνούν αυτές τις δομές[11][12] και προσπαθούν να σχηματίζουν υποθέσεις και να εξακριβώνουν την αλήθεια ή το ψεύδος τους μέσω αυστηρών κανόνων συνεπαγωγής και έχοντας ως βάση ορισμένα αξιώματα και ορισμούς. Η έρευνα που απαιτείται για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων μπορεί να πάρει χρόνια ή ακόμα και αιώνες συνεχούς έρευνας. Μετά την πρωτοποριακή δουλειά του Τζουζέπε Πεάνο, του Ντέιβιντ Χίλμπερτ και άλλων για τα συστήματα αξιωμάτων στα τέλη του 19ου αιώνα, έχει καταστεί εθιμικό δίκαιο η οπτική της μαθηματικής έρευνας της επικρατούσας αλήθειας με αυστηρή επαγωγή από κατάλληλα επιλεγμένα αξιώματα και ορισμούς. Όταν οι μαθηματικές δομές είναι καλά μοντέλα των πραγματικών φαινομένων, τότε η μαθηματική λογική μπορεί να παράσχει πληροφορίες ή προβλέψεις για τη φύση. Οι δομές που ερευνώνται συχνά έλκουν την προέλευσή τους από τις φυσικές επιστήμες, συνηθέστερα από την φυσική, αλλά οι μαθηματικοί επίσης ορίζουν και ερευνούν δομές για λόγους καθαρά εσωτερικούς στα μαθηματικά, επειδή οι δομές αυτές μπορούν να παρέχουν, παραδείγματος χάριν, μια ενοποιητική γενίκευση για διάφορα υποπεδία, ή ένα χρήσιμο εργαλείο για τον λογισμό. Τελικά, πολλοί μαθηματικοί μελετούν τα μαθηματικά για καθαρά αισθητικούς λόγους, αντιμετωπίζοντας τα ως μια μορφή τέχνης περισσότερο παρά ως μια πρακτική ή εφαρμοσμένη επιστήμη.

Μέσω της χρήσης της αφαίρεσης και της λογικής σκέψης, τα μαθηματικά αναπτύχθηκαν από την καταμέτρηση, τον υπολογισμό, τη μέτρηση, και την συστηματική μελέτη των σχημάτων και των κινήσεων των φυσικών αντικειμένων. Πρακτικά τα μαθηματικά ήταν πάντα μια ανθρώπινη δραστηριότητα όπως άλλωστε δείχνουν και οι αρχαιότερες από τις γραπτές μαρτυρίες που υπάρχουν. Ωστόσο, τα αυστηρά επιχειρήματα εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στα ελληνικά μαθηματικά, κυρίως στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Τα Μαθηματικά αναπτύσσονταν με σχετικά αργούς ρυθμούς μέχρι την Αναγέννηση, όταν μαθηματικές καινοτομίες που άρχισαν να αλληλεπιδρούν με τις νέες επιστημονικές ανακαλύψεις σε άλλα πεδία, οδήγησαν πλέον σε ραγδαία αύξηση του ρυθμού των μαθηματικών ανακαλύψεων που συνεχίστηκε μέχρι σήμερα.

Ορισμοί των Μαθηματικών

Ο Γαλιλαίος Γαλιλέι είπε: «Το σύμπαν δεν μπορεί να διαβαστεί παρά μόνο αφού μαθευτεί η γλώσσα του και έχει γίνει εξοικείωση με τους χαρακτήρες με τους οποίους η γλώσσα του είναι γραμμένη. Η γλώσσα του είναι η μαθηματική γλώσσα, και τα γράμματα είναι τρίγωνα, κύκλοι και άλλα γεωμετρικά σχήματα, χωρίς τα οποία συνεπώς είναι ανθρωπίνως αδύνατο να κατανοηθεί έστω και μια λέξη. Χωρίς αυτά, κάποιος (που ασχολείται με την έρευνα για το σύμπαν) είναι σαν να περιπλανιέται σε ένα σκοτεινό λαβύρινθο».[13] Ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους αναφέρεται στα Μαθηματικά ως «η βασίλισσα των επιστημών». O Μπέντζαμιν Πιρς ονόμασε τα μαθηματικά ως «...την επιστήμη που σχεδιάζει απαραίτητα συμπεράσματα»[14]. Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ είπε για τα μαθηματικά: «Δεν μιλάμε εδώ σε καμμιά λογική για αυθαιρεσίες. Τα Μαθηματικά δεν είναι σαν ένα παιχνίδι στο οποίο τα καθήκοντα μπορούν να καθορίζονται από τους κανόνες που ορίζονται αυθαίρετα. Μάλλον, είναι ένα εννοιολογικό σύστημα το οποίο έχει εσωτερική ανάγκη που δεν μπορεί παρά να είναι έτσι και σε καμία περίπτωση το αντίθετο».[15] Ο Άλμπερτ Αϊνστάιν δήλωσε ότι «...όσο οι νόμοι των μαθηματικών αναφέρονται στην πραγματικότητα, δεν είναι σίγουροι. Και στο μέτρο που είναι βέβαιοι, δεν αναφέρονται στην πραγματικότητα».[16] Πιο πρόσφατα ο Μάρκους ντου Σατόυ ονόμασε τα Μαθηματικά: «...η Βασίλισσα των Επιστημών...η κύρια οδηγήτρια δύναμη πίσω από την επιστημονική ανακάλυψη».[17]

Τα Μαθηματικά χρησιμοποιούνται σε όλο τον κόσμο ως ένα απαραίτητο εργαλείο σε πολλούς τομείς, συμπεριλαμβανομένης της φυσικής επιστήμης, της μηχανικής, της ιατρικής, καθώς και τις κοινωνικές επιστήμες. Τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά, είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με την εφαρμογή της μαθηματικής γνώσης σε άλλους τομείς, εμπνέεται από τη μαθηματική σκέψη και κάνει χρήση των νέων μαθηματικών ανακαλύψεων, που έχουν οδηγήσει στην ανάπτυξη εντελώς νέων τομέων των μαθηματικών, όπως η στατιστική και η θεωρία παιγνίων. Οι μαθηματικοί ασχολούνται και με τα λεγόμενα Καθαρά ή Θεωρητικά Μαθηματικά, ή μαθηματικά χωρίς εξωτερική αιτία, δηλαδή ασχολούνται με τα μαθηματικά καθ' εαυτά, χωρίς να έχουν καμία πραγματική εφαρμογή υπόψη. Δεν υπάρχει βέβαια καμιά σαφής διαχωριστική γραμμή μεταξύ καθαρών και εφαρμοσμένων μαθηματικών, καθώς και πρακτικές εφαρμογές ξεκίνησαν από έρευνα που ξεκίνησε ως καθαρά μαθηματικά, αλλά και καθαρά μαθηματικά προέκυψαν τελικά από τις πρακτικές εφαρμογές. Επομένως τα δυο αυτά είδη μαθηματικών ουσιαστικά αλληλοεπικαλύπτονται[18].

Ετυμολογία

Η λέξη μαθηματικά (mathematics) προέρχεται διεθνώς από την ελληνική γλώσσα, και συγκεκριμένα από τον (αρχαίο) πληθυντικό του ουδετέρου του επιθέτου μαθηματικός < μάθημα < μανθάνω, μαθαίνω, αποκτώ (με μελέτη) γνώσεις, γνώση, παιδεία, εμπειρία. Στην Ελλάδα, η λέξη «μαθηματικά» έφτασε να έχει στενότερη και πιο τεχνική σημασία εννοώντας τη «μελέτη των μαθηματικών» (με τη σημερινή έννοια του όρου), ακόμη και από την Κλασική Εποχή[19]. Σήμαινε η μάθηση της τέχνης των μαθηματικών.

Στα λατινικά και στα αγγλικά γύρω στα 1700, ο όρος «mathematics» πιο συχνά σήμαινε αστρολογία ή μερικές φορές αστρονομία, παρά μαθηματικά με τη σύγχρονη έννοια του όρου. Το γεγονός αυτό είχε ως αποτέλεσμα πολλές λανθασμένες μεταφράσεις και παρανοήσεις, με πιο ιδιαίτερο παράδειγμα τη διαβόητη προειδοποίηση του Αγίου Αυγουστίνου ότι οι χριστιανοί θα πρέπει «να προσέξουν τη μαθηματική έννοια», και ενώ αναφέρει τα μαθηματικά με την αστρολογική έννοια της εποχής και στην ουσία καταδικάζει την αστρολογία, μπορεί μερικές φορές η φράση να παρερμηνευθεί και να θεωρήσει κανείς πως ο άγιος καταδικάζει τα μαθηματικά, με τη σημερινή έννοια του όρου.

Ο εμφανιζόμενος πληθυντικός στα αγγλικά, όπως και στα γαλλικά «les mathématiques» και το λιγότερο χρησιμοποιουμενο παράγωγο στον ενικό «la mathématique», πηγαίνει πίσω στο ουδέτερο πληθυντικό στη Λατινική «mathematica» (Κικέρων), με βάση τον ελληνικό πληθυντικό «τα μαθηματικά», που χρησιμοποιείται από τον Αριστοτέλη και σημαίνει περίπου «όλα τα πράγματα μαθηματικά», αν και είναι πιθανό ότι η αγγλική να δανείστηκε αρχικά μόνο το επίθετο «mathematical» και να σχηματίστηκε εκ νέου το ουσιαστικό «mathematics», κατά τα πρότυπα των λέξεων φυσική (physics) και μεταφυσική (metaphysics), που κληρονόμησε απευθείας από την ελληνική γλώσσα[20]. Στα αγγλικά, τα μαθηματικά ουσιαστικό παίρνει ρηματικούς τύπους στον ενικό αριθμό. Συχνά συντομεύεται σε «maths», ή ακόμη, κυρίως στην αγγλόφωνη Βόρεια Αμερική, σε «math»[21].

Ιστορία των μαθηματικών

Kapitolinischer Pythagoras adjusted
Ο Έλληνας μαθηματικός Πυθαγόρας (~570 π.Χ. - 495 π.Χ.), στον οποίο αποδίδεται το ομώνυμο θεώρημα.
Euclid-proof
Μια απόδειξη από τα Στοιχεία Ευκλείδη, που θεωρείται ευρέως ως το έργο που έχει έχει επηρεάσει όσο κανένα άλλο την επιστημονική σκέψη διαχρονικά.[22]
Maya
Αρίθμηση των Μάγιας.
GodfreyKneller-IsaacNewton-1689
Ο Σερ Ισαάκ Νεύτων (16431727), θεμελιωτής, μαζί με τον Γκότφριντ Λάιμπνιτς, του ολοκληρωτικού λογισμού.

Η περιοχή μελέτης που είναι γνωστή ως «ιστορία των μαθηματικών» είναι πρωτίστως μια έρευνα στις αρχές των ανακαλύψεων στα μαθηματικά και σε μικρότερο βαθμό μια έρευνα στις μαθηματικές μεθόδους και στους μαθηματικούς συμβολισμούς του παρελθόντος.

Η μελέτη της δομής, που θεματοποιείται σήμερα στα πλαίσια της άλγεβρας, προέκυψε κυρίως από τις ανάγκες εμπορικών υπολογισμών και ξεκίνησε με την πρακτική αριθμητική, δηλαδή με τους φυσικούς αριθμούς και τις τέσσερις βασικές αριθμητικές πράξεις, καθώς και με την επίλυση απλών γραμμικών εξισώσεων. Γενικότερες ιδιότητες των αριθμών θα εξεταστούν αργότερα από τη θεωρία αριθμών, ενώ οι γραμμικές εξισώσεις θα μελετηθούν στα πλαίσια της γραμμικής άλγεβρας.

Πριν από την σύγχρονη εποχή και την παγκόσμια διάδοση της γνώσης, γραπτά παραδείγματα νέων μαθηματικών εξελίξεων έχουν έρθει στο φως μόνο σε μερικά τοπικά σύνολα. Η μελέτη του χώρου και του σχήματος, που ξεκίνησε από αστρονομικές παρατηρήσεις (Βαβυλώνιοι) ή και από μετρήσεις εμβαδών (Αιγύπτιοι), θεμελιώθηκε ήδη νωρίς στη γεωμετρία του Ευκλείδη. Το έργο του Ευκλείδη υπήρξε ίσως ο πρώτος μεγάλος σταθμός στην ιστορία των μαθηματικών, καθώς εισήγαγε την αξιωματική μέθοδο, η οποία δεν εγκατέλειψε από τότε ποτέ τα μαθηματικά. Ακόμη, οι κατασκευές με κανόνα και διαβήτη -βασική αποδεικτική μέθοδος και στον Ευκλείδη- απασχόλησαν τους μαθηματικούς για πολύ καιρό: ο τετραγωνισμός του κύκλου, ο διπλασιασμός του κύβου και η τριχοτόμηση της γωνίας, αποδείχτηκε μόλις το 19ο αιώνα ότι δεν μπορούν να επιτευχθούν με αυτήν τη μέθοδο. Τέλος την ίδια περίπου περίοδο, το περίφημο αξίωμα της παραλληλίας, ή αλλιώς «πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη», στάθηκε η αφορμή να δημιουργηθούν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ και τον Νικολάι Λομπατσέφσκι. Τα πιο αρχαία μαθηματικά κείμενα που είναι διαθέσιμα είναι τα Βαβυλωνιακά Μαθηματικά (πινακίδα Plimpton 322, ~1900 π.Χ.),[23] και τα Αιγυπτιακά Μαθηματικά (ο Πάπυρος Μαθηματικών Rhind, ~2000-1800 π.Χ.[24] και ο Πάπυρος Μαθηματικών Μόσχας ~ 1890 π.Χ.). Όλα αυτά τα κείμενα περιλαμβάνουν το αποκαλούμενο Πυθαγόρειο Θεώρημα, που φαίνεται να είναι η πιο αρχαία και διαδεδομένη μαθηματική εξέλιξη μετά τη βασική Αριθμητική και Γεωμετρία.

Ωστόσο, η μελέτη των Μαθηματικών ως ένα αυτοτελές πεδίο άρχισε πράγματι τον 6ο αιώνα π.Χ. με τη Σχολή των Πυθαγορείων, που πιστώνονται και τον όρο «Μαθηματικά», από την αρχαία ελληνική λέξη «μάθημα», που σημαίνει «πεδίο μάθησης»[25]. Οι αρχαίοι Έλληνες Μαθηματικοί σε μεγάλο βαθμό εξευγένισαν τις μεθόδους (κυρίως μέσω της εισαγωγής της επαγωγικής λογικής και της μαθηματικής ακρίβειας στις αποδείξεις) και επέκτειναν το πεδίο της ύλης των Μαθηματικών.[26] Οι αρχαίοι Κινέζοι μαθηματικοί έκαναν επίσης από νωρίς κάποιες συνεισφορές στο πεδίο των μαθηματικών, συμπεριλαμβάνοντας ένα σύστημα τοπογραφικής αξιολόγησης.[27][28] Το ινδοαραβικό σύστημα αρίθμησης και οι κανόνες χρήσης των πράξεών του, που βρίσκεται σε χρήση παγκοσμίως σύστημα, πιθανώς να αναπτύχθηκε κατά την 1η χιλιετία π.Χ. στην Ινδία και μεταδόθηκε στη Δύση μέσω των Ισλαμικών μαθηματικών.[29][30] Οι ίδιοι οι ισλαμικοί μαθηματικοί, με τη σειρά τους, ανέπτυξαν, επέκτειναν και διέδωσαν τα μαθηματικά μεταξύ των αυτών των πολιτισμών.[31] Πολλά ελληνικά και αραβικά κείμενα μεταφράστηκαν στα Λατινικά, γεγονός που οδήγησε σε παραπέρα ανάπτυξη των Μαθηματικών στη Μεσαιωνική Ευρώπη.

Από την Αρχαία Εποχή και μέσω του Μεσαίωνα, εκρήξεις μαθηματικής δημιουργικότητας συχνά ακολουθήθηκαν από αιώνες στασιμότητας. Με την έναρξη της Αναγέννησης στην Ιταλία κατά το 16ο αιώνα, εμφανίστηκε μια νέα μαθηματική ανάπτυξη, αλληλεπιδρώντας με τις νέες επιστημονικές ανακαλύψεις στα υπόλοιπα επιστημονικά πεδία, η οποία ουσιαστικά συνεχίζεται, και μάλιστα επιταχυνόμενη, ως τις μέρες μας.

Η πρωτοκαθεδρία της ευκλείδειας γεωμετρίας αρχίζει να φθίνει μετά την ανακάλυψη του ολοκληρωτικού λογισμού από τον Ισαάκ Νιούτον και τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 17ο αιώνα. Το ενδιαφέρον των μαθηματικών στρέφεται στην έννοια της μεταβολής, της απόστασης και της προσέγγισης (όριο) και οδηγείται κυρίως από προβλήματα της φυσικής. Σύντομα θα αρχίσουν να αναπτύσσονται οι διάφοροι βασικοί κλάδοι της μαθηματικής ανάλυσης.

Προκειμένου να αποσαφηνιστούν τα θεμέλια των μαθηματικών και να διερευνηθούν οι σχέσεις φαινομενικά ασύνδετων κλάδων, άρχισε στα τέλη του 19ου αιώνα να αναπτύσσεται η Θεωρία συνόλων και η Μαθηματική λογική. Επίσης σε σύνδεση με προβλήματα κυρίως της φυσικής αναπτύσσεται ιδιαίτερα κατά τον 19ο και 20ο αιώνα ο κλάδος της Στατιστικής.

Σήμερα, οι βασικοί κλάδοι των μαθηματικών συνεχίζουν να αναπτύσσονται και να διακλαδίζονται περισσότερο, αλλά και πληθαίνουν οι εφαρμογές τους: στην Επιστήμη Υπολογιστών, τη Βιολογία, την Οικονομία, την Οικολογία κ.λπ, τα μαθηματικά παίζουν ολοένα και σημαντικότερο ρόλο.

Διάσημες μαθηματικές προτάσεις είναι το Πυθαγόρειο Θεώρημα, το Τελευταίο θεώρημα του Φερμά, η Υπόθεση του συνεχούς του Γκέοργκ Κάντορ, το Θεμελιώδες Θεώρημα της Άλγεβρας, το θεώρημα μη πληρότητας του Κουρτ Γκέντελ κ.ά., ενώ πολύ γνωστές εικασίες που μένουν να αποδειχτούν είναι μεταξύ άλλων η Υπόθεση του Ρήμαν, η Eικασία του Γκόλντμπαχ και η "P ≠ NP". Τα 23 προβλήματα του Νταβίντ Χίλμπερτ, διατυπωμένα στις αρχές του 20ου αιώνα, αν και σήμερα ως επί το πλείστον απαντημένα, έδωσαν νέες κατευθύνσεις στην μαθηματική έρευνα.

Μερικά από τα υψηλότερα βραβεία στα μαθηματικά είναι το μετάλλιο Fields, το βραβείο Abel και το βραβείο Wolf. Δεν υπάρχει Βραβείο Νόμπελ για τα μαθηματικά.

Κλάδοι των Μαθηματικών

Μπορούμε να κατηγοριοποιήσουμε χοντρικά τους επιμέρους κλάδους των μαθηματικών όπως παρακάτω, χωρίς να σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αλληλεπικαλύψεις μεταξύ διαφορετικών κατηγοριών.

Άλγεβρα

Η άλγεβρα είναι ο μαθηματικός κλάδος που ασχολείται γενικά με την έννοια της (αλγεβρικής) δομής.

Ιστορική ερμηνεία του όρου Άλγεβρα
Ταξινόμηση
Dewey512
MSC201008-03

Ειδικότερα η Άλγεβρα είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που μελετά τη δομή, σχέση, και την ποσότητα. Στοιχειώδης άλγεβρα είναι ο κλάδος που ασχολείται με την επίλυση των αριθμητικών εξισώσεων. Η Σύγχρονη ή αφηρημένη άλγεβρα έχει τις ρίζες της στη στοιχειώδη άλγεβρα και είναι επέκτασή της . Μερικοί ιστορικοί πιστεύουν ότι η αρχική μαθηματική έρευνα έγινε από τις τάξεις των ιερέων των αρχαίων πολιτισμών, όπως της Βαβυλώνας.[32] Η προέλευση της άλγεβρας μπορεί έτσι να αναχθεί στους αρχαίους Βαβυλώνιους μαθηματικούς περίπου τέσσερις χιλιάδες χρόνια πριν.

Ετυμολογία της λέξεως «άλγεβρα»

Η λέξη «άλγεβρα» προέρχεται από την αραβική λέξη Al-Jabr, όπως αναφέρεται σε κείμενο γραμμένο το 820 μ.Χ. από τον Πέρση μαθηματικό του μεσαίωνα, Αλ Χουαρίζμι, με τίτλο, στην αραβική γλώσσα, كتاب الجبر والمقابلة δηλαδή Kitāb al-muḫtaṣar fī ḥisāb al-ğabr wa-l-muqābala, η οποία μπορεί να μεταφραστεί ως "Συνοπτικό βιβλίο υπολογισμών με χρήση ολοκλήρωσης και εξισορρόπησης". Σε αυτό το κείμενο περιγράφεται μια συστηματική μέθοδος επίλυσης γραμμικών καθώς και δευτέρου βαθμού εξισώσεων. Η λέξη Al-Jabr χρησιμοποιήθηκε από τον Πέρση μαθηματικό για να περιγράψει τις πράξεις που εισήγαγε σε μια προσπάθεια επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.

Τομείς της άλγεβρας

Μαθηματική ανάλυση

Η μαθηματική ανάλυση είναι ο μαθηματικός κλάδος που ασχολείται γενικά με την έννοια της απόστασης.

Γεωμετρία

Η γεωμετρία είναι ο μαθηματικός κλάδος που ασχολείται γενικά με την έννοια του σχήματος.

Εφαρμοσμένα μαθηματικά

Καθιερωμένοι κλάδοι εφαρμοσμένων μαθηματικών είναι οι παρακάτω:

Διακριτά μαθηματικά

Στα διακριτά μαθηματικά μελετούνται συγκεκριμένα πεπερασμένες ή αριθμήσιμες δομές.

Θεμέλια των μαθηματικών

Κλάδοι που προσπαθούν να θεμελιώσουν και να ενοποιήσουν τα μαθηματικά είναι οι παρακάτω:

Μάθηση και κατανόηση εννοιών - κριτική

Στα μαθηματικά γίνεται κριτική πως η χρήση τους στη μάθηση με λάθος τρόπο καταλήγει στο να μην υπάρχει πραγματική σύνδεση με τις έννοιες που επιχειρούν να περιγράψουν, ορίζοντας το «απόλυτα σωστό» και αποτρέποντας την διερεύνηση και ανακάλυψη των σχέσεων που διέπουν τα φυσικά πράγματα. Στη μέθοδο διδασκαλίας που μετατρέπει τα μαθηματικά σε μια σειρά από τεχνικές και τύπους καταλογίζεται πως δεν επιτρέπει την πραγματική γνώση τους και με τη μορφή τους αυτή δεν δίνουν κανένα κίνητρο για μάθηση.

Η «στείρα» χρήση των μαθηματικών κατηγορείται πως αποκόπτει από το περιβάλλον, τη χρήση δηλαδή των αισθήσεων που δίνουν την επαφή με αντικείμενα και έννοιες που ευαισθητοποιούν και συνδέουν τη μάθηση με τη φύση και τη ζωή, με αποτέλεσμα τη στέρηση της δημιουργικότητας.

Τα μαθηματικά, με τον τρόπο που χρησιμοποιούνται για να περιγράφουν εξειδικευμένα τα πράγματα, «μένουν ταυτισμένα με πολύπλοκες και δυσνόητες “εξισώσεις”, κατάλληλες για να χρησιμοποιηθούν μόνο από λίγους “ειδικούς” για σκοπούς που οι περισσότεροι δεν καταλαβαίνουν».[33]

Δείτε ακόμη

Αναφορές και σημειώσεις

  1. Δεν έχουν βρεθεί περιγραφές της όψης του Ευκλείδη από την εποχή της ζωής του και επομένως η περιγραφή του βασίστηκε στην καλλιτεχνική φαντασία.
  2. 2,0 2,1 «mathematics, n.». Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. Ανακτήθηκε στις 16 Ιουνίου 2012. The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.
  3. Kneebone, G.T. (1963). Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover. σελίδες 4. ISBN 0486417123. Mathematics…is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.
  4. LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris (2011). Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning. σελίδες 2. ISBN 1439049572. Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.
  5. Ramana (2007). Applied Mathematics. Tata McGraw-Hill Education. σελ. 2.10. ISBN 0070667535. The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.
  6. Ziegler, Günter M. (2011). «What Is Mathematics?». An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer. σελίδες 7. ISBN 3642195326.
  7. Mura, Robert (Dec 1993). «Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences». Educational Studies in Mathematics 25 (4): 375–385.
  8. Tobies, Renate and Helmut Neunzert (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer. σελίδες 9. ISBN 3034802293. It is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.
  9. Steen, L.A. (April 29, 1988). The Science of Patterns. Science, 240: 611–616. and summarized at Association for Supervision and Curriculum Development.
  10. Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5.
  11. Steen, L.A. (April 29, 1988). The Science of Patterns Science, 240: 611–616. And summarized at Association for Supervision and Curriculum Development, www.ascd.org.
  12. Devlin, Keith, Mathematics: The Science of Patterns: The Search for Order in Life, Mind and the Universe (Scientific American Paperback Library) 1996, ISBN 978-0-7167-5047-5
  13. Marcus du Sautoy, A Brief History of Mathematics: 1. Newton and Leibniz, BBC Radio 4, 27/09/2010.
  14. Peirce, p. 97.
  15. Hilbert, D. (1919-20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919-1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), Basel, Birkhäuser (1992).
  16. Einstein, p. 28. The quote is Einstein's answer to the question: "how can it be that mathematics, being after all a product of human thought which is independent of experience, is so admirably appropriate to the objects of reality?" He, too, is concerned with The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences
  17. Marcus du Sautoy, A Brief History of Mathematics: 10. Nicolas Bourbaki, BBC Radio 4, 01/10/2010.
  18. Peterson
  19. Both senses can be found in Plato. Liddell and Scott, s.voceμαθηματικός
  20. The Oxford Dictionary of English Etymology, Oxford English Dictionary, sub "mathematics", "mathematic", "mathematics"
  21. "maths, n." and "math, n.3". Oxford English Dictionary, on-line version (2012).
  22. (Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119)
  23. J. Friberg, "Methods and traditions of Babylonian mathematics. Plimpton 322, Pythagorean triples, and the Babylonian triangle parameter equations", Historia Mathematica, 8, 1981, pp. 277—318.
  24. Neugebauer, Otto (1969) [1957]. The Exact Sciences in Antiquity (2 έκδοση). Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2. Chap. IV "Egyptian Mathematics and Astronomy", pp. 71–96.
  25. Sir Thomas Little Heath (1963). A Manual of Greek Mathematics. Mineola, New York: Dover Publications Inc. σελ. 5. ISBN 9780486154442.
  26. Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."
  27. George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics,Penguin Books, London, 1991, pp.140—148
  28. Georges Ifrah, Universalgeschichte der Zahlen, Campus, Frankfurt/New York, 1986, pp.428—437
  29. Robert Kaplan, "The Nothing That Is: A Natural History of Zero", Allen Lane/The Penguin Press, London, 1999
  30. "The ingenious method of expressing every possible number using a set of ten symbols (each symbol having a place value and an absolute value) emerged in India. The idea seems so simple nowadays that its significance and profound importance is no longer appreciated. Its simplicity lies in the way it facilitated calculation and placed arithmetic foremost amongst useful inventions. the importance of this invention is more readily appreciated when one considers that it was beyond the two greatest men of Antiquity, Archimedes and Apollonius." - Pierre Simon Laplace http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Indian_numerals.html
  31. A.P. Juschkewitsch, "Geschichte der Mathematik im Mittelalter", Teubner, Leipzig, 1964
  32. (Boyer 1991, "Origins" p. 7) "It has been suggested that both Indian and Egyptian geometry may derive from a common source—proto-geometry that is related to primitive rites in somewhat the same way in which science developed from mythology and philosophy from theology. We must bear in mind that the theory of the origin of geometry in a secularization of ritualistic practice is by no means established. The development of geometry may just as well have been stimulated by the practical needs of construction and surveying or by an aesthetic feeling for design and order."
  33. Τάσος Ανθουλιάς. «Τα Μαθηματικά είναι πραγματικά για τόσο λίγους; - Μαθηματικά, εκπαίδευση και περιβάλλον - Τα Μαθηματικά και οι λεγόμενες "θεωρητικές επιστήμες"». Ελληνική εκπαίδευση: πορεία προς το άγνωστο. Χελιδόνι. σελίδες 21, 24–25, 29.

Βιβλιογραφία (στα αγγλικά)

  • Courant, R. and H. Robbins, What Is Mathematics? (1941);
  • Davis, Philip J. and Hersh, Reuben, The Mathematical Experience. Birkhδuser, Boston, Mass., 1980. Μια ευγενική εισαγωγή στον κόσμο των Μαθηματικών.
  • Gullberg, Jan, Mathematics—From the Birth of Numbers. W.W. Norton, 1996. Μια εγκυκλοπαιδική επισκόπηση των μαθηματικών σε καθαρή, απλή γλώσσα.
  • Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics. Kluwer Academic Publishers 2000. Μια μεταφρασμένη και επεκτεταμένη εκδοχή μιας Σοβιετικής εγκυκλοπαίδειας μαθηματικών, σε δέκα (ακριβούς) τόμους, το πιο πλήρες και αναγνωρίσιμο έργο διαθέσιμο. Επίσης σε χαρτόδετη έκδοση και σε CD-ROM.
  • Kline, M., Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1973)

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

1 (αριθμός)

Το 1 (ένα)(ακούστε ) είναι ο φυσικός αριθμός που βρίσκεται μετά από το 0 και πριν από το 2. Αντιπροσωπεύει μια απλή οντότητα, μια μονάδα μέτρησης ποσότητας ή κάποιου φυσικού μεγέθους.

200 (αριθμός)

Το 200 (διακόσια) είναι ο φυσικός αριθμός που βρίσκεται μετά από το 199 και πριν από το 201. Είναι άρτιος αριθμός, αφού 200:2 = 100, δηλαδή διαιρείται με το 2, στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Ο αριθμός 200 συμβολίζεται ως CC στο ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης και ως Σ´ στο ελληνικό σύστημα αρίθμησης.

2 (αριθμός)

Το 2 (δύο)(ακούστε ) είναι ο φυσικός αριθμός που βρίσκεται μετά από το 1 και πριν από το 3. Στο ελληνικό σύστημα αρίθμησης το 2 γράφονταν ως Β΄, ενώ στο ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης ως II.

3 (αριθμός)

Το 3 (τρία) (ακούστε ) είναι ο φυσικός αριθμός που βρίσκεται μετά από το 2 και πριν από το 4. Στο ελληνικό σύστημα αρίθμησης το 3 γράφονταν ως Γ΄ ή γ΄, ενώ στο ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης ως III.

5 (αριθμός)

Το 5 (πέντε) (ακούστε ) είναι ο φυσικός αριθμός που βρίσκεται μετά από το 4 και πριν από το 6. Είναι ένας περιττός αριθμός, αφού δε διαιρείται με το 2, στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Το 5 είναι πρώτος αριθμός (διαιρείται μόνο με το 1 και τον εαυτό του).

Στα αρχαία ελληνικά το 5 γράφονταν ως E΄, ενώ στο ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης ως V.

9 (αριθμός)

Το 9 (εννέα ή εννιά) είναι ο φυσικός αριθμός που βρίσκεται μετά από το 8 και πριν από το 10. Είναι περιττός αριθμός, αφού δεν διαιρείται με το 2, στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Ο αριθμός 9 συμβολίζεται ως ΙΧ στο ρωμαϊκό σύστημα αρίθμησης και ως Θ´ ή θ´ στο ελληνικό σύστημα αρίθμησης.

Άπειρο

Το άπειρο (σύμβολο: ) είναι αφηρημένη έννοια που περιγράφει κάτι χωρίς κανένα όριο και έχει σημασία σε μια σειρά από επιστήμες, κυρίως τα μαθηματικά και τη φυσική. Η λέξη άπειρο προέρχεται από το στερητικό πρόθεμα "α-" και τη λέξη "πέρας" που σημαίνει τέλος. Αναφέρεται σε διαφορετικές έννοιες (που συνήθως συνδέονται με την έννοια του "χωρίς τέλος") που προκύπτουν στη φιλοσοφία, τα μαθηματικά και τη θεολογία.

Στα μαθηματικά, το "άπειρο" χρησιμοποιείται συνήθως σε περιπτώσεις όπου αντιμετωπίζεται σαν να ήταν αριθμός (δηλαδή για τη σειρά ή το μέγεθος κάποιου πράγματος, π.χ.:"άπειρος αριθμός στοιχείων") αλλά είναι διαφορετικό είδος αριθμού από τους πραγματικούς αριθμούς. Το άπειρο βρίσκεται στα όρια, στους αριθμούς άλεφ, στις τάξεις της θεωρίας συνόλων, στα Ντέντεκιντ-άπειρα σύνολα, στο παράδοξο του Ράσελ, στη μη καθιερωμένη αριθμητική, στους υπερπραγματικούς αριθμούς, στην προβολική γεωμετρία, στο εκτεταμένο σύστημα πραγματικών αριθμών και στο απόλυτο άπειρο του Κάντορ.

Ο Γκέοργκ Κάντορ επισημοποίησε πολλές ιδέες που σχετίζονται με το άπειρο και τις άπειρες σειρές κατά τα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα. Στη θεωρία που ανέπτυξε, υπάρχουν άπειρες σειρές διαφόρων μεγεθών (πληθικότητα). Για παράδειγμα, το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμο, ενώ το άπειρο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο.

Διαιρέτης

Ένας ακέραιος αριθμός ονομάζεται διαιρέτης ενός ακέραιου αριθμού , αν και μόνο αν υπάρχει ακέραιος αριθμός , ο οποίος πολλαπλασιαζόμενος με τον δίνει αποτέλεσμα , δηλαδή . Συμβολίζεται και διαβάζεται: ο διαιρεί τον . Άλλες εκφράσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν είναι: ο διαιρείται ακριβώς με τον , ή ότι το είναι πολλαπλάσιο του .

Για παράδειγμα λέγεται: ο 2 διαιρεί τον 6 (με πηλίκο 3) ή ο 6 διαιρείται ακριβώς από τον 2 ή ο 6 είναι πολλαπλάσιο του 2, διότι υπάρχει ο ακέραιος 3 έτσι ώστε: 6 = 3 Χ 2. Ακόμη και ο -2 διαιρεί τον 6, διότι υπάρχει ο ακέραιος -3 έτσι ώστε 6 = (-3) Χ (-2).

Η διαιρετότητα είναι μια από της βασικές έννοιες της θεωρίας αριθμών και αναφέρεται στην διαίρεση ακεραίων.

Εξαδικό σύστημα αρίθμησης

Το εξαδικό σύστημα αρίθμησης είναι σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό 6, και χρησιμοποιεί τα ψηφία από 0 έως 5.

Εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης

Το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης αποτελεί μέθοδο η οποία χρησιμοποιεί το 60 ως την αριθμητική βάση των αριθμών. Χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Σουμέριους την 3η χιλιετία π.Χ. εκφρασμένο στην σφηνοειδή γραφή, και μετέπειτα αναπτύχθηκε από τους Βαβυλώνιους με την μετατροπή του σε θεσιακό σύστημα. Εξακολουθεί να χρησιμοποιείται υπό τροποποιημένη μορφή στην σύγχρονη εποχή σε τομείς όπως την ώρα και τις υποδιαιρέσεις της κατά την μέτρηση του χρόνου, τριγωνομετρία, και γεωγραφικές συντεταγμένες.

Ερνέστο Τσε Γκεβάρα

Ο Ερνέστο Γκεβάρα (Ernesto Guevara , Ροσάριο, Αργεντινή, 14 Ιουνίου 1928 – Λα Ιγκέρα, Βολιβία, 9 Οκτωβρίου 1967), γνωστός ως Τσε Γκεβάρα (ισπανική προφορά: [ˈtʃe ɣeˈβaɾa]) ή απλά Τσε, ήταν Αργεντινός γιατρός, κομμουνιστής Μαρξιστής-Λενινιστής επαναστάτης, ένας από τους αρχηγούς των ανταρτών στην Κούβα και πολιτικός. Συμμετείχε στο κίνημα της 26ης Ιουλίου που πέτυχε την ανατροπή του δικτατορικού καθεστώτος του Φουλχένσιο Μπατίστα στην Κούβα, αρχικά προσφέροντας τις ιατρικές γνώσεις του και αργότερα ως διοικητής των ανταρτών, ενώ υπήρξε μέλος της επαναστατικής κουβανικής κυβέρνησης προωθώντας ριζικές μεταρρυθμίσεις. Το 1965, πιστός στη νίκη της επανάστασης στην Κούβα, έφυγε με στόχο την οργάνωση νέων επαναστατικών κινημάτων στο Κονγκό και αργότερα στη Βολιβία, όπου τραυματίστηκε, συνελήφθη και δολοφονήθηκε.

Όπως και ο Μάο Τσε Τούνγκ, ο Ερνέστο Γκεβάρα ανέπτυξε θεωρίες πάνω στη στρατηγική και την τακτική του μοντέρνου ανταρτοπολέμου και προσπάθησε να εφαρμόσει τις θεωρίες στην πράξη.

Ιάννης Ξενάκης

Ο Ιάννης Ξενάκης (29 Μαΐου 1922 – 4 Φεβρουαρίου 2001) ήταν ένας από τους σημαντικότερους Έλληνες συνθέτες και αρχιτέκτονες του 20ού αιώνα, διεθνώς γνωστός ως Iannis Xenakis. Οι πρωτοποριακές συνθετικές μέθοδοι που ανέπτυξε συσχέτιζαν τη μουσική και την αρχιτεκτονική με τα μαθηματικά και τη φυσική, μέσω της χρήσης μοντέλων από τη θεωρία των συνόλων, τη θεωρία των πιθανοτήτων, τη θερμοδυναμική, τη Χρυσή Τομή, την ακολουθία Φιμπονάτσι κ.ά. Παράλληλα, οι φιλοσοφικές του ιδέες για τη μουσική έθεσαν καίρια το αίτημα για ενότητα φιλοσοφίας, επιστήμης και τέχνης, συμβάλλοντας στο γενικότερο προβληματισμό για την κρίση της σύγχρονης ευρωπαϊκής μουσικής των δεκαετιών του 1950 και 1960. Οι ιδέες του θεωρείται ότι υπήρξαν προσκείμενες με τα κομμουνιστικά ιδεώδη.

Κυβική ρίζα

Στα Μαθηματικά, μια κυβική ρίζα ενός αριθμού x είναι ένας αριθμός y έτσι ώστε y3 = x. Όλοι οι πραγματικοί αριθμοί (εκτός από το μηδέν) έχουν ακριβώς μια πραγματική κυβική ρίζα και ένα ζεύγος συζυγή μιγαδικού αριθμού κυβικής ρίζας, και όλοι οι μη-μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί έχουν τρεις διαφορετικές σύνθετες κυβικές ρίζες. Για παράδειγμα, η πραγματική κυβική ρίζα του 8, που γράφεται συμβολικά ως 38, είναι το 2, επειδή 23 = 8, ενώ οι άλλες κυβικές ρίζες του 8 είναι το −1 + 3i και −1 − 3i. Οι τρεις κυβικές ρίζες του −27i είναι:

Κύβος (άλγεβρα)

Στα μαθηματικά κύβος ενός αριθμού π.χ. , ονομάζεται η τρίτη δύναμη του αριθμού αυτού, δηλαδή . Η ονομασία "κύβος" ή "κύβος αριθμού" λήφθηκε από το γεγονός ότι η τρίτη δύναμη ενός αριθμού παριστά και τον όγκο του κύβου που έχει ακμή (πλευρά) τον αριθμό αυτό.

Οι θετικοί κύβοι ή τέλειοι κύβοι μέχρι το 603 είναι (OEIS:A000578):

Σε γεωμετρικούς όρους, ένας θετικός αριθμός m είναι τέλειος κύβος αν και μόνο αν είναι δυνατόν να διαταχθούν m κύβοι (ενν. στερεά) με τέτοιο τρόπο ώστε να σχηματίζουν ένα μεγαλύτερο κύβο. Για παράδειγμα 27 μικροί κύβοι μπορούν να διαταχθούν έτσι ώστε να σχηματίζουν έναν μεγαλύτερο (συγκεκριμένα με την μορφή ενός κύβου του Ρούμπικ), διότι 3 x 3 x 3 = 33 = 27.

Η διαφορά κύβων ανάμεσα σε διαδοχικούς ακεραίους μπορεί να εκφραστεί ως:

n3 − (n − 1)3 = 3(n − 1)n + 1.

ή

(n + 1)3n3 = 3(n + 1)n + 1.

Δεν υπάρχει ελάχιστος τέλειος κύβος διότι ο αρνητικός ακέραιος υψωμένος στην τρίτη είναι αρνητικός. Για παράδειγμα, (−4) × (−4) × (−4) = −64.

Μαθηματικός

Ένας μαθηματικός είναι ένα άτομο με μια εκτενή γνώση μαθηματικών που χρησιμοποιεί αυτήν την γνώση στην εργασία του, για να λύσει τα μαθηματικά προβλήματα. Τα μαθηματικά ενδιαφέρονται για τους αριθμούς, τα στοιχεία, τη συλλογή, την ποσότητα, τη δομή, το διάστημα, και την αλλαγή.

Οι μαθηματικοί που ασχολούνται με την επίλυση των προβλημάτων έξω από τα καθαρά μαθηματικά καλούνται εφαρμοσμένοι μαθηματικοί. Οι εφαρμοσμένοι μαθηματικοί είναι μαθηματικοί επιστήμονες που, με την εξειδικευμένη γνώση και την επαγγελματική μεθοδολογία τους, προσεγγίζουν πολλά από τα «άλυτα» προβλήματα που παρουσιάζονται στους σχετικούς επιστημονικούς τομείς. Με την εστίαση τους σε μια ευρεία ποικιλία των προβλημάτων, τα θεωρητικά συστήματα, και τα προσαρμοσμένα τοπικά κατασκευάσματα, εφάρμοσαν την εργασία των μαθηματικών τακτικά στη μελέτη και τη διατύπωση των μαθηματικών προτύπων. Οι μαθηματικοί και οι εφαρμοσμένοι μαθηματικοί θεωρούνται δύο από τις σταδιοδρομίες STEM (science, technology, engineering, and mathematics - επιστήμη, τεχνολογία, μηχανική και μαθηματικά).Η πειθαρχία των εφαρμοσμένων μαθηματικών ασχολείται με τις μαθηματικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται χαρακτηριστικά στην επιστήμη, την εφαρμοσμένη μηχανική, την επιχείρηση, και τη βιομηχανία• κατά συνέπεια, τα «εφαρμοσμένα μαθηματικά» είναι μια μαθηματική επιστήμη με εξειδικευμένη γνώση. Ο όρος «εφαρμοσμένα μαθηματικά» επίσης περιγράφει την επαγγελματική ειδικότητα στην οποία οι μαθηματικοί εργάζονται στα προβλήματα, συνήθως συγκεκριμένα, αλλά μερικές φορές αφηρημένα. Δεδομένου ότι οι επαγγελματίες εστίασαν στην επίλυση προβλήματος, οι εφαρμοσμένοι μαθηματικοί εξετάζουν τη διατύπωση, τη μελέτη, και τη χρήση των μαθηματικών προτύπων στην επιστήμη, την εφαρμοσμένη μηχανική, την επιχείρηση, και άλλους τομείς της μαθηματικής πρακτικής.

Τετράγωνο (άλγεβρα)

Στα μαθηματικά, τετράγωνο ενός αριθμού α ονομάζουμε το γινόμενο με τον εαυτό του, δηλαδή α × α. Αυτό συμβολίζεται ως α². Π.χ. το τετράγωνο του αριθμού 4 (δηλαδή το γινόμενο με τον εαυτό του) είναι 16. Αυτό γράφεται ως 4 × 4 = 16 ή ως 4² = 16.

Τετραγωνική ρίζα

Στα μαθηματικά η τετραγωνική ρίζαδευτέρα ρίζα) ενός πραγματικού αριθμού α είναι ο πραγματικός αριθμός β, αν . Η τετραγωνική ρίζα του αριθμού α συμβολίζεται με , το σύμβολο λέγεται ριζικό, ο αριθμός α υπόρριζο και γράφεται εάν . Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ο πρώτος αριθμός που ανακαλύφθηκε ότι δεν είναι ρητός. Επιπλέον, η ιδέα της τετραγωνικής ρίζας έχει επεκταθεί σε όλους τους αριθμούς, αν και ο αυστηρός ορισμός της την περιορίζει στους θετικούς αριθμούς και το 0. Το όνομα τετραγωνική ρίζα ήταν το πρώτο όνομα της και καθιερώθηκε, γιατί αποτελεί ρίζα του τετραγώνου, δηλαδή της εξίσωσης (το x2 ονομάζεται δεύτερη δύναμη του x, ή τετράγωνο του x, γιατί παραπέμπει στον τύπο εμβαδού του τετραγώνου).

Τριαδικό σύστημα αρίθμησης

Το τριαδικό σύστημα αρίθμησης είναι σύστημα αρίθμησης με βάση τον αριθμό 3.

Αν και το τριαδικό συχνότερα αναφέρεται σε ένα σύστημα στο οποίο τα τρία ψηφία, 0, 1, και 2, είναι όλοι οι μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί, το επίθετο δανείζει επίσης το όνομά του στο ισορροπημένο τριαδικό σύστημα, που χρησιμοποιείται στη λογική σύγκρισης και τους τριαδικούς υπολογιστές.

Ένα ψηφίο ενός αριθμού σε τριαδικό σύστημα ονομάζεται trit (trinary digit, τριαδικό ψηφίο), κατ' αναλογία με το bit.

Φυσικός λογάριθμος

Ο φυσικός λογάριθμος ενός αριθμού είναι ο λογάριθμός του x ως προς την βάση e, όπου e είναι μια άρρητη και υπερβατική σταθερά περίπου ίση με . Ο φυσικός λογάριθμος του x συνήθως γράφεται , ή μερικές φορές όταν η βάση υπονοείται, απλά . Κάποιες φορές για σαφήνεια προστίθενται παρενθέσεις, δίνοντας , ή . Αυτό γίνεται ιδιαίτερα όταν το όρισμα του λογαρίθμου δεν είναι ένα μοναδικό σύμβολο, όπως π.χ. .

Ο φυσικός λογάριθμος του είναι η δύναμη στην οποία η σταθερά πρέπει να υψωθεί για να έχουμε την τιμή . Για παράδειγμα ο γιατί . Ο φυσικός λογάριθμος της σταθερά είναι η μονάδα γιατί ενώ ο φυσικός λογάριθμος του 1 είναι το μηδέν μιας και . Ένας φυσικός λογάριθμος μπορεί να οριστεί για κάθε θετικό πραγματικό αριθμό.

Κλάδοι των μαθηματικών
Περιοχές των μαθηματικών

Άλλες γλώσσες

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.