Θεωρία συνόλων

Στα μαθηματικά, Θεωρία Συνόλων ή Συνολοθεωρία είναι η θεωρία που μελετάει τα σύνολα και είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι) η Θεωρία Συνόλων μελετά τα ίδια τα σύνολα και τις μεταξύ τους σχέσεις. Άτυπα μπορούμε να πούμε ότι οποιοδήποτε συλλογή αντικείμενων του φυσικού κόσμου ή της νόησης είναι ένα σύνολο. Η Θεωρία Συνόλων χρησιμοποιεί σαν θεμωλιώδη πρωταρχική σχέση την σχέση του "ανήκειν" (ή "είναι μέλος"), συμβολίζεται με є. Αν και ένα σύνολο μπορεί να περιέχει οποιοδήποτε τύπο αντικειμένου, η Θεωρία Συνόλων ασχολείται συνήθως με σύνολα που τα αντικείμενά τους σχετίζονται με τα μαθηματικά.

Η σύγχρονη μελέτη της Θεωρίας Συνόλων ξεκίνησε από τον Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) και τον Ντέντεκιντ (Dedekind) τη δεκαετία του 1870. Άρχικά η έννοια του συνόλου οριζόταν μέσω των κατηγορικών ιδιοτήτων. Κατηγορική είναι μια ιδιότητα για την οποία μπορούμε να απαντήσουμε, τουλάχιστον θεωρητικά, με ένα ναί ή με ένα όχι για το αν ένα αντικείμενο έχει (ικανοποιεί) αυτή την ιδιότητα. Έτσι για κάθε κατηγορική ιδιότητα Φ δέχονταν αξιωματικά ότι υπήρχε ένα σύνολο (δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων) του οποίου τα μέλη ήταν ακριβώς εκείνα τα αντικείμενα για τα οποία η Φ ήταν αληθής (Αυτή η παραδοχή ονομάζεται Γενική Αρχή Συμπερίληψης). Αυτή η αρχική μορφή της Θεωρίας Συνόλων ονομάζεται Άτυπη (ή Διαισθητική) Θεωρία Συνόλων. Μετά την ανακάλυψη παραδόξων (αντινομιών) στην Άτυπη Θεωρία Συνόλων, όπως το παράδοξο του Ράσελ (Russell), έγινε φανερό ότι η Γενική Αρχή Συμπερίληψης είναι λάθος και ότι επομένως η έννοια του συνόλου έπρεπε να αποδοθεί πιο αυστηρά μέσα από ένα σύνολο αξιωμάτων. Μια πληθώρα από συστήματα αξιωμάτων προτάθηκαν την αρχή του εικοστού αιώνα, το πιο γνωστό από τα οποία είναι αυτό των Ζερμέλο-Φράνκελ (Zermelo–Fraenkel), μαζί με το Αξίωμα της Επιλογής , γνωστό και ως ZFC. Aν δεχθούμε όλα τα αξιώματα των Ζερμέλο-Φράνκελ, αλλά όχι το Αξίωμα της Επιλογής τότε λέμε ότι έχουμε (ακολουθούμε) το σύστημα ZF.

Η Θεωρία Συνόλων, ειδικά το σύστημα ZFC, είναι το πιο διαδεδομένο σύστημα για την θεμελίωση των μαθηματικών. Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων χρησιμοποιείται στους ορισμούς σχεδόν όλων των μαθηματικών αντικειμένων, όπως οι συναρτήσεις, και έννοιες της Συνολοθεωρίας υπάρχουν σε όλα τα διδακτέα προγράμματα των τμημάτων των Μαθηματικών στα πανεπιστήμια. Στοιχειώδη δεδομένα για τα σύνολα και για την ιδιότητα "μέλους συνόλου" μπορούν να εισαχθούν στο δημοτικό σχολείο, με την χρήση των διαγράμματων Βεν, για τη μελέτη συλλογών από κοινά φυσικά αντικείμενα. Βασικές πράξεις όπως η ένωση και η τομή συνόλων μπορούν να μελετηθούν σ'αυτό το πλαίσιο. Πιο προχωρημένες έννοιες όπως η πληθικότητα είναι βασικό κομμάτι του προπτυχιακού διδακτικού προγράμματος των Μαθηματικών Σχολών.

Πέρα από τη χρήση της ως θεμέλιο των ίδιων των μαθηματικών, η Θεωρία Συνόλων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών από μόνη της, με ενεργή ερευνητική κοινότητα. Η σύχρονη έρευνα στη συνολοθεωρία περιλαμβάνει μια ποικίλη συλλογή από θέματα, από τη δομή της ευθείας των πραγματικών αριθμών ως τη μελέτη της συνέπειας για μεγάλους πληθάριθμους.

Συνήθως οι μαθηματικές θεωρίες προκύπτουν και εξελίσσονται δια της αλληλεπιδράσεως μεταξύ των ερευνητών. Ωστόσο, η Θεωρία Συνόλων αναπτύχθηκε από μία και μοναδική εργασία του Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) το 1874: "Σχετικά με την χαρακτηριστική ιδιότητα των αλγεβρικών αριθμών".

Ήδη από τον 5ο αιώνα π.Χ, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ζήνων από την μία αλλά και οι αρχαίοι Ινδοί μαθηματικοί από την άλλη, εργάστηκαν πάνω στην έννοια του απείρου. Αξιοσημείωτη είναι η δουλειά του Μπερνάρντ Μπολζάνο (Bernard Bolzano) στο πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Η μοντέρνα αντίληψη περί απείρου ξεκίνησε μεταξύ 1867-71, και προέκυψε μέσα από την δουλειά του Κάντορ πάνω στην Πραγματική Ανάλυση. Μία συνάντηση των Κάντορ και Ντέντεκιντ (Richard Dedekind) το 1872 θα επηρεάσει ριζικά τον τρόπο σκέψης του Κάντορ καταλήγοντας στην σχετική εργασία του 1874.

Georg Cantor 1894
Γκέοργκ Κάντορ

Το έργο του αρχικά δίχασε του μαθηματικούς της εποχής. Παρ' όλο που οι Καρλ Βάιερστρας (Karl Weierstrass) και Ντέντεκιντ (Dedekind) υποστήριξαν τον Κάντορ, ο Λέοπολντ Κρόνεκερ (Leopold Kronecker), ο οποίος τώρα θεωρείται ως ο θεμελιωτής του μαθηματικού κονστρουκτιβισμού, δεν έπραξε το ίδιο. Η Καντοριανή Θεωρία Συνόλων έγινε ευρέως γνωστή εξαιτίας της χρησιμότητας των εννοιών της, όπως της αμφιμονοσήμαντης αντιστοιχίας συνόλων, της απόδειξής του ότι υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί απ'ότι ακέραιοι, και του "απείρου των απείρων" ("Ο παράδεισος του Κάντορ" - "Cantor's paradise") ως αποτέλεσμα του τελεστή του δυναμοσύνολου. Η χρησιμότητα της θεωρίας συνόλων οδήγησε στο άρθρο "Μένγκενλερε" ("Mengenlehre") του Άρτουρ Σουνφλις (Arthur Schoenflies) που δημοσιεύτηκε στην εγκυκλοπαίδεια του Klein το 1898.

Θεωρία Συνόλων
Ταξινόμηση
Dewey512
MSC201003Exx

Ορισμένη οντολογία

Κύριο άρθρο:το σύμπαν του von Neumann

Von Neumann Hierarchy
Ένα αρχικό τμήμα της ιεραρχίας von Neumann.

Ένα σετ είναι καθαρό αν όλα τα μέλη του είναι σύνολα,όλα τα μέλη των μελών του είναι σύνολα, και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, το σύνολο {{}}που περιέχει μόνο το κενό σύνολο είναι ένα μη κενό καθαρό σύνολο. Στη σύγχρονη Θεωρία Συνόλων , είναι συνηθισμένο να περιορίζεται η προσοχή στο σύμπαν των καθαρών συνόλων του von Neumann, και πολλά συστήματα της Αξιωματικής Θεωρίας Συνόλων είναι σχεδιασμένα μόνο για την αξιωματική θεωρία των καθαρών συνόλων. Υπάρχουν πολλά τεχνικά πλεονεκτήματα σε αυτόν τον περιορισμό,και η ελάχιστη γενικότητα είναι χαμένη,επειδή ουσιαστικά όλες οι μαθηματικές έννοιες μπορούν να μοντελοποιηθούν από καθαρά σύνολα. Τα σύνολα στο σύμπαν von Neumann είναι οργανωμένα σε μια σωρευτική ιεραρχία, βασισμένη στο πόσο βαθιά τα μέλη τους,τα μέλη των μελών, κλπ είναι ένθετα.Στο κάθε σύνολο σε αυτή την ιεραρχία ανατίθεται ένας τακτικός αριθμός α, γνωστός ως τάξη του. Η τάξη ενός καθαρού συνόλου X ορίζεται ως το λιγότερο άνω άκρο όλων των διαδόχων της τάξης των μελών του X.Για παράδειγμα, στο κενό σύνολο ανατίθεται η τάξη 0,ενώ στο σύνολο {{}} συμπεριλαμβανομένου μόνο του κενού συνόλου ανατίθεται η τάξη 1.Για κάθε τακτικό α, το σύνολο Vα ορίζεται να αποτελείται από όλα τα καθαρά σύνολα με τάξη μικρότερη από α.Ολόκληρο το σύμπαν του von Neumann συμβολίζεται με V.

Βασικές έννοιες και συμβολισμοί

  • Κύρια άρθρα:σύνολο (μαθηματικά) και άλγεβρα συνόλων
  • Η θεωρία συνόλων ξεκινά με μια βασική δυαδική σχέση μεταξύ ενός αντικειμένου Ο και ενός συνόλου Α. Αν Ο είναι μέλος(ή στοιχείο) του Α τότε γράφουμε ότι Ο∈Α. Δεδομένου ότι τα σύνολα είναι αντικείμενα οι σχέσεις των μελών μπορούν να αφορούν και σύνολα. Μια δυαδική σχέση που προέρχεται μεταξύ δύο συνόλων είναι επίσης σχέση υποσυνόλων που ονομάζεται σειρά ένταξης. Αν όλα τα μέλη του συνόλου Α είναι μέλη του συνόλου Β, τότε το Α είναι υποσύνολο του Β και συμβολίζεται με Α⊆Β. Για παράδειγμα το σύνολο {1,2} είναι υποσύνολο του {1,2,3}, όπως επίσης και το σύνολο {2} είναι υποσύνολο του {1,2,3} σε αντίθεση με το {1,4} που δεν είναι. Από αυτόν τον ορισμό είναι ξεκάθαρο ότι κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του. Για τις περιπτώσεις που κάποιος επιθυμεί να αποκλείσει αυτό το ενδεχόμενο ο όρος κατάλληλο υποσύνολο ορίζεται. Το Α ονομάζεται κατάλληλο υποσύνολο του Β αν και μόνο αν το Α είναι ένα υποσύνολο του Β, αλλά Β δεν είναι ένα υποσύνολο του Α. Σημειώστε επίσης ότι 1 και 2 και 3 είναι μέλη (στοιχεία) του συνόλου {1,2,3} , αλλά δεν είναι υποσύνολα, και τα υποσύνολα με τη σειρά τους δεν είναι ως εκ τούτου μέλη του συνόλου.

Ακριβώς όπως η αριθμητική διαθέτει δυαδικές πράξεις σε αριθμούς, η θεωρία συνόλων διαθέτει δυαδικές πράξεις σε σύνολα. Τις εξής:

  • Ένωση συνόλων των συνόλων Α και Β, που συμβολίζεται με Α ∪ Β και είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που είναι μέλος της Α, ή Β, ή και των δύο. Η ένωση του {1, 2, 3} και {2, 3, 4} είναι το σύνολο {1, 2, 3, 4}.
  • Τομή συνόλων και για παράδειγμα των σύνολων Α και Β, που συμβολίζεται Α ∩ Β, είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που είναι μέλη και των δύο Α και Β. Η τομή του {1, 2, 3} και {2, 3, 4} είναι το σύνολο {2 , 3}.
  • Διαφορά συνόλων για παράδειμα ενός συνόλου U και Α , συμβολίζεται U \ Α, είναι το σύνολο όλων των μελών του U που δεν είναι μέλη της Α Το σύνολο της διαφοράς {1,2,3} \ {2,3,4} είναι {1}, ενώ, αντίθετα, το σύνολο {2,3,4 } \ {1,2,3} είναι {4}. Όταν το Α είναι ένα υποσύνολο του U, το σύνολο της διαφοράς U \ Α ονομάζεται επίσης το συμπλήρωμα του Α σε U. Στην περίπτωση αυτή, εάν η επιλογή του U είναι σαφή από τα συμφραζόμενα, ο συμβολισμός Ac χρησιμοποιείται μερικές φορές αντί του U \ A , ιδιαίτερα εάν το U είναι ένα οικομενικού συνόλου, όπως θα διαπιστώσει κανείς αν μελετήσει το Διαγραμμα Venn.
  • Συμμετρική διαφορά των συνόλων Α και Β, που συμβολίζεται Α △ Β ή Α ⊖ Β, είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που είναι ένα μέλος ακριβώς ενός από τα Α και Β (τα στοιχεία που βρίσκονται σε ένα από τα σετ, αλλά όχι και στα δύο). Για παράδειγμα, για τα σύνολα {1,2,3} και {2,3,4}, η συμμετρική σετ διαφορά είναι {1,4}. Είναι το σύνολο διαφοράς της ένωσης και της τομής, (Α ∪ Β) \ (Α ∩ Β) ή (A \ B) ∪ (Β \ Α).
  • Καρτεσιανό γινόμενο των Α και Β, που συμβολίζεται Α × Β, είναι το σύνολο του οποίου τα μέλη είναι όλα τα δυνατά διατεταγμένα ζεύγη (a, b), όπου a είναι ένα μέλος των Α και b είναι μέλος της Β το καρτεσιανό γινόμενο {1, 2} και {κόκκινο, λευκό} είναι {(1, κόκκινο), (1, λευκό), (2, κόκκινο), (2, λευκό)}.
  • Δυναμοσύνολο ενός συνόλου Α είναι το σύνολο του οποίου τα μέλη είναι όλα τα δυνατά υποσύνολα του Α Για παράδειγμα, το δυναμοσύνολο του {1, 2} είναι {{}, {1}, {2}, {1,2}}.

Μερικά βασικά σύνολα κεντρικής σημασίας είναι το κενό σύνολο (η μοναδική ομάδα που δεν περιέχει στοιχεία), το σύνολο των φυσικών αριθμών, και το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Εφαρμογές

Πολλές μαθηματικές έννοιες μπορούν να οριστούν ακριβώς χρησιμοποιώντας μόνο σύνολα θεωρητικών εννοιών. Για παράδειγμα, μαθηματικές δομές τόσο διαφορετικές όσο γραφήματα,πολυχώροι,δακτύλιοι και διανυσματικοί χώροι μπορούν όλοι να όλοι να ορισθούν ως σύνολα ικανοποιώντας  διάφορες (αξιωματικές) ιδιότητες.Ισοδυναμία και προκείμενες σχέσεις είναι πανταχού παρόντα στα μαθηματικά, και η θεωρία των μαθηματικών σχέσεων μπορούν να περιγραφούν στη θεωρία συνόλων.

Η θεωρία συνόλων είναι επίσης ένα πολλά υποσχόμενο θεμελιακό σύστημα για το μεγαλύτερο μέρος των μαθηματικών. Από τη δημοσίευση του πρώτου τόμου του Principia Mathematica, προβλήθηκε ο ισχυρισμός ότι τα περισσότερα ή ακόμα όλα τα μαθηματικά θεωρήματα μπορούν να παραχθούν με τη χρήση ενός εύστοχα σχεδιασμένου συνόλου αξιωμάτων για τη θεωρία συνόλων, επαυξημένου με πολλούς ορισμούς, χρησιμοποιώντας την λογική πρώτης τάξης ή δεύτερης.Για παράδειγμα, ιδιότητες των φυσικών και πραγματικών αριθμών μπορούν να προκύψουν μέσα από τη θεωρία συνόλων, καθώς το κάθε σύστημα αριθμών μπορεί να ταυτοποιηθεί με ένα σύνολο από κλάσεις ισοδυναμίας κάτω από την κατάλληλη σχέση ισοδυναμίας της οποίας το πεδίο είναι κάποιο άπειρο σύνολο.

Η θεωρία συνόλων ως θεμέλιο για τη μαθηματική ανάλυση, την τοπολογία, την αφηρημένη άλγεβρα και τα διακριτά μαθηματικά είναι επίσης αναμφισβήτητη.Μαθηματικοί αποδέχονται ότι (κατ 'αρχήν) θεωρήματα σε αυτούς τους τομείς μπορεί να προέλθουν από τους σχετικούς ορισμούς και τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Λίγες πλήρεις παραγωγές σύνθετων μαθηματικών θεωρημάτων από τη θεωρία συνόλων έχουν επισήμως επιβεβαιωθεί, ωστόσο, επειδή οι τυπικές παραγωγές είναι συχνά πολύ περισσότερες από ό,τι η φυσική γλώσσα αποδεικνύει μαθηματικούς που συνήθως υπάρχουν. Ένα έργο επαλήθευσης, Metamath, περιλαμβάνει τις ανθρωπίνως-γραπτές, τις υπολογιστικά-επαληθευμένες παραγωγές πάνω από 12.000 θεωρημάτων ξεκινώντας από τη ZFC θεωρία συνόλων, λογική πρώτης τάξης και προτασιακή λογική.

Αξιωματική θεωρία συνόλων

Η στοιχειώδης θεωρία των συνόλων μπορεί να μελετηθεί άτυπα και διαισθητικά , και έτσι μπορεί να διδαχθεί στα σχολεία της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης , χρησιμοποιώντας το Διάγραμμα Venn. Η διαισθητική προσέγγιση υποθέτει σιωπηρά ότι μια σειρά μπορεί να σχηματιστεί από την κλάση όλων των αντικειμένων που ικανοποιούν κάθε συγκεκριμένη και καθοριστική κατάσταση. Αυτή η υπόθεση δημιουργεί παράδοξα , τα απλούστερα και πιο γνωστά από τα οποία είναι το Παράδοξο του Russell και το Burali - Forti παράδοξο. Η αξιωματική θεωρία συνόλων αρχικά επινοήθηκε για να απαλλαγούμε από την θεωρία των συνόλων αυτών των παραδόξων.

Τα πιο ευρέως μελετημένα συστήματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων οδηγούν στο συμπέρασμα ότι όλα τα σύνολα αποτελούν μια Αθροιστική ιεραρχία. Τέτοια συστήματα ταξινομούνται σε δύο κατηγορίες εκ των οποίων η οντολογία αποτελείται από:

  • Μόνα σύνολα.Αυτό περιλαμβάνει την πιο κοινή αξιωματική θεωρία συνόλων , Zermelo - Fraenkel θεωρία συνόλων ( ZFC ), το οποίο περιλαμβάνει το Αξίωμα της επιλογής.Θραύσματα του ZFC περιλαμβάνουν :
    • Τη θεωρία συνόλων Zarmelo, που αντικαθιστά Το αξίωμα σχήμα της αντικατάστασης με αυτό του Διαχωρισμού;
    • Τη Γενική θεωρία συνόλων , ένα μικρό θραύσμα από τη θεωρία συνόλων Zarmelo επαρκεί για τα Αξιώματα Peano και τα Πεπερασμένα σύνολα;
    • Τη Θεωρία συνόλων Kripke-Platek που παραλείπει τα αξιώματα του απείρου, δυναμοσύνολο και επιλογή και αποδυναμώνει τα αξιώματα του Διαχωρισμού και της αντικατάστασης;
  • Σύνολα και κατάλληλες τάξεις. Αυτές περιλαμβάνουν τη θεωρία των συνόλων Von Neumann-Bernays-Γκέντελ, η οποία έχει την ίδια δύναμη όπως η ZFC για θεωρήματα για τα σύνολα και μόνο, και η Μορς-Kelley θεωρία των συνόλων και η Tarski-Grothendieck θεωρία των συνόλων.Και τα δύο είναι ισχυρότερα από ό,τι η ZFC.

Τα παραπάνω συστήματα μπορούν να τροποποιηθούν ώστε να επιτρέψουν urelements, αντικείμενα που μπορούν να είναι μέλη των συνόλων, αλλά που δεν είναι τα ίδια σύνολα και δεν έχουν κανένα μέλος.Τα συστήματα των Νέων Ιδρυμάτων NFU (επιτρέποντας urelements) και NF (χωρίς αυτά) δεν βασίζονται σε σωρευτική ιεραρχία. NF και NFU περιλαμβάνουν ένα "σύνολο των πάντων", σε σχέση με το οποίο κάθε ομάδα έχει ένα συμπλήρωμα. Σε αυτά τα συστήματα urelements σημασία έχει ότι χάρη στα NFU αλλά όχι στα NFU, παράγονται τα σύνολα για τα οποία το αξίωμα της επιλογής δεν τα κατέχει.Συστήματα εποικοδομητικής θεωρίας συνόλων, όπως CST, czf, και IZF, ενσωματώνονται στο σύνολο αξιωμάτων τους στην ενορατική αντί της κλασικής λογικής. Ωστόσο, άλλα συστήματα δέχονται την κλασική λογική, αλλά διαθέτουν μια όχι συνηθισμένη σχετικά με την ένταξη. Αυτά περιλαμβάνουν την ακατέργαστη θεωρία των συνόλων και η συγκεχυμένη καθορισμένη θεωρία, κατά την οποία η αξία ενός ατομικού τύπου που ενσωματώνει τη σχέση των μελών δεν είναι απλά Σωστό ή Λάθος. Η άλγεβρα Boole μοντέλα της ZFC είναι ένα συναφές θέμα.

Ένας εμπλουτισμός της ZFC ονομάζεται Εσωτερική Θεωρία Συνόλων και προτάθηκε από τον Έντουαρντ Νίλσον το 1977.

Βιβλιογραφία

  • "Naive Set Theory", Paul R. Halmos, Springer-Verlag, 1960 (ελληνική μετάφραση: "Αφελής συνολοθεωρία", μτφ. Γιώργος Κολέτσος, εκδόσεις Εκκρεμές, Αθήνα, 2002, ISBN 960-7651-26-X)
  • "Notes on Set Theory", Yannis N. Moschovakis, Springer, 2nd edition, 2005 (λληνική έκδοση "Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία", εκδόσεις Νεφέλη, 1993)
  • "Set Theory", Tomas Jech, Springer, 3rd edition, 2006*
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα set theory της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 3.0. (ιστορικό/συντάκτες).
Άλγεβρα Μπουλ

Στα Μαθηματικά και την Μαθηματική λογική, Άλγεβρα Μπουλ είναι η υποπεριοχή της άλγεβρας όπου οι τιμές των μεταβλητών είναι οι τιμές αληθείας αληθές και ψευδές, που συνήθως αναπαρίστανται με 1 και 0 αντίστοιχα. Σε αντίθεση με την στοιχειώδη άλγεβρα όπου οι τιμές των μεταβλητών είναι αριθμοί και οι κύριες πράξεις είναι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός, στην άλγεβρα Μπουλ υπάρχουν τρεις κύριες πράξεις: η σύζευξη και (συμβ. ∧), η διάζευξη ή (συμβ. ∨) και η άρνηση όχι (σύμβ. ¬).

Η άλγεβρα Μπουλ εισήχθη το 1854 από τον Τζορτζ Μπουλ (George Boole) με το έργο του An Investigation of the Laws of Thought (Διερεύνηση των νόμων της σκέψης). Σύμφωνα με τον Huntington ο όρος «Άλγεβρα Μπουλ» χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τον Sheffer το 1913.

Η άλγεβρα Μπουλ είναι θεμελιώδους σημασίας για την επιστήμη της Πληροφορικής και αποτελεί την βάση για την θεωρητική μελέτη του πεδίου της λογικής σχεδίασης. Επιπλέον είναι σημαντική σε άλλα πεδία όπως η Στατιστική, η Θεωρία συνόλων και ο προγραμματισμός.

Άπειρο

Το άπειρο (σύμβολο: ) είναι αφηρημένη έννοια που περιγράφει κάτι χωρίς κανένα όριο και έχει σημασία σε μια σειρά από επιστήμες, κυρίως τα μαθηματικά και τη φυσική. Η λέξη άπειρο προέρχεται από το στερητικό πρόθεμα "α-" και τη λέξη "πέρας" που σημαίνει τέλος. Αναφέρεται σε διαφορετικές έννοιες (που συνήθως συνδέονται με την έννοια του "χωρίς τέλος") που προκύπτουν στη φιλοσοφία, τα μαθηματικά και τη θεολογία.

Στα μαθηματικά, το "άπειρο" χρησιμοποιείται συνήθως σε περιπτώσεις όπου αντιμετωπίζεται σαν να ήταν αριθμός (δηλαδή για τη σειρά ή το μέγεθος κάποιου πράγματος, π.χ.:"άπειρος αριθμός στοιχείων") αλλά είναι διαφορετικό είδος αριθμού από τους πραγματικούς αριθμούς. Το άπειρο βρίσκεται στα όρια, στους αριθμούς άλεφ, στις τάξεις της θεωρίας συνόλων, στα Ντέντεκιντ-άπειρα σύνολα, στο παράδοξο του Ράσελ, στη μη καθιερωμένη αριθμητική, στους υπερπραγματικούς αριθμούς, στην προβολική γεωμετρία, στο εκτεταμένο σύστημα πραγματικών αριθμών και στο απόλυτο άπειρο του Κάντορ.

Ο Γκέοργκ Κάντορ επισημοποίησε πολλές ιδέες που σχετίζονται με το άπειρο και τις άπειρες σειρές κατά τα τέλη του 19ου και στις αρχές του 20ου αιώνα. Στη θεωρία που ανέπτυξε, υπάρχουν άπειρες σειρές διαφόρων μεγεθών (πληθικότητα). Για παράδειγμα, το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμο, ενώ το άπειρο σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο.

Ένα προς ένα

Μία απεικόνιση μεταξύ δύο συνόλων A,B καλείται ένα προς ένα (1-1) ή αμφιμονοσήμαντη, αν ισχύει ότι : αν τότε είναι , για κάθε x,y στο Α. Ένας ισοδύναμος ορισμός είναι ο εξής : Αν τότε , για κάθε x,y στο Α.

Ας σημειωθεί ότι αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη (γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι "1-1" σε αυτό.

.

Ένωση συνόλων

Ένωση δύο μη κενών συνόλων Α και Β ενός συνόλου αναφοράς Ω (συμβολισμός ) ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων.

Μαθηματικά η ένωση δύο συνόλων ορίζεται ως εξής:

Για παράδειγμα: Αν Α={1,2,3,α,β,γ} και Β={1,3,4,5,6,α,γ} είναι Α Β={1,2,3,4,5,6,α,β,γ}

Αντίστροφη συνάρτηση

Στα μαθηματικά, αντίστροφη συνάρτηση είναι η συνάρτηση που αντιστρέφει μια άλλη συνάρτηση. Με αυτό εννοούμε, αν f είναι μια συνάρτηση που αντιστοιχεί το x στο y, δηλ. f(x) = y, τότε η αντίστροφη συνάρτηση της f συμβολίζεται f-1 και αντιστοιχεί το y πίσω στο x, δηλ. f-1(y) = x.

Απόλυτοι αριθμοί

Οι απόλυτοι αριθμοί ή αριθμητικά στην γλωσσολογία είναι επίθετα οι οποίες χρησιμοποιούνται για την ολογράφως έκφραση των αριθμών καθώς και για τον ολογράφως προσδιορισμό ποσότητας. Διαφέρουν από τους τακτικούς αριθμούς οι οποίοι χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της ταξινόμησης ή προσδιορισμό τμήματος (πρώτο, τέταρτο, κτλ).

Γκέοργκ Κάντορ

Ο Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) ήταν διάσημος μαθηματικός, περισσότερο γνωστός για τη Θεωρία συνόλων που ανέπτυξε και τους υπεραριθμήσιμους αριθμούς.

Ο Γκέοργκ Κάντορ γεννήθηκε στις 3 Μαρτίου 1845 στην Αγία Πετρούπολη της Ρωσίας. Ήταν ο μεγαλύτερος από έξι παιδιά. Όταν ο πατέρας του αρρώστησε το 1856, η οικογένειά του μετακόμισε στη Γερμανία, πρώτα στο Βιζμπάντεν, έπειτα στη Φρανκφούρτη. Το 1862, ο Κάντορ αποφοίτησε από το ETH Ζυρίχης, ενώ αργότερα από το Πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Ο Γκέοργκ Κάντορ έλαβε έδρα καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Χάλε. Το 1874, ο Κάντορ παντρεύτηκε την Εβραϊκής καταγωγής Βάλλυ Γκούτμαν. Απέκτησαν μαζί 6 παιδιά. Εκείνη την εποχή, ο Κάντορ ανέπτυξε τη Θεωρία Συνόλων. Το 1884, ο Κάντορ εισήχθη σε νοσοκομείο ύστερα από μια περίοδο κατάθλιψης. Ο Κάντορ αποσύρθηκε από την εκπαίδευση το 1913, ενώ πέθανε το 1918 ύστερα από μια περίοδο μεγάλης φτώχειας, σε ηλικία 72 ετών. Μεγάλη στιγμή της ζωής του είναι η απόδειξη πως το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι υπεραριθμήσιμο κάτι το οποίο κατάφερε με τη χρήση του "Διαγώνιου Επιχειρήματος".

Διατεταγμένο ζεύγος

Ένα διατεταγμένο ζεύγος μπορεί να οριστεί ως μία συλλογή από δύο αντικείμενα στην οποία καθορίζεται η διάταξη των αντικειμένων, έτσι ώστε το ένα αντικείμενο να είναι το πρώτο και το άλλο το δεύτερο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους. Συνήθως συμβολίζεται με δύο γωνιακές παρενθέσεις ή με δύο απλές παρενθέσεις, για παράδειγμα το διατεταγμένο ζεύγος με πρώτο στοιχείο το και δεύτερο το σημειώνεται ή .

Ενώ για τα σύνολα η αρχή της ταυτότητας δεν περιλαμβάνει διάταξη, έτσι ώστε ισχύει για παράδειγμα ότι , αντίθετα για τα διατεταγμένα ζεύγη η αρχή της ταυτότητας περιλαμβάνει τη διάταξη, έτσι ώστε ισχύει για παράδειγμα ότι .

Έχουν προταθεί αρκετοί διαφορετικοί τυπικοί ή αυστηροί ορισμοί για την έννοια του διατεταγμένου ζεύγους, η οποία άλλοτε ορίζεται ως πρωταρχική έννοια και άλλες φορές ορίζεται με βάση τα σύνολα. Ένας τυπικός ορισμός του διατεταγμένου ζεύγους είναι αυτός του Kuratowski:

.

Με βάση αυτόν τον ορισμό η ιδιότητα ότι το στοιχείο είναι το πρώτο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους μπορεί να λάβει τη μορφή

,

και η ιδιότητα ότι το στοιχείο είναι το δεύτερο στοιχείο του διατεταγμένου ζεύγους μπορεί να λάβει τη μορφή

.


Δυναμοσύνολο

Το δυναμοσύνολο (power set) ενός συνόλου είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Συνήθως συμβολίζεται με . Επίσης συχνά συμβολίζεται 2X.

Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου με n στοιχεία έχει 2n (το πλήθος) στοιχεία.

Ένα υποσύνολο του ονομάζεται συλλογή υποσυνόλων του ή και κλάση από υποσύνολα του . Ωστόσο ο όρος «κλάση» άλλες φορές περιλαμβάνεται στον φορμαλισμό και έχει αυστηρά ορισμένη σημασία, άλλες φορές χρησιμοποιείται πιο διαισθητικά στη μεταγλώσσα. Μια «κλάση» μπορεί να είναι συλλογή από αντικείμενα που δεν είναι σύνολα. Για παράδειγμα μιλάμε για την κλάση συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες κατά Λεμπέγκ, την κλάση συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες κατά Ρίμαν κλπ.

Παράδειγμα

S = {x, y, z},

υποσύνολα:

•{ }

•{x}

•{y}

•{z}

•{x, y}

•{x, z}

•{y, z}

•{x, y, z}

δυναμοσύνολο του S


Μαθηματική λογική

Η μαθηματική λογική είναι ένας κλάδος των μαθηματικών και της επιστήμης υπολογιστών, με στενή σχέση και με τη φιλοσοφική λογική. Το πεδίο περιλαμβάνει τη μαθηματική μελέτη της λογικής και τις εφαρμογές της τυπικής λογικής σε άλλες περιοχές των μαθηματικών. Οι βασικότερες ιδέες στη μαθηματική λογική περιλαμβάνουν τη μελέτη της εκφραστικής ισχύος των τυπικών συστημάτων και της συμπερασματικής ισχύος των συστημάτων τυπικών αποδείξεων.

Η μαθηματική λογική διαιρείται συχνά στα υποπεδία θεωρία συνόλων, θεωρία μοντέλων, θεωρία αναδρομής και θεωρία αποδείξεων και κατασκευαστικά μαθηματικά. Οι περιοχές αυτές μοιράζονται βασικά αποτελέσματα πάνω στη λογική, και ειδικά στην λογική πρώτου βαθμού και την ορισιμότητα.

Από τη γέννησή της, η μαθηματική λογική έχει συμβάλλει αλλά και ωθείται από τη μελέτη των θεμελίων των μαθηματικών. Η μελέτη αυτή ξεκίνησε στο τέλος του 19ου αιώνα με την ανάπτυξη των αξιωματικών πλαισίων για τη γεωμετρία, την αριθμητική και την ανάλυση. Στην αρχή του 20ού αιώνα διαμορφώθηκε από το πρόγραμμα του Ντάβιντ Χίλμπερτ για την απόδειξη της συνέπειας των θεμελιακών θεωριών. Η εργασία πάνω στη θεωρία συνόλων έδειξε ότι σχεδόν όλα τα συνηθισμένα μαθηματικά μπορούν να διατυπωθούν με βάση τα σύνολα, αν και υπάρχουν κάποια θεωρήματα που δεν μπορούν να αποδειχθούν στα συνήθη αξιωματικά συστήματα για τη θεωρία συνόλων. Η σύγχρονη μελέτη στα θεμέλια των μαθηματικών συχνά εστιάζει στο να θεσπίσει ποια κομμάτια των μαθηματικών μπορούν να διατυπωθούν σε συγκεκριμένα τυπικά συστήματα, και όχι στο να αναπτύξει θεωρίες από όπου αναπτύσσονται όλα τα μαθηματικά.

Μεταβλητή (μαθηματικά)

Η έννοια της μεταβλητής είναι αρχική έννοια για τα μαθηματικά, δηλαδή τη δεχόμαστε αξιωματικά, χωρίς απόδειξη.

Μια μεταβλητή είναι ένα γράμμα που μπορεί να συμβολίζει ένα τυχαίο στοιχείο ενός συνόλου και χρησιμεύει για να δηλωθεί μια κοινή ιδιότητα των στοιχείων του. Μια μεταβλητή «διατρέχει» όλα τα στοιχεία του συνόλου στο οποίο αναφερόμαστε (σύνολο αναφοράς). Επίσης όταν χρειάζεται χρησιμοποιούνται κεφαλαία γράμματα και δείκτες.

Συνήθως ως μεταβλητές χρησιμοποιούνται τα τελευταία μικρά γράμματα της ελληνικής ή της αγγλικής αλφαβήτου (χ, ψ, ω) ή (x, y, z). Για να αποφευχθεί η σύγχυση μεταξύ μεταβλητών και στοιχείων αποφεύγεται η χρήση γραμμάτων του αλφαβήτου στο συμβολισμό συγκεκριμένων στοιχείων του συνόλου. Αν αυτό είναι απαραίτητο, τότε τα γράμματα που αντιπροσωπεύουν τα συγκεκριμένα στοιχεία μπαίνουν σε εισαγωγικά («»).

Μια ιδιότητα που εκφράζεται για ορισμένα στοιχεία ισχύει μόνο για αυτά, ενώ όταν δηλώνεται μια ιδιότητα για μια μεταβλητή, ισχύει για όλα τα στοιχεία του συνόλου.

Πεπερασμένο σύνολο

Στην μαθηματική ανάλυση και τους συναφείς τομείς των μαθηματικών, ένα σύνολο ονομάζεται πεπερασμένο ή φραγμένο, αν κατά κάποιο τρόπο είναι πεπερασμένου μεγέθους. Αντιστρόφως, ένα σύνολο το οποίο δεν περιορίζεται ονομάζεται μη πεπερασμένο ή απέραντο. Η λέξη πεπερασμένο δεν έχει κανένα νόημα σε ένα γενικό τοπολογικό χώρο, χωρίς κάποια μετρική.

Σ-άλγεβρα

σ-άλγεβρα (σίγμα άλγεβρα) είναι μια άλγεβρα συνόλων (σύνολο από σύνολα στο οποίο μπορούμε να κάνουμε πράξεις μεταξύ των συνόλων) που είναι κλειστή ως προς τη συμπλήρωση και τις αριθμήσιμες ενώσεις των μελών της.

Η σ-άλγεβρα είναι πολύ χρήσιμο εργαλείο στα στοχαστικά μαθηματικά, κυρίως διότι αριθμήσιμες (το πολύ) το πλήθος συνολοθεωρητικές πράξεις μεταξύ συνόλων που ανήκουν στην ίδια σ-άλγεβρα δίνουν σύνολα που ανήκουν και αυτά στην ίδια σ-άλγεβρα.

Οι σ-άλγεβρες είναι η βάση για τον ορισμό του χώρου των μαζών και των πιθανοτήτων.

Οι σ-άλγεβρες είναι αναγκαίες για την κατασκευή του μέτρου και του ολοκληρώματος κατά Λεμπέγκ.

Συνάρτηση

Στα μαθηματικά, συνάρτηση, ή απεικόνιση είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων, που καλούνται σύνολο ορισμού και σύνολο τιμών, κατά την οποία κάθε ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του πεδίου τιμών. Αν είναι μια συνάρτηση από ένα σύνολο σε ένα σύνολο , γράφουμε .

Ιστορικά η έννοια της συνάρτησης εισήχθη στα μαθηματικά από τον θεμελιωτή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού Γερμανό μαθηματικό Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 1694.

Οι όροι συνάρτηση και απεικόνιση είναι συνώνυμοι. Ο πρώτος χρησιμοποιείται περισσότερο στην στοιχειώδη άλγεβρα και τον απειροστικό λογισμό, ενώ ο δεύτερος στα διακριτά μαθηματικά.

Σύνθεση συνάρτησης

Η σύνθεση συνάρτησης είναι πράξη μαθηματικών συναρτήσεων και συμβολίζεται με . Στη σύνθεση συναρτήσεων η ανεξάρτητη μεταβλητή x συνδέεται με την εξαρτημένη μεταβλητή y μέσω μίας ενδιάμεσης συνάρτησης.

Σύνθεση συνάρτησης της f(x) (με πεδίο ορισμού Α) με την g(x) (με πεδίο ορισμού Β) είναι μία συνάρτηση που έχει τιμή:

και πεδίο ορισμού:

Σύνολο

Ένα σύνολο είναι κάθε συλλογή σαφώς διακριτών και καλώς καθορισμένων αντικειμένων που προέρχονται από τον χώρο της εμπειρίας (αντικείμενα συγκεκριμένα) ή των διανοημάτων (αντικείμενα αφηρημένα), τα οποία θεωρούνται ως μια ολότητα. Η έννοια του συνόλου είναι «αρχική έννοια» για τα Μαθηματικά, δηλαδή δεν μπορεί να ορισθεί με χρήση απλούστερων εννοιών, γιαυτό γίνονται αποδεκτά αξιωματικά, χωρίς απόδειξη.

Παρόλο που εφευρέθηκε σχετικά πρόσφατα, στο τέλος του 19ο αιώνα, η Θεωρία Συνόλων είναι πια ένα πανταχού παρόν τμήμα των Μαθηματικών και μπορεί να θεωρηθεί το θεμέλιο σχεδόν όλης της επιστήμης των Μαθηματικών.

Στην εκπαίδευση, στο μάθημα των Μαθηματικών, κάποια (σχετικά απλά) τμήματά της, όπως τα διαγράμματα Venn, αρχίζουν να διδάσκονται συνήθως από την ύλη του Γυμνασίου (ή στις αντίστοιχες τάξεις, ανάλογα με τη χώρα), ενώ άλλα (πιο πολύπλοκα) διδάσκονται ως τμήμα της ύλης πανεπιστημιακού επιπέδου.

Ταυτότητα (μαθηματικά)

Για σύνολα η αρχή της ταυτότητας διατυπώνεται ως εξής:

αν και μόνο αν και αποτελούνται από ακριβώς τα ίδια στοιχεία.

Η πάνω αρχή είναι γνωστή και ως αξίωμα έκτασης (axiom of extensionality) και είναι το πρώτο από τα αξιώματα Zermelo–Fraenkel.

Για διατεταγμένα ζεύγη η αρχή της ταυτότητας διατυπώνεται ως εξής:

αν και μόνο αν και .

Δηλαδή για διατεταγμένα ζεύγη η ταυτότητα καθορίζεται από (i) την ταυτότητα των στοιχείων και (ii) τη διάταξη των στοιχείων.

Υποσύνολο

Ένα σύνολο X ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου Y και συμβολίζουμε με , εάν κάθε στοιχείο του X είναι και στοιχείο (ανήκει) του Y δηλαδή ισχύει:

Ακόμα χρησιμοποιούμε την ορολογία: το σύνολο X περιέχεται στο σύνολο Y ή ακόμα ότι το σύνολο Y είναι υπερσύνολο του συνόλου X και γράφουμε . Μπορούμε να θεωρήσουμε το ως τη σχέση που αποτελείται από όλα τα διατεταγμένα ζεύγη (X, Y) για τα οποία ισχύει .

Παραδείγματα:

  • το σύνολο όλων των ανδρών είναι υποσύνολο του συνόλου όλων των ανθρώπων

Αναφέρουμε ότι: το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου και επίσης κάθε σύνολο Α είναι υποσύνολο του εαυτού του.

  • για κάθε σύνολο Α
  • για κάθε σύνολο Α


Χώρος (μαθηματικά)

Ο χώρος στα μαθηματικά, είναι ένα σύνολο που επιπροσθέτως έχει κάποια μαθηματική δομή.

Στα αρχαία μαθηματικά, ο «χώρος» ήταν μια γεωμετρική αφαίρεση του τρισδιάστατου χώρου που παρατηρείται στην καθημερινή ζωή. Η αξιωματική μέθοδος ήταν το κύριο εργαλείο έρευνας από τον Ευκλείδη (περίπου το 300 π.Χ.). Η μέθοδος των συντεταγμένων (Αναλυτική γεωμετρία) εγκρίθηκε από την Ρενέ Ντεκάρτ το 1637. Εκείνη την εποχή, τα γεωμετρικά θεωρήματα αντιμετωπίστηκαν ως απόλυτη αντικειμενική αλήθεια δυνάμενα να γίνουν γνωστά μέσω της διαίσθησης και της λογικής, παρόμοια με τα αντικείμενα της φυσικής επιστήμης. Τα δε αξιώματα αντιμετωπίστηκαν ως προφανείς επιπτώσεις των ορισμών.

Τα σύγχρονα μαθηματικά αντιμετωπίζουν τον «χώρο» αρκετά διαφορετικά σε σχέση με τα κλασικά μαθηματικά. Οι μαθηματικοί χώροι συχνά σχηματίζουν κάποια ιεραρχία, δηλαδή, ένας χώρος μπορεί να κληρονομήσει όλα τα χαρακτηριστικά ενός μητρικού χώρου. Για παράδειγμα, όλοι οι χώροι με εσωτερικό γινόμενο είναι επίσης χώροι με νόρμα, επειδή το εσωτερικό γινόμενο επάγει μια νόρμα, έτσι ώστε:

Περιοχές των μαθηματικών

Άλλες γλώσσες

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.