Θεωρία πιθανοτήτων

Η θεωρία πιθανοτήτων (αγγλικά: Probability Theory) είναι μια αξιωματική μαθηματική θεωρία μέτρου. Πρόκειται δηλαδή για τον κλάδο των μαθηματικών ο οποίος ασχολείται με την ανάλυση τυχαίων φαινομένων. Κεντρικό ρόλο στη θεωρία πιθανοτήτων παίζει η έννοια της πιθανότητας, ενώ σημαντικές είναι οι τυχαίες μεταβλητές, οι συναρτήσεις κατανομής, οι στοχαστικές διαδικασίες και τα γεγονότα: μαθηματικές αφαιρέσεις μη ντετερμινιστικών συμβάντων τα οποία είτε συμβαίνουν μία φορά είτε εξελίσσονται με το πέρασμα του χρόνου. Η πιθανότητα εκφράζει την αβεβαιότητα του ανθρώπου για την εξέλιξη των φαινομένων. Το μέτρο δε της πιθανότητας ορίστηκε να είναι ένας θετικός αριθμός, μικρότερος ή ίσος του ένα. Αν και τα γεγονότα που μελετώνται από τη θεωρία πιθανοτήτων, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή το στρίψιμο ενός κέρματος, είναι τυχαία, όταν επαναλαμβάνονται πολλές φορές η αλληλουχία των τυχαίων γεγονότων παρουσιάζει ορισμένα στατιστικά μοτίβα τα οποία μπορούν να μελετηθούν και να προβλεφθούν. Δύο αντιπροσωπευτικά μαθηματικά αποτελέσματα που περιγράφουν τέτοια μοτίβα είναι ο νόμος των μεγάλων αριθμών και το θεώρημα κεντρικού ορίου.

Ως μαθηματικό θεμέλιο της στατιστικής, η θεωρία πιθανοτήτων είναι απαραίτητη σε πολλές δραστηριότητες που περιλαμβάνουν ανάλυση μεγάλων συνόλων δεδομένων. Μέθοδοι της θεωρίας πιθανοτήτων εφαρμόζονται και στην περιγραφή πολύπλοκων συστημάτων, όπως στη στατιστική μηχανική. Μία μεγάλη ανακάλυψη του εικοστού αιώνα ήταν η πιθανοκρατική φύση των φυσικών νόμων σε υποατομικό επίπεδο, σύμφωνα με τα ευρήματα της κβαντομηχανικής.

Θεωρία πιθανοτήτων
Ταξινόμηση
Dewey519
MSC201060Axx

Έννοιες

Κλασική πιθανότητα

Η έννοια της πιθανότητας ορίστηκε αρχικώς, για να περιγράψει το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης, όπως π.χ. η ρίψη ενός ζαριού ή νομίσματος. Οι πιθανότητες είναι αριθμοί οι οποίοι ανατίθενται σε γεγονότα που μπορεί να συμβούν ή όχι με κάποιον τυχαίο τρόπο. Με τον συνήθη συμβολισμό, οι πιθανότητες ανατίθενται στα γεγονότα . Οι πιθανότητες είναι κανονικοποιημένες και παίρνουν πραγματικές τιμές στο διάστημα από 0 μέχρι 1.

Ισχύουν οι κάτωθι ορισμοί:

  • Απλό ενδεχόμενο ονομάζεται ένα δυνατό αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης και συνήθως συμβολίζεται με .
  • Δειγματοχώρος είναι το σύνολο όλων των απλών ενδεχομένων. Για ένα απλό ενδεχόμενο ισχύει .
  • Γεγονός είναι ένα σύνολο δυνατών αποτελεσμάτων. Ένα γεγονός έχει ως στοιχεία απλά ενδεχόμενα και είναι υποσύνολο του . To είναι το ίδιο ένα γεγονός και ονομαζεται βέβαιο γεγονός.

Παράδειγματα

Ρίψη ζαριού

Θεωρούμε ως πείραμα τύχης την ρίψη ενός ζαριού. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε έξι απλά ενδεχόμενα. Έστω το ενδεχόμενο να φέρουμε 1 και αντιστοίχως τα . Ο δειγματοχώρος είναι ο ή για λόγους απλότητας . Το γεγονός να φέρουμε ζυγό αριθμό είναι (με τον απλοποιημένο συμβολισμό) . Το γεγονός να φέρουμε αριθμό μικρότερο ή ίσο του 2 είναι .

Η κλασική πιθανότητα ορίζεται σε πειράματα τύχης, όπου το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο και όλα τα απλά ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα. Σε αυτή την περίπτωση πιθανότητα ενός γεγονότος Α ονομάζεται το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ως προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων.

Συνεχίζοντας το παραπάνω παράδειγμα έχουμε

Παράδοξο των γενεθλίων

Το παράδοξο των γενεθλίων ασχολείται με το ερώτημα: Σε μία ομάδα 23 ατόμων ποια είναι η πιθανότητα δύο από αυτά τα άτομα να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια; Ενώ διαισθητικά θα περιμέναμε μια σχετικά μικρή πιθανότητα, αυτή αποδεικνύεται ότι είναι 50%.

Μέτρο πιθανότητας

Η αξιωματική θεμελίωση των πιθανοτήτων προήλθε από τον Ρώσο μαθηματικό Αντρέι Κολμογκόροβ (Andrey Kolmogorov).

Έστω ένα σύνολο και μία σ-άλγεβρά του . Πιθανότητα ονομάζεται η συνάρτηση που ικανοποιεί:

Η πιθανότητα είναι ένα μέτρο στον με την ιδιότητα .

Αν στην πιθανότητα αντιστοιχεί μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f, τότε η πιθανότητα του Α υπολογίζεται ως:

Ισχύουν οι κάτωθι ιδιότητες:

  • .

Δεσμευμένη πιθανότητα

Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός συμβαίνει με δεδομένο ότι έχει συμβεί ένα γεγονός είναι η δεσμευμένη πιθανότητα του με δεδομένο το η οποία ορίζεται, μόνο αν το δεν είναι αδύνατο γεγονός , ως:

.

Αν η δεσμευμένη πιθανότητα του με δεδομένο το είναι ίδια με τη ("αδέσμευτη") πιθανότητα του , τότε τα και είναι ανεξάρτητα γεγονότα και ισχύει .

H δεσμευμένη πιθανότητα ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας στον , όπου , αφού ικανοποιεί τα αξιώματα του ορισμού.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Αναμενόμενη τιμή

Η αναμενόμενη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής συμβολίζεται συνήθως με ή .

Ανεξάρτητη μεταβλητή

Ο όρος ανεξάρτητη μεταβλητή ουσιαστικά είναι ένας μαθηματικός όρος διάκρισης μεταβλητών που έχει ευρύτητα χρήσης στην επιστημονική πειραματική έρευνα και κυρίως στη στατιστική.

Γενικά ως ανεξάρτητη μεταβλητή χαρακτηρίζεται κάθε είδους ερεθισμός που προέρχεται από το περιβάλλον (οπτικός, ακουστικός, αφής, γεύσης κλπ.), καθώς και κάθε έννοια υπόθεσης που εισέρχεται σε ερευνητικό πεδίο, εξ ου και το μεγάλο πλήθος συνώνυμων όρων με τους οποίους απαντάται όπως π.χ. μεταβλητή ερεθισμού, μεταβλητή υπόθεσης, μεταβλητή εισαγωγής, πειραματική μεταβλητή, μεταβλητή έκθεσης, δραστική μεταβλητή, ή και πρόβλεψης, παλινδρόμησης, ελεγχόμενη κ.ά.

Στην παρατήρηση ή πειραματική έρευνα προσδιορίζουμε το χαρακτηριστικό αυτό που μας ενδιαφέρει, δηλαδή την κύρια μεταβλητή, και το οποίο στη συνέχεια θα μετρήσουμε απομονώνοντας έτσι άλλα χαρακτηριστικά (μεταβλητές). Μπορούμε με τον τρόπο αυτό να ισχυριστούμε ότι ελέγχουμε το όλο πείραμα - έρευνα αφού αποκλείουμε οποιαδήποτε συμπεριφορά άλλων μεταβλητών. Για παράδειγμα εξετάζουμε το βάρος ενός οχήματος αποκλείοντας τη συνθήκη κίνησης ή των κλιματολογικών συνθηκών που επικρατούν κατά την έρευνα, ή εξετάζουμε μια στατιστική μονάδα (φοιτητή, ή στρατιώτη) ανεξάρτητα των μεταβλητών ύψους βάρους, οικογενειακής κατάστασης κλπ.
Αντίθετα όμως αυτού μπορούμε να κρατήσουμε σταθερές όλες τις άλλες μεταβλητές που μπορεί να επηρεάζουν εκτός από μία της οποίας και εξετάζουμε τη συμπεριφορά επί της κυρίας, στη περίπτωση αυτή λέμε ότι εξετάζουμε μια εξαρτώμενη ή εξαρτημένη μεταβλητή που μπορεί να μεταβάλλεται σε κάθε μεταβολή της ανεξάρτητης.

Στη μαθηματική γλώσσα η παραπάνω τελευταία συμπεριφορά, (σχέση), αποδίδεται ως συνάρτηση ανεξάρτητης μεταβλητής (χ) της εξαρτημένης (y) όπου .
Στη στατιστική ως ανεξάρτητη μεταβλητή μπορεί να είναι οποιαδήποτε ποσοτική ή ποιοτική μεταβλητή.

Γεγονός (θεωρία πιθανοτήτων)

Στη Θεωρία πιθανοτήτων, γεγονός, ή ενδεχόμενο, ονομάζεται ένα σύνολο απλών γεγονότων, δηλαδή ένα σύνολο αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης.

Τα γεγονότα συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα. Το απλό γεγονός συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα . Ένα γεγονός περιέχει ένα ή περισσότερα απλά γεγονότα. Ορίζουμε ότι ένα γεγονός πραγματοποιείται ή συμβαίνει, όταν το απλό γεγονός που προκύπτει από την εκτέλεση του πειράματος τύχης περιέχεται στο γεγονός αυτό. Βέβαιο γεγονός είναι εκείνο που συμβαίνει σε κάθε εκτέλεση του πειράματος τύχης, που γίνεται πάντα κάτω από τις ίδιες συνθήκες.

Το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης, δηλαδή το σύνολο όλων των απλών γεγονότων του, ονομάζεται δειγματοχώρος ή δειγματικός χώρος του πειράματος και συμβολίζεται με . Αν με συμβολίσουμε τα απλά γεγονότα του πειράματος, τότε: . Το είναι το ίδιο ένα γεγονός, και μάλιστα βέβαιο. Ένα γεγονός , του οποίου τα στοιχεία ανήκουν στον δειγματοχώρο , λέμε ότι είναι υποσύνολο του , και συμβολίζουμε με ή με αν γνωρίζουμε με σιγουριά ότι τα στοιχεία που περιλαμβάνει το δεν είναι όλα τα στοιχεία του .

Ο ορισμός ενός γεγονότος είναι απλή υπόθεση, όταν το πλήθος των στοιχείων του δειγματοχώρου ( των αποτελεσμάτων του πειράματος τύχης δηλαδή) είναι πεπερασμένο. Αν είναι άπειρο ανακύπτουν πολλές δυσκολίες.

Δειγματοχώρος

Δειγματοχώρος, ή δειγματικός χώρος, ενός πειράματος τύχης ονομάζεται το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων του πειράματος, δηλαδή το σύνολο όλων των απλών γεγονότων του, και συμβολίζεται με .Αν με συμβολίσουμε τα απλά ενδεχόμενα του πειράματος τότε .

Αν το πλήθος των απλών ενδεχομένων είναι πεπερασμένο, τότε το είναι πεπερασμένο σύνολο και ο δειγματοχώρος λέγεται επίσης πεπερασμένος. Σε κάθε άλλη περίπτωση αναφερόμαστε σε χώρους άπειρα αριθμήσιμους που διακρίνονται σε αριθμήσιμους και μη αριθμήσιμους δειγματοχώρους.

Για παράδειγμα, ρίχνουμε δύο νομίσματα και θέλουμε να βρούμε το δειγματοχώρο.Συμβολίζουμε με την περίπτωση να εμφανιστεί κεφαλή και με την περίπτωση να εμφανιστεί γράμματα.Ρίχνοντας δύο νομίσματα θα έχουμε τέσσσερις περιπτώσεις ανάλογα με το τι εμφανίστηκε σε καθένα από αυτά. Γράφοντας πρώτα την ένδειξη που φένρει το ένα και μετά την ένδειξη που φέρνει το άλλο, οι τέσσερις περιπτώσεις συμβολίζονται .Άρα, ο δειγματοχώρος είναι:.

Είναι σημαντικό να προσδιορίζουμε ποιος είναι ο δειγματοχώρος κάθε συγκεκριμένου πειράματος, αλλιώς κινδυνεύουμε να περιπέσουμε σε παράδοξα συμπεράσματα.

Όταν ένας δειγματοχώρος είναι πεπερασμένος ή αριθμήσιμος, ονομάζεται απαριθμήσιμος, ή διακριτός. Όταν είναι μη αριθμήσιμος, ονομάζεται συνεχής.

Μετά τον καθορισμό του δειγματοχώρου σε ένα πείραμα τύχης, κάθε γεγονός που σχετίζεται με το πείραμα αυτό μπορεί να παρασταθεί ως υποσύνολο του δειγματοχώρου. Για κάθε γεγονός ισχύει . Ο ίδιος ο δειγματοχώρος θεωρείται ότι είναι γεγονός, το οποίο μάλιστα πραγματοποιείται πάντα αφού όποιο και αν είναι το αποτέλεσμα του πειράματος θα ανήκει πάντα στο . Το γεγονός λέγεται βέβαιο γεγονός.

Εργοδικότητα

Στα μαθηματικά ο όρος εργοδικό χρησιμοποιείται για να περιγράψει ένα δυναμικό σύστημα το οποίο, σε γενικές γραμμές, έχει την ίδια συμπεριφορά με μέσο όρο τον χρόνο, καθώς και κατά μέσο όρο τον χώρο. Στη φυσική, ο όρος χρησιμοποιείται για να σημαίνει ότι το σύστημα πληροί την εργοδική υπόθεση της θερμοδυναμικής.

Θεώρημα Μπέυζ

Στη θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, το θεώρημα Μπέυζ (αγγλικά: Bayes) ή νόμος Μπέυζ ή κανόνας Μπέυζ, σχετίζει την τρέχουσα πιθανότητα με την αρχική πιθανότητα. Είναι σημαντικό στο μαθηματικό χειρισμό της υπό συνθήκη πιθανότητας.

Όταν εφαρμόζεται, οι πιθανότητες που χρησιμοποιούνται στο θεώρημα Μπέυζ μπορεί να έχουν διαφορετικές ερμηνείες. Σε μία από αυτές τις ερμηνείες, το θεώρημα χρησιμοποιείται άμεσα ως μέρος μιας συγκεκριμένης προσέγγισης της στατιστικής συμπερασματολογίας. Ειδικότερα, με την Μπεϋζιανή πιθανότητα, το θεώρημα εκφράζει το πως μια υποκειμενική άποψη θα πρέπει αναλογικά να αλλάξει οδηγώντας στην απόδειξη: αυτή είναι η συμπερασματολογία κατά Μπέυζ, η οποία είναι θεμελιώδους σημασίας στη στατιστική κατά Μπέυζ. Ωστόσο, το θεώρημα κατά Μπέυζ έχει εφαρμογές σε ένα ευρύ φάσμα υπολογισμών που αφορούν πιθανότητες, όχι μόνο στην κατά Μπέυζ συμπερασματολογία.

Το θεώρημα Μπέυζ πήρε το όνομα του έτσι από τον βρετανό κληρικό Τόμας Μπέυζ (1701–1761), ο οποίος πρώτος έδειξε τον τρόπο που χρησιμοποιούνται τα νέα στοιχεία για την ανανέωση των εκάστοτε πεποιθήσεων. Αυτό αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Πιερ Σιμόν Λαπλάς, ο οποίος πρώτος δημοσίευσε τη μοντέρνα διατύπωση το 1812 στο βιβλίο του Théorie analytique des probabilités. Ο Χάρολντ Τζέφρις (Harold Jeffreys) έθεσε τον αλγόριθμο του Μπέυζ και την διατύπωση του Λαπλάς σε αξιωματική βάση. Ο Τζέφρις έγραψε πως το θεώρημα Μπέυζ "είναι στη θεωρία πιθανοτήτων όπως αντίστοιχα το Πυθαγόρειο θεώρημα στη Γεωμετρία ".

Θεώρημα κεντρικού ορίου

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (αγγλικά: Central Limit Theorem) είναι ένα από τα πιο αξιοσημείωτα αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σύμφωνα με το θεώρημα, το άθροισμα ενός μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών ακολουθεί μία κατανομή η οποία προσεγγίζει την κανονική κατανομή.

Μέτρο πιθανότητας

Μέτρο πιθανότητας P ορίζεται μια συνολοσυνάρτηση από μια σ-άλγεβρα F στο R όταν ικανοποιούνται τα παρακάτω αξιώματα:

Μετρική Lévy–Prokhorov

Στα μαθηματικά, η μετρική Lévy-Prokhorov (μερικές φορές γνωστή απλά ως «Prokhorov μετρική) είναι μια μετρική (δηλαδή, ένας ορισμός απόστασης) της συλλογής των μέτρων στις πιθανότητες σε ένα δεδομένο μετρικό χώρο. Ονομάστηκε από το Γάλλο μαθηματικό Paul Pierre Levy και τον Σοβιετικό μαθηματικό Yuri Vasilevich Prokhorov. Ο Prokhorov την εισήγαγε το 1956, ως την γενίκευση της προηγούμενης Lévy μετρικής.

Νόμος των μεγάλων αριθμών

Ο Ισχυρός Νόμος των Μεγάλων Αριθμών (The Strong Law of Large Numbers) είναι ένα από τα πιο γνωστά αποτελέσματα της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Σύμφωνα με το θεώρημα κάτω από κατάλληλες υποθέσεις, ο δειγματικός μέσος μιας ακολουθίας ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν μία κοινή κατανομή συγκλίνει σχεδόν βεβαίως προς τον θεωρητικό μέσο (η μέση τιμή) της κατανομής.

Πείραμα τύχης

Ένα πείραμα τύχης ονομάζεται κάθε διαδικασία που εκτελείται (πείραμα), ή παρατηρείται (φαινόμενο) και στην οποίο το τελικό αποτέλεσμα είναι τυχαίο (όχι γνωστό εκ των προτέρων). Ακόμη, το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης είναι ανεξάρτητο, ιδανικά κατανεμημένο και δεν επηρεάζεται από τα αποτελέσματα των προηγούμενων εκτελέσεων ή παρατηρήσεων του πειράματος τύχης. Για παράδειγμα, η ρίψη ενός ζαριού, το πλήθος των παιδιών που κάνει μία οικογένεια, είναι κατά τη θεωρία πιθανοτήτων πειράματα τύχης.

Αυτό που χαρακτηρίζει ένα πείραμα τύχης είναι ότι μπορεί να επαναληφθεί κάτω από τις ίδιες συνθήκες πολλές φορές. Στην πράξη, η επανάληψη ενός πειράματος κάτω από τις ίδιες ακριβώς αρχικές συνθήκες είναι δύσκολη εώς αδύνατη. Είναι δυνατό να επαναλάβουμε πολλές φορές με τις ίδιες αρχικές συνθήκες τη ρίψη ενός ζαριού αλλά είναι αδύνατο να παρακολουθήσουμε την ίδια οικογένεια να ξαναζεί, για να μετρήσουμε πόσα παιδιά θα κάνει κάθε φορά. Θεωρούμε όμως τις διάφορες οικογένεις που ζουν στον ίδιο τόπο και χρόνο ως επαναλήψεις του πειράματος αυτού. Γενικά τη δυνατότητα επανάληψης ενός πειράματος τύχης κάτω από τις ίδιες συνθήκες, τη δεχόμαστε ως αξίωμα.

Το αποτέλεσμα ενός πειράματος τύχης λέγεται απλό γεγονός ή απλό ενδεχόμενο, και ένα σύνολο απλών γεγονότων λέγεται γεγονός ή ενδεχόμενο.

Πιθανότητα

Πιθανότητα είναι το μέτρο ότι ένα γεγονός θα συμβεί. Η πιθανότητα είναι ποσοτικά προσδιορισμένη ως νούμερο ανάμεσα στο 0 και το 1 (όπου το 0 υποδεικνύει αδύνατο και το 1 τη βεβαιότητα). Όσο μεγαλύτερη η πιθανότητα για ένα γεγονός, τόσο πιο σίγουροι είμαστε ότι το γεγονός αυτό θα συμβεί. Ένα απλό παράδειγμα είναι το πέταγμα ενός νομίσματος. Από την στιγμή που τα δύο αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά, η πιθανότητα της 'κορώνας' είναι ίδια με την πιθανότητα των 'γραμμάτων', έτσι η πιθανότητα είναι 1/2 (ή 50%) είτε για 'κόρωνα' είτε για 'γράμματα'.

Αυτές οι αντιλήψεις έχουνε δώσει μία αξιωματική μαθηματική επισημοποίηση στη θεωρία πιθανοτήτων (δες αξιώματα πιθανότητας), η οποία χρησιμοποιείται ευρέως σε ακαδημαϊκούς κλάδους όπως τα μαθηματικά, τη στατιστική, τα οικονομικά, τα τυχερά παιχνίδια, την επιστήμη (συγκεκριμένα στη φυσική), την τεχνητή νοημοσύνη, την επιστήμη των υπολογιστών και στη φιλοσοφία, για παράδειγμα, εξάγουμε συμπεράσματα για την αναμενόμενη συχνότητα των γεγονότων. Η θεωρία πιθανοτήτων χρησιμοποιείται επίσης για να περιγράψει την υποκειμενική μηχανική και τις ομαλότητες των πολύπλοκων συστημάτων.

Στοχαστικός πίνακας

Στα μαθηματικά, στοχαστικός πίνακας (επίσης λέγεται πίνακας μετάβασης, πίνακας αντικατάστασης ή Μαρκοβιανός πίνακας) είναι ένας πίνακας που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τις μεταβάσεις μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας. Έχει βρει εφαρμογή στη θεωρία πιθανοτήτων, τη στατιστική, τη γραμμική άλγεβρα και την πληροφορική. Υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί ορισμοί και τύποι στοχαστικών πινάκων.

Συνάρτηση κατανομής

Έστω ένας χώρος πιθανότητας και μια πραγματική τυχαία μεταβλητή πάνω σε αυτόν. Η συνάρτηση με

ονομάζεται συνάρτηση κατανομής (σ.κ., ή αθροιστική συνάρτηση κατανομής, α.σ.κ.) της τυχαίας μεταβλητής.

Για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που παίρνει τιμές x1, x2, ... με πιθανότητα p(xi) = P(Χ=xi) η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f η αντίστοιχη συνάρτηση κατανομής ισούται με

Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Αν η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μίας τυχαίας μεταβλητής είναι συνεχώς διαφορίσιμη, τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ορίζεται ως η παράγωγος της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής:

Μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας έχει τις εξής ιδιότητες:

Αντιστρόφως αν μία συνάρτηση ικανοποιεί τις δύο παραπάνω σχέσεις, τότε ορίζει ένα μέτρο πιθανότητας σύμφωνα με


Συνδυαστική

Η συνδυαστική είναι κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη των πεπερασμένων και των άπειρων αλλά μετρήσιμων διακριτών δομών. Πτυχές με τις οποίες ασχολείται η συνδυαστική περιλαμβάνουν την καταμέτρηση των δομών ενός δεδομένου είδους και μεγέθους( απαριθμήσιμη συνδυαστική), την απόφαση πότε μπορούν να πληρούν ορισμένα κριτήρια, την κατασκευή και την ανάλυση των αντικειμένων που πληρούν τα κριτήρια(όπως τα συνδυαστικά σχέδια και την θεωρία Μάτροϊντ ) την εύρεση "μεγαλύτερου", "μικρότερου" ή "βέλτιστου" αντικειμένου (συνδυαστική extremal και συνδυαστική βελτιστοποίησης) και την μελέτη συνδυαστικών δομών που προκύπτουν σε ένα αλγεβρικό πλαίσιο ή ερφαμόζοντας αλγεβρικές τεχνικές σε προβλήματα συνδυαστικής (αλγεβρική συνδυαστική).

Προβλήματα συνδυαστικής προκύπτουν σε πολλές περιοχές των καθαρών μαθηματικών, ιδίως στην άλγεβρα,θεωρία πιθανοτήτων,τοπολογία και την γεωμετρία και η συνδυαστική έχει επίσης πολλές εφαρμογές στη μαθηματική βελτιστοποίηση, επιστήμη των υπολογιστών, ergodic θεωρία και στατιστική φυσική. Πολλές ερωτήσεις συνδυαστικής ιστορίκα έχουν εξεταστεί μεμονωμένα, δίνοντας μια ad hoc λύση σε ένα πρόβλημα που ανακύπτει σε κάποιο μαθηματικό πλαίσιο. Μετά τον εικοστό αιώνα, ωστόσο έχουν ανατπυχθεί ισχυρές και γενικά θεωρητικές μέθοδοι,καθιστώντας την συνδυαστική ανεξάρτητο κλάδο των μαθηματικών από μόνη της, Ένα από τα παλαιότερα και πιο προσβάσιμα μέρη της συνδυαστικής είναι η θεωρία γραφών, η οποία έχει επίσης πολλές φυσικές συνδέσεις με άλλες περιοχές. Η συδυαστική χρησιμοποίειται συχνά στην επιστήμη των υπολογιστών για την απόκτηση φόρμουλων και εκτιμήσεων για την ανάλυση των αλγορίθμων.

Τυχαία μεταβλητή

Στη θεωρία πιθανοτήτων, μια τυχαία μεταβλητή είναι μια μεταβλητή που η τιμή της υπόκειται σε διακυμάνσεις λόγω τύχης. Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να πάρει ένα σύνολο δυνατών τιμών (παρόμοια με άλλες μαθηματικές μεταβλητές), σε κάθε μία από τις οποίες αντιστοιχεί μια πιθανότητα (για διακριτές τυχαίες μεταβλητές) ή μια πυκνότητα πιθανότητας (για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές).

Οι δυνατές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής μπορεί να αντιπροσωπεύουν τα πιθανά αποτελέσματα ενός πειράματος που πρόκειται να πραγματοποιηθεί ή που έχει πραγματοποιηθεί αλλά το αποτέλεσμά του είναι αβέβαιο (για παράδειγμα λόγω έλλειψης πληροφορίας ή μη ακριβούς μέτρησης).

Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να είναι διακριτή, δηλαδή να έχει πεπερασμένο ή αριθμήσιμο πλήθος δυνατών τιμών, ή συνεχής, δηλαδή να μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή σε ένα διάστημα αριθμών (ή ένωση διαστημάτων). Για διακριτές τυχαίες μεταβλητές, η συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνει την πιθανότητα κάθε δυνατής τιμής. Για συνεχείς μεταβλητές, όπου δεν έχει νόημα να μιλάμε για πιθανότητα μιας μεμονωμένης τιμής, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ή η αθροιστική συνάρτηση κατανομής μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογιστεί η πιθανότητα η τιμή να βρίσκεται σε κάποιο διάστημα. Μια τυχαία μεταβλητή μπορεί επίσης να είναι ένας συνδυασμός μιας διακριτής και μιας συνεχούς μεταβλητής.

Ο αυστηρός ορισμός των τυχαίων μεταβλητών γίνεται με όρους της θεωρίας μέτρου και επιτρέπει την ύπαρξη τυχαίων μεταβλητών που δεν έχουν στοιχεία ούτε συνεχούς ούτε διακριτής μεταβλητής.

Τύχη

Τύχη είναι η υποτιθέμενη «δύναμη» που αποδίδεται σε έμψυχα ή άψυχα αντικείμενα και η οποία είναι σε θέση να επηρεάσει, πέρα από τον έλεγχο του ανθρώπου και τους φυσικούς νόμους του σύμπαντος, γεγονότα και καταστάσεις ώστε να έχουν θετική κατάληξη. Στην αρχαιότητα η τύχη ήταν θεά, κόρη του Ερμή και της Αφροδίτης, και λατρευόταν από τους αρχαίους έλληνες ως προστάτιδα των πόλεων. Η αντίστοιχη ρωμαϊκή θεότητα ονομαζόταν Φορτούνα.

Η αντίθετη έννοια της τύχης, είναι η ατυχία. Ετυμολογικά, πλην της ατυχίας, προκύπτει και μία σειρά λέξεων, όπως ευτυχία, δυστυχία, ατύχημα, δυστύχημα, τυχοδιώκτης, το επίρρημα τυχόν κλπ.

Χώρος πιθανότητας

Με τον όρο χώρος πιθανότητας εννοούμε την τριπλέτα όπου είναι το σύνολο όλων των πιθανών ενδεχομένων, είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του και είναι ένα μέτρο πιθανότητας.

Η σ-άλγεβρα περιέχει όλα τα γεγονότα που «μπορούμε» να παρατηρήσουμε. Για παράδειγμα, η σ-άλγεβρα δηλώνει ότι το μόνο που μπορούμε να παρατηρήσουμε είναι αν κάτι συμβαίνει ή δε συμβαίνει τίποτε. Η σ-άλγεβρα δηλώνει ότι μπορούμε να παρατηρήσουμε αν το γεγονός A συνέβη ή δε συνέβη ή αλλιώς αν συνέβη «κάτι» ή τίποτε. Όσο περισσότερα στοιχεία περιλαμβάνει η , τόσο πιο ευαίσθητη μπορεί να είναι η παρατήρησή μας σχετικά με τα γεγονότα που λαμβάνουν χώρα.

Περιοχές των μαθηματικών

Άλλες γλώσσες

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.