Теория на игрите

Теория на игрите е клон от приложната математика, или по-точно дял от нея, за изследване на операциите, който изучава стратегически математически модели и взимането на решения в конфликтни ситуации. Конфликтни са ситуациите, при които има две враждуващи страни с противоположни цели. При това, резултатът от всяко действие на едната страна зависи от начина на действие на противоположната страна. Примерите за конфликтни ситуации са многобройни. Класически пример в това отношение са военните действия. Редица ситуации в областта на икономиката (особено при наличие на свободна конкуренция) са конфликтни ситуации, в които играчите избират различни ходове, опитвайки се да максимизират възнаграждението си. Участващите в конфликта страни се наричат играчи. Ефективността на решенията на всеки играч зависи от неизвестните решения на останалите играчи и от други обстоятелства.

Видове игри

Според броя на участващите играчи, игрите са: с двама, с трима играчи и т.н. При игри с повече от двама играчи са възможни коалиции, които действат като един играч. Теорията на игрите изследва образуването на такива коалиции и разпределянето на общата печалба между тях.

Ако броят на различните действия, които играчите могат да предприемат, е краен, играта се нарича крайна; в противен случай тя е безкрайна.

Добре разработена е теорията на матричните игри. Под матрична игра се разбира крайна игра с двама играчи и нулева сума, където платежната функция е дадена във вид на матрица. Тези матрични игри се решават със средствата на линейното оптимиране.

Някои основни понятия

Основно понятие в теорията на игрите е печалбата на всеки играч. Загубата се приема за отрицателна печалба. Ако сумата от печалбите на всички играчи в една игра е постоянна (нула), говорим за игра с постоянна (нулева) сума.

Целта на играча и по-специално неговият начин на действие за постигането ѝ е стратегията на играча. Теорията на игрите доказва съществуването на оптимални стратегии и създава методи за намирането им.

За да може една игра да се подложи на математически анализ, трябва точно да се формулират правилата на играта. Те представляват система от условия, които определят възможните действия на играчите, обема на информацията на всяка страна за поведението на другата, редуването на ходовете, а също и резултата, до който довежда дадена съвкупност от ходове. Този резултат обикновено се изразява количествено – с число.

Ходовете на играчите са лични или случайни. За да бъде играта математически определена, в правилата на играта за всеки случаен ход трябва да бъде посочено разпределението на вероятностите за възможните изходи.

Мини-максна процедура

В рамките на теорията на игрите са разработени редица алгоритми или "стандартни решения" за победа. Най-популярна е системата за победа при игра между двама играчи, наречена мини-максна процедура. Тя е базирана на идеята, че всеки играч играе най-добре. Ето накратко как се прилага тя: Да приемем, че всеки играч при всеки ход има краен брой избори за ход. След неговия ход, какъвто и да е той, противникът му също има краен брой избори. Да приемем също, което е вярно за повечето игри, че рано или късно играта винаги свършва с нечия победа. Тогава може да напишем всички възможни ходове на играта с всичките ѝ възможни изходи. Да приемем, че ние започваме и на всеки възможен краен изход слагаме оценка, показваща колко е печеливш за нас този резултат. Получава се дървовидна структура с нива – изборите на всеки играч, и листа – крайните оценки. Сега, тръгвайки от листата, може да оценим междинните състояния – ако на ход сме ние, текущото състояние има за оценка най-високата от оценките на следващите (защото ние искаме да спечелим), ако на ход е противникът, текущото състояние има за оценка най-ниската от следващите (защото той иска да спечели, т.е. ние да загубим). Така цялото развитие на играта е оценено. Оттук нататък стратегията за нас е да избираме винаги следващ ход с най-висока оценка.

Тази стратегия има редица критики и доводът, че играта може да не завърши никога, не е основателен. Такива игри са редки, неинтересни и често водят до алтернативни решения, за които подходът е принципно неприложим. Подобни "непечеливши стратегии" са известни още като "политическо решение" или "компромис". Подобни резултати се получават и при патови игри с гарантиран непобедител. Най-популярната е tic-tac-toe ("Хикс и о"). При такива игри математиката може да помогне малко – до чиста или някаква победа водят само преговори за реми или груба грешка на противника.

Основните критики на мини-максната процедура са огромното дърво на решенията, което повечето игри генерират, и сложният критерий за оценка на крайните състояния. Например, шахматът има много прост критерий за оценка на крайните състояния (победа, загуба и реми = 1, -1, 0), но толкова огромно и сложно дърво на изборите, че никой съвременен суперкомпютър не може да го изчисли. Повечето военни игри пък имат невероятно сложна система за оценка на крайните състояния.

За оценка на крайните състояния се прилагат различни евристични оценки и модели, докато за ограничаване размера на дървото на ходовете на практика се прилагат променени версии на алгоритъма, основно базирани на генериране на дървото, до някакво ниво и оценка на така получените крайни резултати. Естествено, оценката на тези крайни резултати не е лесна, защото те са междинни резултати в цялостното дърво на решенията.

Друг източник за критика на метода е "човешкият фактор", т.е. доколко умишлено допуснати грешки на единия играч водят до стратегически важни грешки на другия играч. Този напълно безсмислен за абстрактната математика параметър винаги е бил основен в човешката история. Например Ханибал имитира пробив на центъра на войската си по време на битката при Кана, който подтиква римляните към бърза атака, в резултат на което те дори не забелязват, че са обкръжени, и след това унищожени.

Развита първоначално като средство за обяснение на икономическото поведение, теорията на игрите сега се използва в много различни научни области от биология до философия. Тя се развива съществено и е формализирана за първи път от Джон фон Нойман и Оскар Моргенщерн преди и по време на Студената война, главно заради приложението си във военната стратегия, особено понятието за взаимно гарантирано унищожение. От 70-те години на миналия век теорията на игрите се прилага към поведението на животните, включително развитието на видовете чрез естествен отбор. Заради интересни игри като дилемата на затворника, при които взаимната корист е във вреда на всички, теорията на игрите е използвана в етиката и философията. Наскоро тя привлече вниманието на информатиците, поради прилагането ѝ в изкуствения интелект и кибернетиката.

Освен научния интерес, теорията на игрите е обект на внимание и в популярната култура. Животът на лауреата на Нобелова награда и специалист в областта на теорията на игрите Джон Наш е тема на игралния филм от 2001 г. „Красив ум“. Няколко телевизионни игри използват ситуации от теорията на игрите.

Дърво на решенията

Дърво на решенията е метод за класифициране на данни чрез въпроси и отговори.

Използва се като техника в изкуствения интелект и в анализа на операциите (по-точно в теорията за взимане на решения).

Ефективност на Парето

Ефективност на Парето или оптималност на Парето е концепция в икономиката с приложения в теория на игрите, инженерните и социалните науки. Терминът е по името на Вилфредо Парето, италиански икономист, който използва концепцията в неговите изследвания на икономическата ефективност и разпределение на приходите.

При дадени алтернативни разпределения на ресурсите и определен брой участници, ако не е възможно действие, при което пазарното положение на поне един участник да се подобри, без това да доведе до влошаване на пазарното положение на друг негов конкурент, това се нарича „ефективност на Парето“ или ефективност на разпределението. "Ефективността на Парето" е всъщност икономическата ефективност, която се различава от техническата. За техническа ефективност в икономиката се говори, когато при пълна заетост и потенциален обем на производството, нарастването на произведените количества от дадена стока стават винаги за сметка на произведените количества от друга стока. Фундаменталният икономически проблем "Как да се произвежда?" се свежда до постигане на техническата и икономическа ефективност, пълна заетост на ресурсите и потенциален обем на производството.

Игра

Играта е физическа или интелектуална форма на организирана по някакви правила социална или индивидуална дейност. Този вид занимание съществува от дълбока древност и се осъществява с цел забавление, отмора, закаляване на тялото или упражняване на умствените способности, с познавателна цел, печелене на пари посредством залози или за сплотяване на дадена общност.

Повечето игри имат ясно зададени правила и цели, които трябва да се спазват от играчите. Често се използват определени предмети (карти, табла, стикове, пионки, ракети, топка, кегли, компютър, лист хартия) и определени места (игрища, плувни басейни, казина, площадки, пясъчници), но за някои видове игри това не е задължително (например при игрите на думи).

Игра с нулев резултат

Игра с нулев резултат (на английски: zero-sum game) е понятие от теория на игрите и икономическата теория, с което се дава математически израз на ситуация, в която печалбата или загубата на стойност за всеки участник („играч“) точно се уравновесява със загубите или печалбите, съответно, на другите участници. Ако общите печалби на участниците се сумират и от тях се извадят общите загуби, сумата им ще бъде нула, т.е. свойството на този вид игра (ситуация) е, че, ако един печели, друг задължително ще губи.

Например, при разделяне на една торта, вземането от страна на един участник на по-голямо парче ще намали количеството торта за другите участници и това е пример за игра с нулев резултат, ако всички участници ценят всяко парче торта по един и същ начин. За отбелязване е, че тортата не може да увеличи обема си чрез преговори между играчите.

За сравнение, игрите с ненулев резултат (на английски: non-zero-sum) описват ситуации, в които взаимодействащите си играчи реализират печалби и загуби, които сумарно могат да са повече или по-малко от нула. Игрите с нулев резултат още се наричат строго конкурентни игри, докато игрите с ненулев резултат могат да са както базирани на конкуренцията, така и на сътрудничеството. Игрите с нулев резултат най-често се решават с използване на минимаксната теорема, която е тясно свързана с дуалността в линейното програмиране или с равновесието на Наш. Всеки резултат от такава игра е оптимален по Парето, а като цяло игри, в които стратегиите за решение са оптимални по Парето, се наричат „конфликтни игри“.

Икономика (наука)

Икономиката е социална наука, която изучава производството, разпределението, търговията и потреблението на стоки и услуги.

Икономиката се опитва да обясни как икономиките работят и как икономическите агенти си взаимодействат. Тя е наука за субектите и обектите на икономическия живот, наука за рационалното използване на оскъдните земни ресурси , наука за поведението и решенията на стопанските субекти, които лежат в основата на икономическия живот на обществото.

Общи разграничения са правени между различни аспекти на икономиката: между позитивна икономика, описваща „какво е“ и нормативна икономика, защитаваща „как трябва да е“, между мейнстрийм икономиката или наричана „ортодоксална“, която се занимава с „връзката рационалност-индивидуализъм-равновесие“ и хетеродоксалната икономика, или „радикална“, която се занимава с „връзката институции-история-социална структура“ Все пак основното разграничение, което е налично в учебниците по икономика е между микроикономика, което разглежда икономическото поведение на агентите, вкл. индивиди и фирми, консуматори и производители, и макроикономика, която разглежда въпроси като безработица, инфлация, икономически растеж, монетарна и фискална политика за цялата икономика. Друго разграничение е например между теоретичната и приложната икономика.

Според традицията на науката икономическите процеси най-често се разглеждат като протичащи в пазарна среда. Съществуват и множество алтернативни подходи, като например политикономията.

Икономически агент

Агент или актьор в икономиката е действащо лице, което взема решения в модел. Обикновено всеки агент решава оптимизации или проблеми за избор, които може да са добре или недобре дефинирани. Терминът агент може да бъде разглеждан като играч в теория на игрите.

В агентно-базираната компютърна икономика концепцията за агент е по-обширно интерпретирана като всеки индивид, в социален или биологически аспект, взаимодействащ с други агенти в определен контекст на динамична много-агентна икономическа система.

Кибернетика

Кибернетиката е наука, изучаваща системите с изкуствен интелект и свързаните с тях закони за получаване, съхраняване и предаване на информацията. Според основателя си Норберт Винер това е наука, която изучава управлението и регулирането на машините, живите организми и социалните структури и се описва с формулата „Изкуство на управлението“.

Представката „кибер-“ се използва в думи, които имат отношение към механичен или електронен механизъм или система, способна да дава обратна връзка. Използва се и като популярен разговорен термин, обозначаващ всичко свързано с компютрите, интернет и техните производни (например киберпънк, кибернастаняване и др.).

Типичен пример за кибернетична система е термостатът. Той сравнява действителната стойност на температурата със зададената стойност. При наличие на разлика се задейства поредица от стъпки, с които нагряването се регулира така, че тези температури да се изравнят.

Коалиция

Коалиция се нарича такова сдружение, по време на което участниците действат заедно за постигане на дадена цел, но водени всеки от собствения си интерес. Такова сдружаване може да е временно и е въпрос на удобство за участващите страни.

Математик

Математикът е учен, който се занимава с изучаване и научни изследвания в областта на математиката. Хора, които използват математиката в други области, специфично на бита, но не допринасят директно към нея, обикновено не се считат за математици, макар че днес много математици работят в интердисциплинарни научни области, които са силно гранични на математиката, като например математическата икономика .

Ограничена рационалност

Ограничена рационалност е идеята, че при взимането на решения индивидите са ограничени в няколко аспекта – притежавана информация, когнитивните възможности на тяхното мислене и времето за взимане на решение. Тя е предложена от Херберт Саймън като алтернативна основа за математическото моделиране на взимането на решения, което се използва в икономиката и свързаните с нея дисциплини, като допълва идеята за рационалността като оптимизация, която гледа на взимането на решения като напълно рационален процес на намиране на оптималния избор, даден от наличната информация. Всъщност Саймън посочва, че повечето хора са само отчасти рационални, а иначе емоционални / ирационални във взимането на техните решения.

Ограничена рационалност заема централно място в бихейвиористичната икономика.

Парадокс на Браас

Парадоксът на Браас е явление, при което добавянето на нова връзка в дадена мрежа може да доведе до влошаване на пропускливостта на цялата (или голяма част) от мрежата. Парадоксът е открит от германския математик Дитрих Браас през 1968 г.

В първоначалния си труд Браас изследва парадоксалната ситуация, при която изграждането на нова улица (т.е. локално увеличение на капацитета на една мрежа) води до удължено време на пътуване за всички участници в движението (т.е. капацитетът на мрежата се намалява). Приема се, че всеки участник в движението избира маршрута си така, че да няма друг маршрут с по-кратко време за пътуване.

Предимство на първия ход в шахмата

Предимството на първия ход в шахмата е присъщата изгода на играча (с белите фигури), който прави първия ход в шахматната партия. Шахматисти и теоретици като цяло са на мнение, че започването на играта от белите е свързано с въпросното предимство. Съставяната от 1851 г. насетне статистика подкрепя тази гледна точка; белите печелят малко по-често, отколкото черните, обикновено в между 52 и 56 на сто от случаите. Печелившият процент на белите е приблизително еднакъв за турнири между хора и турнири между компютри. Въпреки това, предимството на белите е по-незначително в блиц партии и игри между новаци.

Шахматисти и теоретици отдавна спорят как би завършила дадена партия в случай на перфектна игра и от двете страни – дали с победа за белите или с равенство. От около 1889 г., когато световният шампион Вилхелм Щайниц повдига този въпрос, преобладаващото мнение е, че идеално изиграната партия би трябвало да завърши реми. Въпреки това, някои от изтъкнатите играчи смятат, че предимството на белите с първия ход ще бъде достатъчно, за да спечелят играта: Уивър Адамс и Всеволод Раузер твърдят, че белите печелят след първи ход 1.е4, докато Ханс Берлинер твърди, че 1.д4 е печелившият ход на белите.

Със задълбочаването на шахматния анализ някои играчи, включително световни шампиони като Хосе Раул Капабланка, Емануеле Ласкер, и Боби Фишер, изразяват опасения за „вечно реми“. За да се избегне тази опасност и Капабланка, и Фишър предлагат шахматни вариации, за да поднови интереса към играта. Ласкер предлага да се променят точковите правила при реми и пат.

От 1988 г. насам шахматните теоретици оспорват вече установените мнения за предимството на белите. Гросмайстор (ГМ) Андраш Адорян пише поредица книги върху темата, че „Черните са ОК!“, като твърди, че общото виждане за предимството на белите основава повече на психологията, отколкото на реалността. Гросмайстор Михай Суба и други застъпват мнението, че понякога инициативата на белите се губи без видима причина, тъй като играта прогресира. Преобладаващият стил на игра на черните днес е търсенето на динамични, небалансирани позиции с активна контраигра, а не просто опит да се изравни ситуацията.

Модерните автори също смятат, че черните притежават определени предимства на контраигра. Консенсусът, че белите трябва да играят за победа, може да се окаже психологическо бреме за играча с белите, който понякога губи, опитвайки да спечели на всяка цена. Някои симетрични дебюти (онези, при които играчите извършват еднакви ходове) могат да доведат до ситуации, в които да местиш пръв е вредно, независимо дали пореди психологически или обективни причини.

Равновесие на Наш

В теория на игрите равновесието на Наш е концепция за решението на игра, включваща двама или повече играчи, при което всеки от играчите знае равновесните стратегии на другите играчи и никой от играчите не може да спечели преднина, ако промени едностранно само собствената си стратегия. Решението носи името на американския математик Джон Нaш, който първи го идентифицира като важна постановка в теория на игрите.

Накратко, А и Б се намират в равновесие на Нaш ако А следва най-благоприятната за себе си стратегия, предугаждайки действията на Б, а Б следва най-благоприятната за себе си стратегия, предугаждайки действията на А. Често до равновесие на Наш достигат компаниите, които се конкурират активно на свободен от картели и монополи пазар.

Обаче равновесието на Наш не води непременно до най-благоприятен изход за всички участници в играта. Класически пример за субоптимален изход при равновесие на Наш е дилемата на затворника. В много случаи играчите биха могли да подобрят изхода от играта за себе си, ако се координират и споразумеят да следват стратегия, различна от равновесието на Наш. Например конкуриращи се фирми могат да формират картел, за да увеличат печалбите си.

Секретност

Секретността е държане в тайна на определена информация от определени групи, като в същото време секретната информация е споделяна, но само с определен тип индивиди и групи.

В биологиятаЖивотните крият локацията на своята хралупа или гнездо (при птиците) от хищници. Катериците например правят това с лешници, като по този начин ги скриват, и после те се опитват да си припомнят тяхната локация.

При хоратаХората обикновено крият лични или семейни тайни от срам или страх. Страхът може да е свързан със страх от неприемане и отхвърляне от другите, насилие и други.

В теория на игритеВ теория на игрите, пазенето на стратегическа тайна е съществено в множество аспекти на игровите ситуации.

Дискретност и конфиденциалностДискретността е внимателното споделяне на информация, запазването ѝ в тайна от някои или споделянето ѝ при обстоятелства, които да не доведат до разкриването ѝ пред други лица.

СподелянеВ антропологията споделянето между мъжете и жените е един от традиционните начини за установяване на връзка.

Държавна тайнаПравителствата и държавните органи често запазват определен тип информация скрита от своите граждани като военна и дипломатическа информация, тайни придобити чрез разузнаването и т.н.

Корпоративна сигурностКорпорациите в някои случаи запазват тайни, свързани с тяхната конкурентоспособност, тоест тайни от конкурентно предимство за тях, а в други случаи това са престъпни тайни.

Технологична секретностТук техники са физическата сигурност и криптографията.

Статистика

Статистиката е математическа дисциплина, която изучава добиването на информация чрез анализ и интерпретация на емпирични данни, използвайки теорията на вероятностите. Статистическата дейност включва също планирането и организирането на събирането на данни чрез проучвания и експерименти. Статистиката възниква във връзка с нуждите на емпиричната наука и се отличава от повечето клонове на математиката по своята приложна насоченост. Статистически методи се прилагат в широк кръг области, като природните и обществени науки, държавното управление и бизнеса.

Една от основните подобласти на статистиката е описателната статистика, която се занимава с обобщаването на систематизирани данни. То е от особена важност при емпиричните изследвания и описването на резултати от експерименти. Чрез методите на статистиката данните могат да бъдат анализирани, като се отчита случайността и несигурността на наблюденията, и въз основа на това да се правят изводи за съдържащи се в тях закономерности.

Теория на обществения избор

Теорията на публичния избор или публичният избор е използването на икономически средства за справяне с традиционните проблеми на политическата наука, включително и политическото поведение. В рамките на политологията теорията на публичния избор е подраздел на позитивната политическа теория, която разглежда гласоподавателите, политиците и бюрократите като основни заинтересовани страни. По-специално, тя изучава тези деятели и техните взаимодействия в социалната система или като такива, или като възникнали под въздействието на алтерантивни законни принципи (правила). Те може да бъдат представени по различни форми, някои от които са максимизирането на полезността при нормални ограничения (бюджетно ограничение например), теория на игрите или теория на решенията. Анализът на публичния избор споделя черти на позитивния анализ („какво е“), но често се проявява и като нормативен („какво трябва да е“), за да установи проблем или да предостави възможно решение за това как системата би могла да бъде подобрена чрез промени в конституционните разпоредби, което е и предмет на конституционалната икономика.

Трагедията на общите блага

Трагедията на общите блага (на английски: Tragedy of the commons) е икономическата теория, която описва ситуацията в рамките на една система на споделени ресурси, в която индивидите, действащи независимо според собствените си интереси, с поведението си застрашават общото за всички индивиди благо, като го изчерпват или влошават качеството му посредством колективните си действия.

Понятието и терминът произлизат от есето от 1833 година на викторианския икономист Уилям Форстър Лойд, който използва хипотетичния пример с ефекта от нерегулираното потребление за пасище на общите земи на едно селище (тогава наричани разговорно „the commons“). Столетие по-късно понятието придобива широка гражданственост благодарение на есето на еколога Гарет Хардин от 1968 година. В този контекст „commons“ се приема в значението на всякакви ресурси, чието потребление не се регламентира, например атмосферата, океаните, реките, рибните пасажи, включително и общия офис хладилник. С термина „трагедията на общите блага“ се описва проблем, при който всички индивиди имат равен и безпрепятствен достъп до ресурс, като в литературата се среща аргументацията, че по-точен е терминът „трагедията на нерегламентирано ползваните общи блага“. На български се среща и като „трагедия на общата собственост“, „трагедия на общите ресурси“ и други.

Трагедията на общите блага често се цитира във връзка с устойчивото развитие, намирането на баланс между икономическия растеж и защитата на природата, както и при дебата относно глобалното затопляне. Използва се и при анализирането на поведението на индивидите в икономиката, еволюционната психология, антропологията, социологията, теорията на игрите, политиката, данъчното облагане.

Формални науки

Формалните науки са дисциплини, занимаващи се с формални системи, като логика, математика, теоретични компютърни науки, теория на информацията, теория на игрите, теория на системите, теория на решението, както и части от лингвистиката.

Докато природните науки и други науки като социалните науки, поведенческите науки и когнитивната наука търсят научната теория и научния метод по отношение на наблюденията, за да могат успешно да предскажат и може би точно да обяснят явленията във външния свят, формалните науки се занимават повече с вътрешните свойства на формалните системи, особено определенията на термините и правилата, които спомагат да се правят изводи.

Формалните науки понякога подпомагат изграждане, оценка и тестване на научни теории и научни модели, обаче чрез разкриване на несъответствия или невалидни форми на изводи.

Хуго Щайнхаус

Ху̀го Дионѝзи Ща̀йнхаус (на полски: Hugo Dionizy Steinhaus) е полски математик от еврейски произход, професор в университет „Ян Кажимеж“ и Вроцлавския университет, съосновател на Лвовската математическа школа, съосновател и редактор на списание „Studia Mathematica“, афорист, Член на Полската академия на изкуствата и Полската академия на науките.

Автор на редица трудове в областта на теория на игрите, функционалния анализ, топологията, теория на множествата, тригонометричните редове, ортогоналните редове, теория на реалните функции, както и приложения и популяризиране на математиката.

На други езици

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.