Математика

Математика (на старогръцки: μάθημα, матема – знание, изучаване, учене) е изучаването на области като количествата (т.е. числата) [1], пространствените структури [2], типовете пространство [1] и извършването на изчисления [3][4][5]. Сред математиците и философите съществуват най-разнообразни мнения по въпроса какво изучава математиката, от което произтичат различните определения на тази наука [6][7].

Pure-mathematics-formulæ-blackboard
Формули

Дефиниции

Основна статия: Дефиниции за математика

Аристотел определя математиката като „наука за количеството“. Тази дефиниция е доминираща до 18 век. [8] През 19 век в математиката все по-дълбоко навлиза формализмът и се появяват абстрактни раздели като теорията на групите и проективната геометрия, които нямат пряка връзка с измерването на количества. Възникналите клонове на математиката не се вместват в класическото определение, затова математици и философи предлагат различни нови дефиниции. [9] Някои от тези дефиниции наблягат на дедуктивния характер на математиката, някои – на нейната абстрактност, а други конкретизират определени области от математиката. Понастоящем няма всеобщо приета дефиниция за математика; разминават се мненията дори на професионални математици. [6] При все че математиката е строга наука, тя има и естетическа страна, която я сродява с изкуството. Това разнообразие кара много математици да преустановят всякакви опити за дефиниране на математиката, тъй като я намират за недефинируема, използвайки израза: „Математиката е това, което математиците правят.“ [6]

Математиката е тясно свързана с изкуството. Само чрез познаване на пропорции, перспектива и симетрия може се създаде произведение на изкуството. Пример за това е гениалният Леонардо да Винчи, който се е занимавал със математическо систематизиране на природата. Показателна е скицата му Витрувиански човек, където описва пропорциите в човешкото тяло, както и терминът, който въвежда – Златно сечение.

Етимология

Думата матема̀тика произлиза от старогръцката дума μάθημα (ма̀тема), която означава „наука, знание, познание“, но още в Древна Гърция се използва и в смисъла на „математическа наука“. Прилагателното μαθηματικός (математикòс) означава „свързан с учението“, но също и „математически“. До около XVII век в Европа под „математика“ повече се е разбирало това, което днес наричаме астрология, но с повишаването на научната ѝ приложимост тя започва да се разглежда самостойно, като дори след време Гаус (1777 – 1855 г.) я нарича „кралицата на всички науки“.

История и развитие

Възникване

Известни елементарни представи за количеството и за пространствените форми вероятно са били достояние на човешкия род още от неговата поява. Най-простите операции от този тип (сравняване на разстояния, установяване на липса на предмет сред малка група от предмети) са по силите дори на висшите животни. В процеса на развитие на човека тези първоначално прости представи са се обогатявали и усложнявали. На даден етап е възникнала нуждата от оформянето им в понятия и подреждането на натрупаните знания в стройна система.

Математиката като наука възниква с появата на цивилизования начин на живот през IV-III хил. пр. Хр. Но дори преди този период хората са имали нужда да отброяват разни неща, което съдим по намерени при разкопки сметала, направени от кости.

Първата по-сериозна математика се развива в Древен Египет, Месопотамия и в долината на Инд. На тези места сезонното поведение на големите реки Нил, Тигър и Ефрат и Инд позволява развитието на уседнал, земеделски начин на живот. Това обаче подтиква развитието на астрономията, за да се следи времето и хората да знаят кога да засаждат и прибират реколтата, на аритметиката и на геометрията, които са били нужни за целите на данъчното облагане, строителството, а по-късно намират приложение и във военното дело и изкуството. От тази епоха датират най-древните математически писмени трудове, сред които се открояват вавилонската глинена плочка Plimpton 322 и Райдонския египетски свитък.

Античен и средновековен период

Rhind Mathematical Papyrus
Египетски математически папирус Ринд

По време на египетско-месопотамския период се развиват особено аритметиката, астрономията и простата геометрия. Основен проблем през този период е, че повечето математически резултати се използват наизуст (без доказателства). Първият систематично издържан подход към математиката прилагат древните гърци. Тяхна заслуга е схващането да се използва система от утвърдени „истини“, наричани аксиоми, въз основа на които се доказва верността на по-сложни твърдения, наричани теореми. Древните гърци развиват значително геометрията, стереометрията, теорията на числата, комбинаториката и „диофантовата“ алгебра. Един от най-важните трудове от тази епоха е „Елементи“ на Евклид от Александрия, както и идеите на Архимед, някои от които са предшественици на математическия анализ.

С възхода на Римската империя и теологичните противоборства в нейните рамки, както и с увеличаването на нашествията на варварски народи към Европа, математиката в елинския свят замира. Центърът на развитие се пренася на Изток – в Китай и Индия, а по-късно – и в мюсюлманския свят. Най-важното нововъведение на тази школа е използването на така наречените арабски цифри (в това число и цифрата нула), които всъщност са изобретени от индийците. Преди това математиката е приличала повече на съчинение, където всичко е било обяснявано с думи, така че новият подход с използването на позиционната система значително улеснява извършването на тривиални (от съвременна гледна точка) сметки. През IX век арабите поставят и основите на алгебрата в познатия ни днес вид като наука, която се стреми да решава абстрактни задачи и да създава абстрактни модели на често срещани конкретни математически зависимости.

Ренесанс и Просвещение

През XIV-XV век в Европа се развиват търговията и икономиката, което дава тласък на изкуството, философията и предприемачеството. Образува се средна класа и отслабва влиянието на Църквата върху обществото. Всичко това оказва влияние върху развитието на науката, в частност математиката.

Големите научни открития

През XVI-XVII век се развива астрономията, описано е движението на видимите по онова време планети, а Декарт полага основите на аналитичната геометрия, чрез която орбитите на планетите били изразени с математически формули. По-късно Нютон и Лайбниц поставят основите на диференциалното и интегралното смятане, Нютон формулира основните закони на механиката и чрез тях дава математическо обяснение на движенията на планетите. Този напредък в разбирането на Вселената с помощта на логически издържан математически апарат спомага за развитието на математиката, физиката и техниката през следващите векове.

Индустриалната революция

През XVIII и началото на XIX век са положени основите на функционалния анализ (от Ойлер и братята Бернули), теорията на групите (от Абел и Галоа), вариационното смятане (от Ойлер и Лагранж), хармоничния анализ (от Фурие), статистиката и теорията на вероятностите (от Лаплас), диференциалната геометрия (от Риман и Гаус), неевклидовата геометрия (от Лобачевски и Бояй), топологията (от Поанкаре) и др.

Съвременна математика

19 век

През 19 век математиката става все по-абстрактна. Това е времето, в което живее и работи Карл Фридрих Гаус (1777 – 1855). Като оставим настрана множеството негови приноси към науката, в чистата математика той прави революционната работа по функции от комплексни променливи в геометрията и върху конвергенцията на числови редове. Той дава първото задоволително доказателство на Основната теорема на алгебрата и на квадратичния закон за реципрочност.

През този век са развити две форми на неевклидова геометрия, при които постулатът за успоредност не е валиден.

Заедно с откритията в електрониката, машиностроенето и медицината този научен потенциал води до забележителното технологично развитие през 19 – 20 век, но и позволява практическото осъществяване на ужаса на двете световни войни.

20 век

Влияние върху развитието на математиката през 20 век оказва докладът на Давид Хилберт от 1900 година, в който той формулира 23 нерешени проблема. Част от тях са решени. През 1929 г. Андрей Николаевич Колмогоров предлага аксиоматизация на теорията на вероятностите. Важни резултати в математическата логика и постига Курт Гьодел. В края на века е доказана и Великата теорема на Ферма.

Four Colour Map Example
Карта, илюстрираща Четирицветната теорема

След появата на компютъра, интернет и възможностите за съвместна работа на огромен брой учени, в развитието на математиката все повече се разчита на изчислителната мощ на съвременните компютри и на колективната работа в екип. Така например през 1976 е доказана с помощта на компютър теоремата за оцветяване на равнинна карта само с четири цвята, а в периода 1995 – 2004 екип от повече от 100 учени успяват да направят класификация на крайните прости групи.

21 век

През 2000 Математическият институт „Клей“ обявява седем Награди за решения на задачи на хилядолетиято (за решаването на която и да е от тях институтът предлага по 1 млн. долара), и през 2003 е доказана Хипотезата на Поанкаре от Григорий Перелман (който отказва да приеме наградата, тъй като е критичен към статуквото в математиката).

Днес повечето списания по математика имат своите онлайн версии и издания, освен хартиените издания, а много списания започват да бъдат издавани само онлайн. Има и засилен стремеж за свободно публикуване (под свободен лиценз), за първи път популяризирано от arXiv.

Математически език и подход на разсъждаване

Език на математиката

Езикът на математиката се развива заедно със самата наука. Така например древногръцката математика използва думи и изречения, за да изкаже каквото и да е математическо твърдение. Впоследствие обаче индо-арабската школа въвежда използването на символи, които се съчетават в математични изрази, наричани формули. Към началото на 21 век вече се е установило като правило, че с буквите от началото на латиницата се обозначават параметри (например коефициентите на полином или страните на многоъгълник), а с буквите от края на латиницата – неизвестни величини; гръцките букви се използват в геометрията за обозначаване на ъгли, отношения и др. Тези неписани правила са въведени през XVIII век от Ойлер.

Символи се използват и за да заместват думи или цели изрази. Например символът ∈ в теорията на множествата означава „принадлежи на“, ∃ замества „съществува“, ⇒ ще рече „верността на предходното твърдение е предпоставка за верността на последвалото“. Повечето от символите, с които се означават различни операции и функции са дадени в Таблица на математически символи.

Математиката борави с точно въведени понятия, поради което често науките, които почиват върху нейните основи, се наричат точни науки. Например, в математиката понятия като множество, клас, група, категория, които в ежедневния език може да се използват и като синоними, имат свое „строго“, различно значение.

Математически подход на работа

Математиците използват системи от абстракции и аксиоми, чрез които съставят научни догадки, които после се стремят да докажат, следвайки правилата на логиката. Съвкупност от причинно-следствено обвързани доказани твърдения, които образуват някаква „научна цялост“, се наричат теория.

Всяка теория обикновено започва с изброяване на абстрактни понятия и позволени операции. Абстракциите са идеята за предмети, с които може да се извършват определен набор от операции, но които нямат конкретна реална стойност, или пък за действия, които теоретично може да се изпълнят. Примерно, числата са абстракция за брой – числото 7 обозначава количество, което се повтаря седем пъти, независимо дали говорим за 7 дни в седмицата, 7 круши в кошницата или 7 метра дължина. Параметрите пък са по-сложна абстракции за числова стойност, дължина на отсечка или друго количество (в зависимост от ситуацията), с които могат да се извършват аритметични операции. Събирането пък е пример за абстрактна операция с числа или параметри, която мисловно замества евентуалното реално увеличаване в количеството круши или удължаването на дадена действителна отсечка.

След това е нужно да се посочи система от аксиоми. Това са „самодоказващи се правила“, за които се прави уговорката, че са верни по допускане (без доказателство). Това са първичните закони, които показват какви логически действия имаме право да използваме в съответната теория. Така например a+b=b+a е аксиома, известна като комутативност. Тя е едно от основните правила на елементарната аритметика. Освен ако не допуснем като аксиоми по-прости правила, това свойство няма как да се докаже и се приема като даденост. (Това, разбира се, не значи, че тази аксиома е нужно да важи навсякъде извън рамките на аритметиката на числата.)

Когато бъде посочено с какви обекти се работи, какви операции могат да се извършват с тях и какви основни закони трябва да спазват, в развитието на математичната теория се преминава към съставяне на научни хипотези. Те може да имат както построителен, така и качествен характер. За доказателството им се използват дадените аксиоми, както и по-рано доказани твърдения, като целта е да не се получават логически противоречия. Ако такива се появят, значи аксиоматиката и наборът описани операции са логически неиздържани. Един от типичните видове логически противоречия са парадоксите – твърдения, за които от верността им следва факт, който им противоречи, а пък от погрешността им следва факт, който ги потвърждава. Един от най-известните парадокси е този на Ръсел, който се състои в това, че съвкупността M≔{A|AA} няма как да е множество, иначе MMMM. Той е в основата на развитието на аксиоматичната теория на множествата.

В миналото математиците са се надявали да съставят пълна (крайна) система от абстракции и аксиоми, чрез които да може да се докаже всяка математическа истина. Това е основната цел на програмата на Хилберт. Впоследствие обаче Гьодел доказва, че такава формална система не съществува. Това твърдение е известно като теорема за непълнотата. В основата на доказателството лежи построяването на твърдение, което е истинно в теорията на числата, но не следва от нейните аксиоми. Този недостатък е неотстраним: както и да съставим непротиворечив краен списък от аксиоми на аритметиката, винаги ще бъде възможно да се състави вярно, но недоказуемо твърдение.

Опитно проверяване на теория

Нерядко, особено в приложната математика, се налага да се провери дали логически издържана и привидно пълна теория описва достатъчно добре даден реален обект. За целта се правят научни опити или (компютърни) симулации.

Области на математиката

Математиката най-общо може да се раздели на изследване на количествата, структурите, пространството и измененията, съответно предмет на аритметиката, алгебрата, геометрията и анализа. В допълнение към тези основни теми има и няколко други подразделения, изследващи връзките между сърцевината на математиката към други научни полета: логика, теория на множествата (основи на математиката), към емпиричната математика, която е част от множество науки (приложна математика) и в последно време в подробното изследване на несигурността.

Основи и философия на математиката

Подобластите на математическата логика и теорията на множествата възникват, за да изяснят недвусмислено строежа и начина на разсъждаване в математиката. Математическата логика включва математическото изследване на логиката и прилагането на формално мислене към останалите области на математиката, а теорията на множествата изучава какво трябва да се разбира под съвкупност от обекти, без да възникват парадокси като този на Ръсел. Тяхната основна задача е да постави математиката в твърда аксиоматична рамка и да изследва последствията от това (доколкото това е възможно). Теорията на категориите пък разглежда математическите структури и отношенията между тях от най-обобщена абстрактна гледна точка. Тя все още е в процес на развитие.

Исторически тези области на математиката са развити относително късно – в периода около 1900 – 1930.[10] По това време няколко принципни спора, като тези за теорията на Кантор и противоречията между Лойцен Егбертус Ян Брауер и Давид Хилберт, пораждат нуждата от по-строги основи на математиката. Говори се дори за „криза на основите“. Известни разногласия за основите на математиката се запазват и до наши дни.

Съвременната математическа логика се подразделя на теория на рекурсията, теория на моделите и теория на доказателствата и е тясно свързана с теоретичната информатика.

Venn A intersect B Commutative diagram for morphism
Математическа логика Теория на множествата Теория на категориите

Чиста математика

Чистата математика се занимава с абстрактни постановки и задачи, които нямат практическа насоченост. Апаратът, който тя развива, има голям обхват на приложимост в различни дялове на науката и живота.

Количество

Изследването на количествата започва с абстракцията число. Основният пример за такива са обичайните естествени и цели числа, с които сме в състояние да изградим дискретната математика. Основните операции, които могат да се извършват с числа, се изучава от аритметиката. Аритметичните свойства на целите числа се изследват по-задълбочено от теорията на числата. Изследването на естествените числа довежда до идеята за трансфинитните числа, с които се дефинира формално безкрайността. Друга гледна точка за безкрайността е отразена в кардиналните числа, използвани за сравнение на размера на безкрайно големи множества чрез концепцията за мощност.

Основен недостатък на целите числа е, че не винаги сме в състояние да разделим две цели числа едно на друго (без остатък) и да получим цяло число. За да се превъзмогне този слабост, по-късно са развити рационалните числа. Те от своя страна са надградени от реалните числа, чрез които вече могат да описват непрекъснатиструктури. Идеята за реалните числа е обобщена от тази за хиперреалните числа, чрез които (с помощта на филтри) може да се изгради диференциалният анализ без необходимостта на идеята за сходимост. Алгебрично реалните числа са надградени от комплексните числа. Те са най-малкото числово поле, което е алгебрически затворено. Комплексните числа също могат да се разширят алгебрически – следващите стъпки в тази насока са кватернионите и другите хиперкомплексни числа. При този процес обаче се губят някои аритметични свойства.

Естествени числа (ℕ) Цели числа (ℤ) Рационални числа (ℚ) Реални числа (ℝ) Комплексни числа (ℂ)

Структура

Много математически обекти, като числовите множества и функциите, имат вътрешна структура, проявяваща се при прилагане върху тях на различни операции и релации. Предмет на математиката е да изучава и ако е възможно, да обобщава, тази структура. Комбинаториката например изучава начините, по които обекти се вместват в дадена структура.

Често различни математически категории проявяват сходни свойства, което дава възможност чрез повишаване на нивото на абстракция да се постулират обобщени аксиоми за цели класове структури, което се прави с цел да се изследват наведнъж. Така се появяват изследванията на групите, пръстените, полетата, векторните пространства и други обобщени системи, които са в основата на абстрактната алгебра. Поради силната си обобщеност, абстрактната алгебра често се прилага при привидно несвързани задачи. Например, наборът от задачи от Античността, свързани с построението с линийка и пергел на разни фигури, в крайна сметка са решени с помощта на теорията на Галоа. Друг пример за структурна теория е линейната алгебра, която представлява обобщено изследване на линейните пространства, чиито елементи, векторите, имат едновременно размер и посока и се използват за моделиране на отношения между точки в пространството.

Проявление на изучаването на математическия строеж е и теорията на представянията, която изследва как елементите на математични структури могат да се представят като линейни преобразувания на векторни пространства. По този начин може да се опрости изучаването на по-сложни структури, като използваме добре разучените качества на линейната математика, както и могат да се търсят връзки между различни видове структури.

Elliptic curve simple Rubik's cube Group diagdram D6 Braid-modular-group-cover
Комбинаторика Теория на числата Теория на групите Теория на графите Алгебра

Пространство

Математическото изследване на пространството се занимава с абстракциите за положение, отдалеченост, повърхнина, взаимоотношение между обекти и др. То води началото си от геометрията и по-специално от евклидовата. Изучаването на пространството често използва математическия апарат от други раздели на математиката. Тригонометрията, например, е клон на геометрията, който разглежда отношенията между страните и ъглите на равнинни многоъгълници и обемни многостени с помощта на тригонометрични функции. По този начин се съставя количествено (числово) описание на пространството. Съвременното изучаване на пространството надгражда тази концепция, като преплитането на числовите и пространствени величини са в основата на аналитичната, диференциалната и алгебричната геометрия. Диференциалната геометрия включва математическия анализ на многообразията и кривите, като използва векторен и тензорен анализ. В центъра на алгебричната геометрия пък е разглеждането на геометрични обекти като множества от решения на алгебрични уравнения, както и изучаването на топологичните групи.

Други съвременни насоки на развитие са многомерните геометрии и неевклидовите геометрии, които играят важна роля в математическата физика. В последно време все по-голямо приложение намират компютърните технологии, с чиято помощ могат да се извършват пространствени симулации, непосилни някога поради сложността си.

Друга гледна точка към разбирането на пространството предлага топологията, която е сред най-бързо развиващите се математически области през XX век. При нея интерес представляват повече свързаността и структурното подобие между пространствени обекти, отколкото конкретната им форма или размери. Поддялове на топологията са общата, алгебричната и диференциалната топология. По-конкретни направления са теориите за метризуемостта или за хомотопията, теорията на Морс и др.

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem Sine cosine plot Hyperbolic triangle Torus Mandel zoom 07 satellite
Геометрия Тригонометрия Диференциална геометрия Топология Фрактална геометрия

Изменение

Разбирането и описването на промените е обичаен проблем на естествените науки. Математическият анализ възниква и се развива като способ за неговото разрешаване. Основното средство за постигането на тази цел е концепцията за функциите. Изследването на реалните числа и функциите на реални променливи се нарича реален анализ, а съответната област, занимаваща се с комплексните числа – комплексен анализ. Много природни явления се свеждат до зависимости между величини и степента на тяхната промяна, които се описват с диференциални уравнения. С изменението на цели системи пък се занимава теорията на стабилността и динамичните системи. Примери за по-специализирани области на математическия анализ са функционалният анализ, който изучава пространствата от функции, обикновено с безкраен брой измерения, и теорията на хаоса, която изследва сложността на динамични системи.

Като цяло математическият анализ служи като апарат за изучаване на другите предмети на математиката и затова е силно преплетен с тях.

Integral as region under curve Vector field Airflow-Obstructed-Duct Lorenz attractor Princ Argument C1
Математически анализ Векторен анализ Диференциални уравнения Теория на хаоса Комплексен анализ

Приложна математика

Приложната математика се занимава с предоставяне на математически методи, чрез които да се решават задачи от други полета на науката и живота. Към нея се включват всички математични теории, чиято основна цел е да разрешат точно определени, неабстрактни задачи. Нерядко в миналото приложни дялове на математиката са дали основа за развитието на области от чистата математика, затова не може да се прави строго разграничение между тези два типа математика.

Gravitation space source Signal transduction pathways Ch4-structure
Математическа физика Математическа биология Математическа химия

Статистика и изследване на операции

Предмет на статистиката и изследването на операции (на английски: Operations research) е да събират и впоследствие да анализират данни или пък да тестват научни предположения. Това се извършва като се съставят на опити, които да предоставят такъв набор от сведения, които да потвърдят или оборят съвместимостта на някоя математична теория с реалността. За решаването на тази задача е нужно да се избере подходяща „случайна“ извадка от реализации на изследваното събитие, да се извлекат нужните сведения от нея и да се приложи статистически анализ на получената информация. Основният математически апарат, с който борави този поддял на приложната математика, е теорията на вероятностите и статистиката.

Част от изследването на операции е и теорията на на стохастичните процеси, теорията на игрите, финансовата математика и теорията на контрола. Те се използват, за да се пресъздава поведението на определена система, като въз основа на проведената симулация да се направи научен извод. Той може да бъде предложение за вземане на някакво решение, съвет как да се подобри работа на системата или математическа прогноза как тя (вероятно) ще се развива в бъдеще.

Two red dice 01 Oldfaithful3 Market Data Index NYA on 20050726 202628 UTC Arbitrary-gametree-solved GDP PPP Per Capita IMF 2008
Теория на вероятностите Статистика Математически финанси Теория на игрите Математическа икономика

Изчислителна математика

Този дял на приложната математика има за цел да реши задачи, които изискват изчислителен ресурс, надвишаващ човешките способности. За целта се разчита основно на компютри, но самата изчислителна математика има основи много преди тяхната поява. Още от дълбока древност, например, се търси начин нерационални числа и обекти да се приближат с рационални такива, заради по-лесното работене с вторите. Друга важна задача на числения анализ е да се определи с помощта на функционалния анализ стойността на произволни функции с набелязана предварително точност. Част от задачите на изчислителната математика е и оптимизирането на бързодействието и точността на вече намерени изчислителни методи.

Тези проблеми между впрочем стоят зад създаването на съвременния компютър. След неговата поява към областта на изчислителната математика се прибавят нови раздели като компютърната логика, теорията за сложността и теорията на информацията.

Composite trapezoidal rule illustration small Maximum boxed Caesar3 Wang tiles
Числен анализ Оптимизиране Криптография Изчислимост

Източници

  1. а б Определение за „математика“ от Оксфордския речник на английския език, ((en)) mathematics, n.. // Oxford English Dictionary. Oxford University Press, 2012. Посетен на 16 юни 2012. Науката за пространството, числата, количествата и разпределението в комбинаториката, чиито методи включват и използват логическото заключение, и използват обикновено символни нотации, и които включват геометрия, аритметика, алгебра и математически анализ. // The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis.
  2. Kneebone, G.T.. Математическа логика и основи на математиката: Въвеждащо изследване // Mathematical Logic and the Foundations of Mathematics: An Introductory Survey. Dover, 1963. ISBN 0-486-41712-3. с. 4. Математиката е, просто казано, изучаването на абстрактни структури или формални модели на свързвания или конективност // Mathematics ... is simply the study of abstract structures, or formal patterns of connectedness.
  3. LaTorre, Donald R., John W. Kenelly, Iris B. Reed, Laurel R. Carpenter, and Cynthia R Harris. Концепции от математическите изчисления: неформален подход към математиката на промяната // Calculus Concepts: An Informal Approach to the Mathematics of Change. Cengage Learning, 2011. ISBN 1-4390-4957-2. с. 2. Математическите изчисления изследват промяната – как нещата се променят, но и колко бързо се променят. // Calculus is the study of change—how things change, and how quickly they change.
  4. Ramana. Приложна математика // Applied Mathematics. Tata McGraw–Hill Education, 2007. ISBN 0-07-066753-5. с. 2.10. Математическото изследване на промяната, движението и растежа, както и на разпада, се нарича математически изчисления. // The mathematical study of change, motion, growth or decay is calculus.
  5. Ziegler, Günter M.. Какво е математика? // What Is Mathematics?. // Покана за математика: от математическите състезания до изследванията в математиката // An Invitation to Mathematics: From Competitions to Research. Springer, 2011. ISBN 3-642-19532-6. с. 7.
  6. а б в Mura, Roberta. Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences. // Educational Studies in Mathematics 25 (4). декември 1993. с. 375 – 385.
  7. Tobies, Renate and Helmut Neunzert. Ирис Рунге: Живот на пресечната точка на математика, наука и индустрия // Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry. Springer, 2012. ISBN 3-0348-0229-3. с. 9. На първо място е необходимо да се попита, какво се разбира под математика въобще. Знаменитите учени са дебатирали по този въпрос до посиняване и все така няма постигнат консенсус за това дали математиката е част от естествените науки, клон на хуманитаристиката или форма на изкуство. // It is first necessary to ask what is meant by mathematics in general. Illustrious scholars have debated this matter until they were blue in the face, and yet no consensus has been reached about whether mathematics is a natural science, a branch of the humanities, or an art form.
  8. ((en)) James Franklin, „Aristotelian Realism“ (Аристотеловият реализъм) във сп. Philosophy of Mathematics (Философия на математиката), ed. A.D. Irvine, p. 104. Elsevier (2009).
  9. ((en)) Cajori, Florian (1893). A History of Mathematics. // История на математиката. American Mathematical Society (преиздадена 1991). pp. 285 – 6
  10. ((en)) Hodgkin, Luke Howard и др. A History of Mathematics. Oxford University Press, 2005.
Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното Лиценз за свободна документация на ГНУ Тази страница частично или изцяло представлява превод на страницата „Mathematics“ и страницата „History of mathematics“ в Уикипедия на английски и английски език. Оригиналните текстове, както и този превод, са защитени от Лиценза „Криейтив Комънс - Признание - Споделяне на споделеното“, а за творби създадени преди юни 2009 година — от Лиценза за свободна документация на ГНУ. Прегледайте историята на редакциите на оригиналните страници тук и тук, за да видите списъка на тeхните съавтори.  

Вижте също

Външни препратки

.ir

.ir е Интернет домейн от първо ниво за Иран. Администрира се от Института за изследвания по теоретична физика и математика. Представен е през 1994 г.

.lv

.lv е Интернет домейн от първо ниво за Латвия. Представен е през 1993. Поддържа се и се администрира от Института по математика и компютърни науки към Латвийския университет.

1 (число)

Едно е естествено число, предхождано от нула и следвано от две. С арабски цифри се изписва 1, с римски – I, а по гръцката бройна система – Αʹ. Цифрата 1 (едно) се нарича още единица. В поредица едно се превръща във първа, първи, първо (1-ва, 1-ви, 1-во). Наречието за един път (еднократно) е „веднъж“.Древногръцката математика третира единицата като принцип на броене, а не собствено като „число“, което според дефиницията на Евклид е „някакво множество от единици“.

2 (число)

Две е естествено число, предхождано от едно и следвано от три. С арабски цифри се изписва 2, с римски – II, а по гръцката бройна система – Βʹ. В поредица две се превръща във втора, втори, второ (2-ра, 2-ри, 2-ро).

Академик

Академик (или действителен член) е научно звание, което означава член на (обща или специализирана) академия на науките, изкуството, литературата. Често в такива научни организации има предшестващо звание, наречено член-кореспондент (или дописен член).

В редица страни те са считани за най-престижните, най-високите научни звания. В някои страни „академик“ е само почетно научно звание.

Геометрия

Геометрията (на старогръцки: γεωμετρία; geo- „земя“, -metri „измерване“) е клон на математиката, първоначално изучаващ отношенията в пространството, както и формата, големината и позицията на различни фигури. Тя е една от най-старите научни области и една от двете сфери на традиционната математика, наред с изучаването на числата. В наши дни геометричните идеи са силно обобщени и към тях се прилагат методи на математическия анализ, и абстрактната алгебра, като много съвременни клонове на геометрията трудно могат да бъдат оприличени на ранната геометрия.

Отначало геометрията е практична наука, която изучава разстояния, площи и обеми, докато през III век пр.н.е. е създадена Евклидовата геометрия, която установява стандарти за следващите столетия. Архимед разработва техники за изчисляване на площи и обеми, които залягат в основата на интегралното смятане. Въвеждането на координати от Рене Декарт и развитието на алгебрата бележи нов стадий на геометрията. Геометрията е обогатена по-нататък от Ойлер и Карл Фридрих Гаус, което води до създаването на топологията и диференциалната геометрия.

По Евклидово време не се прави ясна разлика между физическо и геометрично пространство. От XIX век с откритието на неевклидовата геометрия понятието за пространство претърпява драстична и радикална трансформация, а през XX век изгубва интуитивното си съдържание и се превръща в абстрактно понятие.

Днес геометрията има близки връзки с физиката, най-вече между псевдоримановото многообразие и общата теория на относителността. Една от най-новите теории във физиката – теория на струните е също геометрична в основата си.

Гимназия

Гимназията е вид училище, в което се води обучение на равнище средно образование (предхождащо висшето образование и следващо основното образование).Има 3 вида гимназии – профилирани към които спадат езикови (английска, немска, френска, руска, и така нататък.), математически (със засилено изучаване на математика), и професионални (по електротехника, механотехникуми, туризъм и хотелиерство и др.)

Ексцентрицитет (орбита)

В астродинамиката под стандартни условия всяка орбита на тяло е конично сечение. Ексцентрицитетът на това конично сечение, или още орбитален ексцентрицитет е важен параметър, който определя формата на орбитата. Ексцентричността определя в каква степен орбитата е "разтеглена". Терминът ексцентрицитет е образуван от латинските ex – "из", "от" и centrum – "център".

Ексцентрицитетът() е определен за всички кръгови, елиптични, параболични и хиперболични орбити и има следните стойности:

Институт по математика и информатика

Институт по математика и информатика (ИМИ) при Българска академия на науките е научноизследователски институт за фундаментални и приложни изследвания и подготовка на висококвалифицирани кадри в областта на математиката и информатиката.

Математик

Математикът е учен, който се занимава с изучаване и научни изследвания в областта на математиката. Хора, които използват математиката в други области, специфично на бита, но не допринасят директно към нея, обикновено не се считат за математици, макар че днес много математици работят в интердисциплинарни научни области, които са силно гранични на математиката, като например математическата икономика .

Математическа физика

Математическата физика е научна дисциплина, която в основата си е приложение на математически методи за решаване на физични проблеми и формулиране на физични теории.

Тя е раздел както на математиката, така и на физиката и изучава частни диференциални уравнения, често срещащи се и в теоретичната физика като например уравнението на топлопроводността. Теорията на частните диференциални уравнения и свързаните с нея Фурие анализ и векторен анализ са най-тясно свързани с математическата физика през периода 1890-1930. Приложенията им във физиката са в областта на хидродинамиката, акустиката, термодинамиката, електромагнетизма и аеродинамиката.

Теорията на спектроскопията и квантовата механика са разработени почти едновременно с линейната алгебра и функционалния анализ, които също са част от математическата физика.

Специалната теория на относителността, общата теория на относителността и квантовата теория на полето способстват за развитие на теория на групите, диференциалната геометрия и топологията. Следва построяването на „обобщаващи“ теории на елементарните частици, които обикновено се формулират в многомерно пространство с помощта на струни, суперсиметрия и теория на вероятностите.

Математически анализ

Математически анализ е клон от математиката, който се занимава с изследване на поведението на математическите функции. Той има две основни подразделения – диференциално смятане и интегрално смятане. Диференциалното смятане изследва скоростта на изменение на функциите, а интегралното смятане се занимава с натрупванията на стойности вследствие от някаква функция. Например, ако познаваме по какъв начин се изменя положението на някакъв обект с течение на времето, то с помощта на диференциалното смятане можем да определим скоростта на този обект във всеки момент от неговото придвижване. И обратното, ако знаем как се е изменяла скоростта му във времето, то с помощта на интегралното смятане можем да определим местоположението му във всеки момент.

Основните понятия, с които работи математическият анализ, са:

диференциал, което означава безкрайно малка промяна на някаква стойност;

граница и сходимост на функция;

диференциране, или изчисляване на стръмността на функция;

интегриране, или изчислявяне на натрупването на някаква стойност.Математическият анализ намира приложение в почти всички науки, които използват математически апарат, но най-често се използва във физиката, електрониката, информатиката, икономиката и др.

В ежедневието често математическият анализ се прилага подсъзнателно. Например, ако наблюдаваме движението на един автомобил, ние нямаме представа директно за скоростта му (не виждаме скоростомера му), но когато видим как (колко бързо) се изменя положението му на пътя, успяваме да преценим и скоростта му.

Платон

Пла̀тон (на гръцки: Πλάτων) е древногръцки учен, математик и философ. Той е ученик на Сократ, автор на философски диалози и основател на Атинската академия, която е първата институция за висше образование в Западния свят. Наред със своя учител Сократ и с ученика си Аристотел, Платон поставя основите на Западната философия и наука. Счита се, че за разлика от други негови съвременници, цялото творчество на Платон остава непокътнато в продължение на повече от 2400 години. Освен че е основополагаща фигура на западната наука, философия и математика, Платон често се цитира и като един от основателите на западната религия и духовност. Фридрих Ницше нарича християнството „платонизъм за хората“.

Платон е новатор в областта на писмения диалог и диалектичните форми в областта на философията, които се счита, че са създадени от него. Основател е най-вероятно и на западната политическа философия, с неговите диалози „Република“ и „Закони“, осигуряващи едни от най-ранните съществуващи тълкувания на политически въпроси от философска гледна точка.

Изтънчеността на Платон като писател е очевидна в неговите Сократови диалози; приписват му се трийсет и шест диалога и тринайсет писма. Литературните произведения на Платон са публикувани в няколко форми, вследствие на което съществуват различни споразумения относно названията на неговите текстове. Диалозите написани от Платон служат за преподаване на различни дисциплини включително философия, логика, етика, реторика и математика.

Площ

Площ (също и лице) е величина, изразяваща големината на даден двуизмерен обект. Тя е двуизмерен аналог на едноизмерната дължина и триизмерния обем.

Площта на дадена фигура може да бъде определена, като се сравни с квадрат с предварително зададен размер. В Международната система единици площта се измерва в квадратни метри (m²) – площта на квадрат, чиито страни имат дължина 1 m. Фигура с площ 3 квадратни метра би имала площта на три такива квадрата. В математиката площта е безразмерна величина, като за единица се използва единичният квадрат, квадрат с дължина на страните единица.

Площта на основните фигури, като триъгълници, правоъгълници и кръгове, обикновено се изчислява с помощта на няколко широко известни формули. Площта на произволен многоъгълник може да бъде определена чрез същите формули, като той бъде разделен на по-прости фигури, обикновено триъгълници. За изчисляването на площта на по-сложни фигури с криволинейни граници обикновено са необходими методите на математическия анализ. В действителност задачата за определянето на площта на равнинни фигури е сред основните мотиви за първоначалното развитие на този дял на математиката.Площта на граничната повърхнина на триизмерни тела, като сфера, конус или цилиндър, се нарича околна повърхнина. Формули за околните повърхнини на прости тела са известни още от Античността, но изчисляването им за по-сложни обекти също се извършва с аналитични методи.

Площта играе важна роля в съвременната математика. Освен очевидната ѝ важност в геометрията и математическия анализ, тя е свързана с дефинирането на детерминантите в линейната алгебра, е една от основните характеристики на повърхнините в диференциалната геометрия.

Приложна математика

Приложна математика е клон на математиката, който изучава приложението на математически методи в други области на науката. Основното приложение на приложната математика е приблизителното изчисление на решения с помощта на компютри, за това и дисциплината преживява бурно развитие в последните десетилетия заедно с развитието на информационните технологии.

Тази всестранна наука има приложение в химията, биологията, физиката, икономиката, техническите науки и др. Множество открити от математиката правила се оказват валидни в природата и така приложната математика е като мост към по-пълното разбиране на принципите и законите ѝ. Много наглед случайни природни явления се обясняват съвсем точно с математически уравнения. Дори сложни социални и обществени закономерности намират своето логично обяснение, благодарение на принципите на приложната математика.

В същото време приложната математика има самостоятелно развитие, въз основа на разработените вече способи, които са вдъхновени от реални измервания. Има много спорове с различните науки, доколко е необходимо да се подхожда математически при анализа на съответните проблеми. Физиците често пъти гледат с учудване безрезултатните опити на математиците да докажат по стриктен начин съществуването на даден физически проблем, който вече е обяснен достатъчно добре и от гледна точка на физиката не се нуждае от допълнително доказване.

Две са основните групи на приложната математика:

Числените методи описват предимно природните процеси. Това са методите на математическата физика, химия, биология, геология, както и инженерната математика. Оптимирането и моделирането са сред основните им подразделения.

Статистиката включва различните икономически, финансови и застрахователни методологии. Дори дисциплини като социологията се покриват от математически модели.Границата между чистата и приложната математика е размита, за това много области са обект на внимание от двете големи крила на математиката.

Други сходни математически дисциплини са:

Компютърни науки

Изследване на операциите

Статистика

Актюерни изчисления

Равнина (математика)

Равнината в геометрията е основен двуизмерен обект.

В триизмерната координатна система, равнината може да се дефинира като множеството от точки, чиито координати удовлетворяват равенството:

,

където a, b, c и d са реални числа, и поне едно от a,b и c е различно от нула.

В евклидово пространство, една равнина се определя от:

В триизмерното пространство, две различни равнини или се пресичат в права или са упоредни. Права, която не е успоредна на равнината, я пресича в една точка.

Символ

Символ (от гръцки: σύμβoλoν) е знак, рисунка, която представя в съкратен вид същността или значението на даден предмет, събитие или идея. За символ се приема всеки условен писмен, графичен знак, означаващ някаква величина. Във всекидневния език думата „символ“ обобщено означава „предмет, слово или действие, които условно означават някакво понятие, идея“.

Например кръстът е символ на Христос и християнството, а везната е символ на законност и справедливост. Елементите в периодичната таблица на Менделеев са представени със символи, така както и пътните знаци.

Точка (геометрия)

В геометрията точка е наименование за 0-мерен обект. Точката няма дължина, площ или обем. В зависимост от контекста точката може да обозначава само липсата на размерност на обекта, или да обозначава координатите си - напр. началото на координатната система е точка с координати (0, 0, 0). В топологията всяка крива, повърхност или тяло се разглеждат като множество от точки.

Аксиоматиката на Евклидовата геометрия подразбира някои от свойствата на точката, без да ги определя напълно.

Точката е съвършена фигура. Тя няма начало и край, но е начало и край.

Шуменски университет

Шуменският университет „Епископ Константин Преславски“ е университет в град Шумен с колеж в гр. Добрич и департамент в гр. Варна, България. Основан е през 1971 година.

Раздели на математиката
Области
Раздели

На други езици

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.