Евклид

Емблема за пояснителна страница Вижте пояснителната страница за други личности с името Евклид.
Евклид
Εὐκλείδης
древногръцки математик
Euclid statue, Oxford University Museum of Natural History, UK - 20080315

Роден
Починал
Научна дейност
Област Математика

Евклид (на старогръцки: Εὐκλείδης) е древногръцки математик живял в египетския град Александрия при управлението на Птолемей I (323 – 283 година пр.н.е.). Често определян като баща на геометрията, той е автор на книгата „Елементи“, един от най-влиятелните трудове в историята на математиката, служил като основен учебник при преподаването на математика и най-вече на геометрия от времето на своята поява до края на XIX век и началото на XX век.[1][2][3] В „Елементи“ Евклид извлича по дедуктивен път от ограничен брой аксиоми принципите на системата, която днес се нарича евклидова геометрия. Той е автор и на изследвания в областта на перспективата, коничните сечения, сферичната геометрия, теорията на числата.

Биография

Euclid Pisano OPA Florence
Изображение на Евклид от 14 век

Творбите на Евклид са много известни, ала малко се знае за него самия. Малкото биографични данни, запазени до днес, идват от няколко откъслечни коментара, писани векове след неговата смърт. Датата и мястото на раждане на Евклид, както и датата и обстоятелствата, при които е починал, не са известни. Времето на неговия живот се определя приблизително, според известното за споменати в текстовете му съвременници. Не са запазени и никакви сведения за външния вид на Евклид, поради което всички негови изображения се основават на въображението на техните автори.

Малкото известни сведения за живота на Евклид са достигнали до наши дни от текстовете на автори, като Прокъл и Пап Александрийски, живели няколко века по-късно от него.[4] Живелият през 5 век Прокъл описва накратко Евклид в своя „Коментар на Елементите“ като автор на книгата, споменаван от Архимед. Той предава и разказа за това, как Птолемей I попитал дали няма по кратък път към научаването на геометрията от този на Евклид, а Евклид отговорил, че „няма царски път към геометрията“.[5] Макар че днес се приема, че споменатото цитиране на Евклид от Архимед е вмъкнато в работите му от по-късни редактори, все пак се предполага, че Евклид е писал своите трудове преди Архимед.[6][7] Освен това разказът за царския път е съмнителен, тъй като силно напомня подобна история, разказвана за Менехем и Александър Македонски.[8] В единственото друго съществено споменаване на Евклид живелият през 4 век Пап Александрийски отбелязва, че Аполоний Пергски „прекарал много дълго време с учениците на Евклид в Александрия и така придобил толкова научен начин на мислене“.[9] Съществуват и предположения, че Евклид може да е учил в Академията в Атина.

„Елементи“

P. Oxy. I 29
Един от най-старите запазени фрагменти от „Елементи“ на Евклид е открит при Оксиринх и е датиран към 100 година[10]

В най-ранните запазени преписи на „Елементи“ („Στοιχεῖα“) името на Евклид не се споменава. Повечето от тях са описани като част от лекции или книга на Теон Александрийски,[11] а копието, смятано за основно и съхранявано днес във Ватикана, изобщо не споменава автор. Единственото сведение, свързващо „Елементи“ с Евклид, е „Коментар на Елементите“ от Прокъл, където Евклид е посочен като автор на книгата.

Въпреки че много от нещата, изложени в „Елементи“, са произлезли от по-ранни математици, едно от постиженията на Евклид е да ги представи в обща, логическа последователност в своята работа, което ги прави лесни за използване и цитиране. Книгата включва и система от строги математически доказателства, които остават основа на математиката и след 23 века.[12]

Въпреки че са най-известни с геометрията, „Елементи“ разглеждат също и някои страни на теорията на числата. Описани са връзките между съвършените числа и мерсеновите числа, безкрайният брой на простите числа, лемата на Евклид за факторизацията (от която следва и основната теорема на аритметиката), както и алгоритъма на Евклид за намиране на най-голям общ делител, който е и един от първите изследвани алгоритми.

Геометричната система, описана в „Елементи“, в продължение на векове е наричана просто геометрия и се смятало, че това е единствената възможна и съществуваща геометрия. През 19 век математиците установяват, че аксиомата за успоредните прави е независима от останалите аксиоми на Евклид и промените в нея могат да доведат до други вътрешно непротиворечиви системи – неевклидови геометрии.

Други съчинения

Euclidis quae supersunt omnia
Euclides, 1703

Освен най-важният му труд „Елементи“, поне 5 други книги на Евклид са запазени до наши дни. Те следват същата логическа структура, както и „Елементи“, с дефиниции, аксиоми и доказвани твърдения.

  • „Данни“ („Δεδομένα“) разглежда природата и ефектите от предварително зададената информация в геометричните задачи, тема, тясно свързана с първите четири книги на „Елементи“.
  • „За разделянето на фигурите“ е запазена частично в арабски превод и разглежда разделянето на геометрични фигури на две или повече равни части или на части с дадени пропорции. Книгата е подобна на съчинение на Херон Александрийски от 3 век.
  • „Катоптрика“ излага математическата теория на огледалата и по-специално на отразените образи в плоски и изпъкнали сферични огледала. Авторството на Евклид е спорно, като е възможно книгата да е писана от Теон Александрийски.
  • „Явления“ е трактат по сферична астрономия, подобен на „За подвижната сфера“ от работилия около 310 година пр.н.е. Автолик.
  • „Оптика“ е най-старият запазен древногръцки трактат върху перспективата. В неговите дефиниции Евклид следва платоновата традиция, според която зрението се дължи на дискретни лъчи, излизащи от окото. В първите 36-те твърдения Евклид свързва видимият размер на даден предмет с разстоянието от него до окото и разглежда видимите форми на цилиндри и конуси, гледани под различен ъгъл. Интересна е 45-то твърдение, според което за всеки две различни величини съществува точка, от която те изглеждат еднакви. Пап Александрийски смята, че тези разсъждения са важни за астрономията и включва „Оптика“, както и „Явления“, в своята „Малка астрономия“, сборник от кратки текстове, които трябва да бъдат изучавани преди основния сборник на Клавдий Птолемей.

Други текстове се смятат за писани от Евклид, но са изгубени:

  • „Конични сечения“ е посветен на коничните сечения и служи за основа на известния труд по темата на Аполоний Пергски. Вероятно първите четири книги от съчинението на Аполоний са директно заимствани от Евклид. „Конични сечения“ на Аполоний бързо измества по-ранните работи по темата и по времето на Пап Александрийски съчинението на Евклид вече е изгубено.
  • „Поризми“ може би е продължение на съчинението за коничните сечения, но точното му съдържание е спорно.
  • „За заблужденията“ е базов текст, посветен на грешките при аргументиране.

По-късни арабски източници приписват на Евклид няколко съчинения в областта на механиката. „За тежкото и светлото“ описва в девет дефиниции и пет твърдения схващанията на Аристотел за движещите се тела и концепцията за относителна плътност. „За равновесието“ разглежда в една дефиниция, две аксиоми и четири твърдения теорията на лоста. Трети фрагмент, посветен на окръжностите, описвани от краищата на движещ се лост, съдържа четири твърдения. Тези три текста изглежда са свързани помежду си и се предполага, че може би представляват остатъци от по-голям трактат по механика, писан от Евклид.

Бележки

  1. Ball 1960, с. 50 – 62.
  2. Boyer 1991, с. 100 – 119.
  3. Macardle 2008, с. 12.
  4. Joyce 1998.
  5. Proclus 1992, с. 57.
  6. Proclus 1992, с. XXX.
  7. JOC/EFR 1999.
  8. Boyer 1991, с. 96.
  9. Heath 1956, с. 2.
  10. Casselman .
  11. Heath 1956, с. 360.
  12. Struik 1967, с. 51.
Цитирани източници
  • Ball, W.W. Rouse. A Short Account of the History of Mathematics. 4th. Dover Publications, 1960, [1908]. ISBN 0486206300. (на английски)
  • Boyer, Carl B. A History of Mathematics. 2nd. John Wiley & Sons, Inc., 1991. ISBN 0471543977. (на английски)
  • Casselman, Bill. One of the Oldest Extant Diagrams from Euclid. // University of British Columbia. Посетен на 26 септември 2008. (на английски)
  • Heath, Thomas (ed.). The Thirteen Books of Euclid's Elements. Т. 1. Dover Publications, 1956, [1908]. ISBN 0486600882. (на английски)
  • JOC/EFR. Euclid of Alexandria. // University of St Andrews, 1999. Посетен на 21 февруари 2011. (на английски)
  • Joyce, D.E. Euclid. // Clark University, 1998. Посетен на 21 февруари 2011. (на английски)
  • Macardle et al. Scientists: Extraordinary People Who Altered the Course of History. New York, Metro Books, 2008. (на английски)
  • Proclus. A commentary on the first book of Euclid's Elements. Princeton University Press, 1992. ISBN 9780691020907. (на английски)
  • Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. Dover Publications, 1987. ISBN 0-486-60255-9. (на английски)

Вижте също

Външни препратки

1 (число)

Едно е естествено число, предхождано от нула и следвано от две. С арабски цифри се изписва 1, с римски – I, а по гръцката бройна система – Αʹ. Цифрата 1 (едно) се нарича още единица. В поредица едно се превръща във първа, първи, първо (1-ва, 1-ви, 1-во). Наречието за един път (еднократно) е „веднъж“.Древногръцката математика третира единицата като принцип на броене, а не собствено като „число“, което според дефиницията на Евклид е „някакво множество от единици“.

Аксиома

Аксиома или постулат в класическата логика е твърдение, което не е доказано или демонстрирано, а се разглежда като самоподразбиращо се или като неизбежно произволно приемане. Твърдението се приема за вярно и служи като основа за извеждането на други дедуктивни истини.

В математиката „аксиома“ има две свързани, но различаващи се значения – на логически аксиоми и на нелогически аксиоми. И в двата смисъла аксиомата е математическо твърдение, което служи като начална точка за логическото извеждане на други твърдения. За разлика от теоремите, аксиомите не могат да бъдат изведени чрез принципите на дедукцията, нито правилността им да може да бъде демонстрирана чрез математическо доказателство, тъй като те са начални точки на дедукцията и не са логическо следствие на други твърдения.

Логическите аксиоми са твърдения, приемани за универсално истинни (например, A и B включва A), докато нелогическите аксиоми (например, a + b = b + a) са дефиниращи характеристики на дадена математическа теория (в примера – на аритметиката). Във второто значение понятието „аксиома“ е заменимо с „постулат“ или „приемане“. Нелогическите аксиоми не са самоподразбиращи се истини, а формални логически изрази, използвани за дедуцирането на определена теория. За да се аксиоматизира дадена система от знание, трябва да се покаже, че нейните твърдения могат да бъдат изведени от малко и ясно определено множество съждения – аксиоми. Обикновено има повече от един начин за аксиоматизиране на дадена математическа област.

В миналото математиците разглеждат аксиоматичната геометрия, описана от Евклид, като модел на физическото пространство, от което следва и нейната единственост. Идеята за съществуване на алтернативни математически системи е силно проблематична за математиците от 19 век, а основоположниците на системи като булевата алгебра правят големи усилия да ги изведат от традиционната аритметика. Пръв Еварист Галоа показва, че тези усилия са безсмислени. През следващите десетилетия надделява мнението, че абстрактните сходства между алгебричните системи са по-съществени от разликите в подробностите, което довежда до появата на съвременната абстрактна алгебра. Днес се приема, че е валидна всяка вътрешно съвместима система от аксиоми без да се търсят емпирични доводи за това.

Алгоритъм на Евклид

Алгоритъмът на Евклид е алгоритъм за намиране на най-големия общ делител (НОД) на две естествени числа. Той е един от първите публикувани алгоритми. Описан е в книгата на Евклид „Елементи“ около 300 г. пр.н.е.

Геометрия

Геометрията (на старогръцки: γεωμετρία; geo- „земя“, -metri „измерване“) е клон на математиката, първоначално изучаващ отношенията в пространството, както и формата, големината и позицията на различни фигури. Тя е една от най-старите научни области и една от двете сфери на традиционната математика, наред с изучаването на числата. В наши дни геометричните идеи са силно обобщени и към тях се прилагат методи на математическия анализ, и абстрактната алгебра, като много съвременни клонове на геометрията трудно могат да бъдат оприличени на ранната геометрия.

Отначало геометрията е практична наука, която изучава разстояния, площи и обеми, докато през III век пр.н.е. е създадена Евклидовата геометрия, която установява стандарти за следващите столетия. Архимед разработва техники за изчисляване на площи и обеми, които залягат в основата на интегралното смятане. Въвеждането на координати от Рене Декарт и развитието на алгебрата бележи нов стадий на геометрията. Геометрията е обогатена по-нататък от Ойлер и Карл Фридрих Гаус, което води до създаването на топологията и диференциалната геометрия.

По Евклидово време не се прави ясна разлика между физическо и геометрично пространство. От XIX век с откритието на неевклидовата геометрия понятието за пространство претърпява драстична и радикална трансформация, а през XX век изгубва интуитивното си съдържание и се превръща в абстрактно понятие.

Днес геометрията има близки връзки с физиката, най-вече между псевдоримановото многообразие и общата теория на относителността. Една от най-новите теории във физиката – теория на струните е също геометрична в основата си.

Евбулид Милетски

Евбулид Милетски (на гръцки: Ευβουλίδης) е древногръцки философ от Мегарската школа, ученик на Евклид Мегарски. Известен е със своите парадокси.

Евклид (пояснение)

Евклид може да се отнася за:

Евклид, древногръцки математик

Евклид Атински, архонт на Атина, въвел йонийската азбука в Атина в V век

Евклид Мегарски, древногръцки философ, основател на Мегарската школа

Евклид Мегарски

Евклид (на старогръцки: Εὐκλείδης) е древногръцки философ, основател на Мегарската школа, учител на Евбулид Милетски.

Евклидова геометрия

Геометрията на Евклид е математическа система, разработена в Египет от древногръцкия математик Евклид от Александрия. Неговото съчинение „Елементи“ е най-ранният завършен системен текст относно геометрията, превърнал се в една от най-влиятелните книги в историята на човечеството.

Евклид въвежда малък брой аксиоми и въз основа на тях доказва много други твърдения (теореми). Въпреки че много от резултатите на Евклид са били установени от други гръцки математици преди него, той пръв е показал как тези твърдения могат да се атакуват заедно в една обща дедуктивна и логическа система.

„Елементите“ на Евклид започват с равнинна геометрия и съдържат първите примери за математически доказателства. Те включват и пространствена геометрия в тримерно пространство, наричана още стереометрия. Евклидовата геометрия е разширена и за някои крайни измерения. Голяма част от „Елементите“ съдържа резултати от днешната теория на числата, доказани с геометрични методи.

За повече от 2000 години геометрията на Евклид не бе променяна, понеже никой не можеше да си представи съществуването на други видове геометрии. Аксиомите на Евклид са очевидни, ежедневната практиката ни убеждава по абсолютен начин във верността им.

В евклидовата геометрия, изложена в съчинението на Евклид „Елементи“, той се стреми да изведе от 5 аксиоми и 5 постулата всички останали геометрични твърдения. Геометрите след него се затрудняват от сложността на Петия постулат и векове се опитват да го докажат като теорема въз основа на останалите четири. Оригиналната формулировка на този постулат е следната:

Ако една права линия пада върху две прави линии така, че вътрешните ъгли от едната страна са заедно по-малки от два прави ъгъла, то правите линии, ако се продължат безкрайно, се срещат от страната, от която ъглите са по-малки от два прави ъгъла.

Други математици дават по-опростени еквивалентни формулировки на този „постулат на успоредността“. Например, ако са дадени права l и точка A, нележаща на нея, то през A може да се прекара само една права, успоредна на l (аксиома на успоредните прави).

Лобачевски приема аксиомата за успоредните прави на Евклид като ограничение. Според него тя е твърде силно изискване, което ограничава възможностите да се описват свойствата на пространството. Той заменя тази аксиома с по-общото твърдение, че в равнината през точка, нележаща на дадена права, минава повече от една права, която не пресича дадената права. Въз основа на това твърдение той изгражда нова геометрия, коренно различна от евклидовата, която днес заслужено носи неговото име.

Лобачевски не е единственият изследовател в тази нова област на математиката. Независимо от него унгарският математик Янош Бояй публикува през 1832 г. свой труд на тема неевклидова геометрия. Великият немски математик Гаус по същото време стига до резултатите на Лобачевски, но се страхува от неразбиране и не публикува изследванията си. Той оценява високо постигнатото от Лобачевски.

Днес са известни много неевклидови геометрии, създадени в началото на XIX век. Вече знаем, че Евклидовите аксиоми не са в сила при движения със скорости, доближаващи скоростта на светлината. Доказва го общата теория на относителността, потвърдено е и от наблюдения и опити. Те са валидни само за свойствата на физическото пространство в гравитационно поле.

Евклидовата геометрия се основава на следните 22 аксиоми:

Е1: Съществуват поне две различни точки.

Е2: С всеки две различни точки е инцидентна точно една права.

Е3: С всяка права са инцидентни поне две различни точки.

Е4: За всяка права съществува поне една неинцидентна с нея точка.

Е5: За всеки три точки, неинцидентни с една права, съществува точно една равнина, инцидентна с тях.

Е6: С всяка равнина е инцидентна поне една точка.

Е7: За всяка равнина съществува поне една неинцидентна с нея точка.

Е8: Ако две точки, инцидентни с една права, са инцидентни с една равнина, то всяка точка, инцидентна с правата, е инцидентна с равнината.

Е9: Ако две равнини са инцидентни с една точка, то те са инцидентни с още една точка.

def: С „/“ бележим релацията „между“.

Е10: Ако А/BC, то А, B, C са три различни колинеарни точки и A/CB.

Е11: За всеки три различни колинеарни точки е в сила точно една от релациите: A/BC, B/AC, C/AB.

Е12: Ако О и g са инцидентни точка и права, точките от g, различни от O, се разделят на две непразни множества (лъчи с начало О), като две точки са от различни лъчи тогава и само тогава, когато О е между тях.

Е13: Ако правата g е инцидентна с равнината α, точките от α, неинцидентни с g, се разделят на две множества (полуравнини с контур g), като две точки A и B са от различни полуравнини тогава и само тогава, когато съществува точка O от g такава, че O/AB.

Е14: Всяка еднаквост е еднозначно обратимо точково съответствие.

Е15: Еднаквостите образуват група.

Е16: Всяка еднаквост запазва релацията „между“.

Е17: За всеки два репера R и R' съществува точно една еднаквост φ, която трансформира R в R'.

Е18: Ако една еднаквост запазва лъч, то тя запазва всяка точка от този лъч.

Е19: За всяка отсечка (AB) съществува еднаквост φ такава, че φ(A)=B и φ(B)=A.

Е20: За всеки ъгъл <(pq) съществува еднаквост φ такава, че φ(p→)=q→ и φ(q→)=p→.

E21: Нека ω и ω' са непразни подмножества на отсечката (AB) със свойствата:

1. ω∪ω'=(AB);

2. ако X∈ω, Y∈ω', то X/AY. Тогава съществува точка M∈(AB) такава, че всяка точка от (АМ) принадлежи на ω, а всяка точка от (MB) принадлежи на ω'.

Е22: Ако M и g са неинцидентни точка и права, съществува най-много една права през М, успоредна на g.

def: Математическата дисциплина, която се изгражда върху аксиомите Е1, ..., Е21 се нарича * абсолютна геометрия.

def: Математическата дисциплина, която се изгражда върху аксиомите Е1, ..., Е22 се нарича * евклидова геометрия.

Евклидово пространство

В математиката евклидово пространство е вид линейно пространство, в което могат да се дефинират понятията дължина на вектор и големина на ъгъл между два вектора.

Тримерното пространство, в което живеем, е Евклидово пространство, по-точно тримерно евклидово пространство, и се изучава от стереометрията. Всяка равнина представлява двумерно евклидово пространство и се изучава от планиметрията. По-общо за всяка размерност n може да се дефинира n-мерно евклидово пространство, което представлява обобщение на двумерния и тримерния случай. В евклидовите пространства са изпълнени всички аксиоми на Евклид, тоест те са модел за евклидова геометрия. До 19 век геометрията се занимава изключително с изучаването на тези пространства. През 19 век се открива съществуването на модели на неевклидова геометрия.

Елементи

„Елементи“ (на старогръцки: Στοιχεῖα Stoicheia) е математически трактат, състоящ се от 13 книги. Написан е от древногръцкия математик Евклид около 300 г. пр.н.е. Трактатът се състои от определения, аксиоми, постулати и доказателства. Той изгражда систематично основите на геометрията и провокира развитието на логиката и цялата съвременна наука.

В Западна Европа латински превод на пълния текст е направен през 12 век от схоластика-философ Аделар от Бат, който започва да го използва за преподаване на геометрия. Превод на английски език прави Билингсли през 1570 г. След изобретяването на книгопечатането текстът непрестанно бива преиздаван и в преводи на съответните езици той служи за преподаване на геометрия до края на 19 век.

Оригиналната версия на „Елементи“ затруднява съвременния читател, особено книгите, излагащи числови резултати, тъй като тези резултати са интерпретирани геометрично. Гърците не са имали удобните числови и алгебрични обозначения (нотация), които ползваме днес и които са въведени през 17 век. В миналото към оригиналния текст често пъти са били прибавяни още две 'книги' (т.е. глави).

Мегарска школа

Мегарската школа (на гръцки: Μεγαρική σχολή) е една от сократическите школи. Основана е от ученика на Сократ Евклид Мегарски в IV век пр. Хр. Видни представители на Мегарската школа са Евбулид Милетски, Стилпон, Диодор Крон, Евфант и други, които са източник на множество традиционни софизми. Мегарската школа съчетава идеите на Сократ, елеатската школа и софистите. Основни интереси в Мегарската школа са въпросите, свързани с логиката, изкуството, словесния спор, сократическата етика и други.

Неевклидова геометрия

Неевклидова геометрия е термин, обединяващ хиперболичната и елиптичната геометрия, които се разграничават от евклидовата геометрия. Основната разлика между евклидовата и неевклидовата геометрия е естеството на успоредните прави. В евклидовата геометрия, ако са дадени права l и точка A, нележаща на l, то през A може да се прекара само една права, успоредна на l. В хиперболичната геометрия съществуват безброй много прави през A, успоредни на l, а в елиптичната геометрия не съществуват паралелни прави.

Друг начин да се опишат разликите между тези геометрии е следният: Нека са дадени две прави в една двумерна повърхност, които са перпендикулярни на трета права. В евклидовата и хиперболичната геометрия тези две прави са успоредни. В евклидовата геометрия обаче тези две прави остават на еднакво разстояние една от друга, докато в хиперболичната геометрия те се отдалечават една от друга, увеличавайки разстоянието помежду си с отдалечаването от точката на пресичане с общия перпендикуляр. В елиптичната геометрия линиите се приближават една към друга и накрая се пресичат – следователно в елиптичната геометрия не съществуват успоредни линии.

Окръжност

Окръжността е геометрична затворена крива, образувана от множеството от точките в дадена равнина, намиращи се на определено разстояние (радиус, r) от определена точка (център). Диаметър на окръжността (d) е отсечка, свързваща две точки от окръжността и преминаваща през центъра ѝ, като дължината ѝ е два пъти радиуса (d = 2r).

Питагорова теорема

Питагоровата теорема е една от най-важните теореми в евклидовата геометрия, изразяваща връзката между дължините на страните на правоъгълен триъгълник:

където c е дължината на хипотенузата (страната срещу правия ъгъл на триъгълника), а a и b са дължините на двата катета (страните, образуващи правия ъгъл).

Изразена чрез площи, теоремата гласи:

За всеки правоъгълен триъгълник площта на квадрата със страна хипотенузата е равна на сбора от площите на двата квадрата със съответни страни катетите.

Теоремата носи името на древногръцкия философ и математик Питагор (570-495 пр.н.е.), на когото традицията приписва нейното откриване и доказване, въпреки че тя изглежда е известна дълго преди това. Същестуват свидетелства, че още математиците във Вавилон разбират тази зависимост.

Питагоровата теорема свързва както дължините на страните на правоъгълния триъгълник, така и площите на съответните им квадрати, т.е. тя има както площна, така и линейна интерпретация. Част от множеството доказателства на теоремата се базират на първата, а останалите — на втората, като използват различни алгебрични и геометрични методи. Питагоровата теорема може да бъде обобщена по различни начини, включително за многоизмерни или неевклидови пространства, за обекти, които не са правоъгълни триъгълници, и дори за обекти, които изобщо не са триъгълници, а n-мерни тела.

Просто число

В математиката просто число се нарича всяко естествено число, по-голямо от 1, което има точно два естествени делителя – 1 и самото себе си. Например 5 е просто, защото се дели единствено на 1 и 5, докато 6 не е, защото се дели освен на 1 и 6 и на 2 и 3. Естествените числа, по-големи от едно, които не са прости, се наричат съставни. Числата нула и едно не са нито прости, нито съставни. Простите числа са един от основните обекти, които се изучават от теорията на числата.

Първите няколко прости числа са: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113,

... Самото изчисление на прости числа не е трудно, като е възможно да се използва съвременното програмиране за създаване на програми за изчисляване на прости числа.

Множеството на простите числа понякога се означава с ℙ или P. Тъй като 2 е единственото четно просто число, терминът

нечетни прости числа се използва за означаване на всички прости числа освен 2.

Съвършено число

Съвършено число в математиката (на старогръцки: ἀριθμὸς τέλειος) се нарича естествено число, което е точна сума от своите по-малки делители (т.е. различни от самото число). Например най-малкото такова число е 6 – делителите му са 1, 2 и 3 и е изпълнено свойството: 1 + 2 + 3 = 6.

Най-малките познати от античността съвършени числа са 6, 28, 496 и 8128.

По-нататък тъй като естествените числа растат, съвършените числа се срещат все по-рядко.

Шестоъгълник

Шестоъгълникът (също и хексагон, от старогръцки: ἕξ + γωνία – „шест“ + „ъгъл“) е многоъгълник с шест страни и ъгли. Сборът на всички вътрешни ъгли е 720° (4π). Има 9 диагонала.

Ъгломер (съзвездие)

Ъгломер (на латински: Norma) е едно от най-малките съзвездия видими от южното полукълбо.

Съзвездието е открито и наречено Norma (инструмента прав ъгъл, ъгломер) от Никола Луи де Лакайл по време на престоя му на нос Добра надежда в периода 1751—1752 г. Друго название, под което е било известно в миналото е Quadrans Euclidis (Квадрат на Евклид). По-старото име на съзвездието на български е Прав ъгъл.Тъй като не е било достъпно за наблюдение от древните гърци, с това съзвездие не е свързан сюжет от митологията.

С просто око могат да се наблюдават около 20 звезди от съзвездието с видима звездна величина под 6m. Няма звезди с видима звездна величина под 3m.

Промените в границите на съзвездията, настъпили след времето на Лакайл, резултирали в премахването на ред ярки звезди от съзвездието Ъгломер. В частност, звездите, които Лакайл обозначил като α и β на съзвездието, впоследствие „преминали“ към съзвездието Скорпион, съответно като N Scorpii и H Scorpii.

Ъгъл

Ъгъл (или равнинен ъгъл) е геометричен обект, съставен от два лъча с обща начална точка, наричана връх на ъгъла. Често под ъгъл се разбира и големината на ъгъла – числена величина, отразяваща степента на завъртане на единия лъч около върха, така че той да съвпадне с другия.

Евклид определя равнинният ъгъл като наклон, който образуват две пресичащи се прави в равнината една спрямо друга. Според Прокъл един ъгъл трябва да бъде или качество, или количество, или отношение. Първата концепция е използвана от Евдем, който разглежда ъгъла като отклонение от правата линия. Втората е използвана от Карп Антиохийски, който го разглеждал като пространството между две пресичащи се прави. Самият Евклид възприема третата концепция, въпреки че дефинициите му за прав, остър и тъп ъгъл определено са количествени.

На други езици

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.