Геометрия

Геометрията (на старогръцки: γεωμετρία; geo- „земя“, -metri „измерване“) е клон на математиката, първоначално изучаващ отношенията в пространството, както и формата, големината и позицията на различни фигури. Тя е една от най-старите научни области и една от двете сфери на традиционната математика, наред с изучаването на числата. В наши дни геометричните идеи са силно обобщени и към тях се прилагат методи на математическия анализ, и абстрактната алгебра, като много съвременни клонове на геометрията трудно могат да бъдат оприличени на ранната геометрия.

Отначало геометрията е практична наука, която изучава разстояния, площи и обеми, докато през III век пр.н.е. е създадена Евклидовата геометрия, която установява стандарти за следващите столетия. Архимед разработва техники за изчисляване на площи и обеми, които залягат в основата на интегралното смятане. Въвеждането на координати от Рене Декарт и развитието на алгебрата бележи нов стадий на геометрията. Геометрията е обогатена по-нататък от Ойлер и Карл Фридрих Гаус, което води до създаването на топологията и диференциалната геометрия.

По Евклидово време не се прави ясна разлика между физическо и геометрично пространство. От XIX век с откритието на неевклидовата геометрия понятието за пространство претърпява драстична и радикална трансформация, а през XX век изгубва интуитивното си съдържание и се превръща в абстрактно понятие.

Днес геометрията има близки връзки с физиката, най-вече между псевдоримановото многообразие и общата теория на относителността. Една от най-новите теории във физиката – теория на струните е също геометрична в основата си.

Teorema de desargues
Илюстрация на теоремата на Дезарг
P. Oxy. I 29
Оксиринхски папипус с фрагмент от Елементите на Евклид

Евклидова геометрия

Евклидовата геометрия е математическа система, разработена в Египет от древногръцкия математик Евклид от Александрия през III век пр.н.е. Неговото съчинение „Елементи“ е завършен труд върху геометрията, който става една от най-известните и влиятелни книги в математиката и историята на човечеството като цяло. Евклид въвежда малък на брой аксиоми – 22, и на тяхна основа доказва много други твърдения (теореми). Той пръв показва как тези твърдения могат да се обобщят в една дедуктивна логическа математична система. „Елементите“ на Евклид започват с равнинна геометрия и съдържат първите примери за математически доказателства. Те също така включват и пространствена геометрия в тримерно пространство, наричана още стереометрия. Евклидовата геометрия е разширена и за някои крайни измерения. Аксиомите на Евклид са съвсем очевидни и лесно доказуеми в практиката, не е трудно човек да се убеди във верността им, затова те остават единствените в продължение на 2000 години.

Стереометрия

Стереометрията е дял от евклидовата геометрия, който изучава главно геометрични фигури в тримерното пространство. Тя изследва свойствата на фигурите, които не се изменят при движения в пространството и измерва обемите на различни тела като цилиндър, конус, пресечен конус, сфера, призма и други. В стереометрията основният подход, както и в планиметрията и дескриптивната геометрия е синтетичният подход. Името стереометрия се среща още в съчиненията на древногръцкия философ Аристотел, живял през IV в. пр.н.е. и възниква във връзка с практичните нужди на хората – измерване на лица и обеми, строеж на жилища и обществени сгради, отбранителни съоръжения и други. Пирамидата, призмата, конусът и цилиндърът не са изследвани преди времето на Платон.

Изследванията на египетските пирамиди, построени около 4000 г. пр.н.е., показват, че при изграждането им египтяните са разполагали със значителни познания по стереометрия.

Построения с линийка и пергел

Pentagon-construction
Построяване на правилен петоъгълник с помощта на пергел и линийка

Построенията с линийка и пергел са класически геометрични задачи за построение на търсена отсечка само с помощта на два чертожни инструмента, а именно линийка и пергел. Линийката служи за построяване на прави линии, а пергела за окръжности. Те не могат да бъдат заменени от триъгълник или транспортир. Аналитично погледнато, задачата за построение с линийка и пергел има за цел да изрази търсената отсечка посредством рационални математически операции и образуване на квадратен корен. Тези построения се изучават в България в 5 клас. Тези построения използват евклидовата геометрия.

Топологията

Топологията е раздел на геометрията и се занимава с явленията на непрекъснатост. Тя изследва начините по които фигурите се деформират, без да променят основните си елементи. Първите сериозни трудове по топология могат да бъдат открити в работите на немските математици А. Мьобиус и Листинг от средата на 19 век. Листинг пръв въвежда термина топология около 1847 година. За баща на топологията се смята Анри Поанкаре, който според Мьобиус дава на топологията отправна точка с основополагащите си трудове от края на XIX век. Топологията се дели условно на алгебрична и обща.

Интересни открития в областта са Мьобиусовият лист и Клайновата бутилка. Мьобиусовият лист е лента ,която има само една страна и един ръб. Получава се чрез полуусукване на обикновена лента. Клайновата бутилка има същото свойство, но е обемна фигура.

Неевклидова геометрия

Неевклидовата геометрия е общ термин, обединяващ хиперболичната и елиптичната геометрия или всяка друга геометрия, която не е евклидова. Макар да е обобщено понятие, под него обикновено се подразбира сферична геометрия и геометрия на Лобачевски. Основната разлика между евклидовата и неевклидовата геометрия е естеството на успоредните прави. В евклидовата геометрия, ако са дадени права l и точка A, нележаща на l, то през A може да се прекара само една права, успоредна на l. В хиперболичната геометрия съществуват безброй много прави през A, успоредни на l, а в елиптичната геометрия не съществуват паралелни прави.

Друг начин да се опишат разликите между тези геометрии е ако човек си представи две прави в една двумерна повърхност, които са перпендикулярни на трета права. В евклидовата и хиперболичната геометрия тези две прави са успоредни. В евклидовата геометрия обаче тези две прави остават на еднакво разстояние една от друга, докато в хиперболичната геометрия те се отдалечават една от друга, увеличавайки разстоянието помежду си с отдалечаването от точката на пресичане с общия перпендикуляр. В елиптичната геометрия линиите се приближават една към друга и на края се пресичат – следователно в елиптичната геометрия не съществуват успоредни линии.

Аналитична геометрия

Аналитичната геометрия е дял от математиката, която с помощта на алгебрични средства изследва геометричните обекти въз основа на въведени координати и координатни системи. Тя дава възможността на геометричните обекти (|точки, прави, криви, равнини, повърхнини) да се съпоставят числа, които ги отличават едни от други.

Основите на тази математическа дисциплина са поставени от Рене Декарт (1596 – 1650) и Пиер дьо Ферма (1601 – 1665), а детайлното ѝ развитие е дело на Леонард Ойлер (1707 – 1783). Терминът „аналитична“ е въведен от Исак Нютон (1643 – 1727) в негов труд от 1671 г., издаден посмъртно през 1736 г. Аналитичната геометрия служи за основа за нови клонове на математиката, като например диференциалната геометрия, в която е внесен инструментариумът на математическия анализ и алгебричната геометрия, където се прилага теорията на алгебричните системи.

Диференциална геометрия

Диференциалната геометрия е дял от геометрията, в който геометричните обекти се изучават с методите на математическия анализ и по-специално диференциалното смятане и теорията на диференциалните уравнения. Основен принос за обособяването на диференциалната геометрия като отделен дял от геометрията има Карл Фридрих Гаус.

При изследвания на пространства и многообразия в диференциалната геометрия се въвеждат координати по подобие на въвеждането на координати в аналитичната геометрия. В тези пространства се влагат други геометрични обекти – например криви и повърхнини, които се задават чрез уравнения и достатъчен брой пъти диференцируеми функции.

Аналитична геометрия

Аналитичната геометрия е дял от математиката, която с помощта на алгебрични средства изследва геометричните обекти въз основа на въведени координати и координатни системи.

Изградена е върху възможността, на геометричните обекти (точки, прави, криви, равнини, повърхнини) да се съпоставят числа, които ги отличават помежду им. Всеки геометричен обект се разглежда като геометрично място на точки, т.е. множество от всички точки удовлетворяващи определено условие, изразено във формулен вид.

Например, ако в дадена равнина е въведена координатна система, то всяка точка от равнината може по единствен начин да се представи като наредена двойка от реални числа спрямо началото и осите на тази координатна система. Всяка права в равнината се представя с единствено уравнение ( - реални числа), т.е. че правата се състои от всички точки, чиито двойки от координати удовлетворяват уравнението. Или друг пример: геометричното описание на окръжността е множеството от точките, равноотдалечени от дадена точка. Алгебрично, това условие се изразява с уравнението , което се удовлетворява от всички точки на окръжността с координати наредената двойка . Така аналитичната геометрия дава инструментите на геометрични обекти да се съпоставят алгебрични обекти (наредени двойки числа, уравнения) и да се изследват техните свойства.

Основите на тази математическа дисциплина са поставени от Рене Декарт (1596-1650) и Пиер дьо Ферма (1601-1665), а детайлно развита от Леонард Ойлер (1707-1783). Първоначално Йохан Бернули (1667-1748) нарича този дял от математиката „декартова геометрия“ (в свой труд от 1692 г.), а терминът „аналитична“ е въведен от Исак Нютон (1643-1727) в негов труд от 1671 г., издаден посмъртно през 1736 г. Аналитичната геометрия служи за основа за нови клонове на математиката, като диференциалната геометрия, в която е внесен инструментариумът на математическия анализ, и алгебричната геометрия, където се прилага теорията на алгебричните системи.

Вектор

В математиката и физиката вектори се наричат елементите на линейните пространства. Най-често те се отъждествяват с координатните си представяния като наредени -орки от съответното числово поле. Така евклидовите пространства и се отъждествяват със съответно евклидовите равнина - , и пространство - , където , и са реални числа.

В математиката, физиката и инженерството, евклидов вектор (понякога наричан геометричен или пространствен вектор) или просто вектор е геометричен обект, който има величина (или дължина) и посока и може да бъде добавен към други вектори, съгласно с векторната алгебра. В евклидовата геометрия векторът често се представя от част от линия с определена посока.

Диференциална геометрия

Диференциалната геометрия е дял от геометрията, в който геометричните обекти се изучават с методите на математическия анализ, преди всичко диференциалното смятане и теорията на диференциалните уравнения, на което се дължи името. Тя възниква като метод през XVIII в., а нейни създатели са Леонард Ойлер и Гаспар Монж, който пише първата книга по предмета през 1795 г. Основен принос за обособяването на диференциалната геометрия като отделен дял от геометрията има Карл Фридрих Гаус, създал през 1827 г. теорията на повърхностите. Всъщност диференциалната геометрия се заражда през XVII век като приложен аспект на откритото по това време диференциално и интегрално смятане. Така погледнато, може да се смята, че пионер на тази наука е Готфрид Лайбниц.

При изследвания на пространства и многообразия в диференциалната геометрия в тях се въвеждат координати по подобие на въвеждането на координати в аналитичната геометрия. В тези пространства се влагат други геометрични обекти – например криви и повърхнини, които се задават чрез уравнения и достатъчен брой пъти диференцируеми функции.

Във висшите дялове на диференциалната геометрия се използва тензорно смятане.

Евклид

Евклид (на старогръцки: Εὐκλείδης) е древногръцки математик живял в египетския град Александрия при управлението на Птолемей I (323 – 283 година пр.н.е.). Често определян като баща на геометрията, той е автор на книгата „Елементи“, един от най-влиятелните трудове в историята на математиката, служил като основен учебник при преподаването на математика и най-вече на геометрия от времето на своята поява до края на XIX век и началото на XX век. В „Елементи“ Евклид извлича по дедуктивен път от ограничен брой аксиоми принципите на системата, която днес се нарича евклидова геометрия. Той е автор и на изследвания в областта на перспективата, коничните сечения, сферичната геометрия, теорията на числата.

Евклидова геометрия

Геометрията на Евклид е математическа система, разработена в Египет от древногръцкия математик Евклид от Александрия. Неговото съчинение „Елементи“ е най-ранният завършен системен текст относно геометрията, превърнал се в една от най-влиятелните книги в историята на човечеството.

Евклид въвежда малък брой аксиоми и въз основа на тях доказва много други твърдения (теореми). Въпреки че много от резултатите на Евклид са били установени от други гръцки математици преди него, той пръв е показал как тези твърдения могат да се атакуват заедно в една обща дедуктивна и логическа система.

„Елементите“ на Евклид започват с равнинна геометрия и съдържат първите примери за математически доказателства. Те включват и пространствена геометрия в тримерно пространство, наричана още стереометрия. Евклидовата геометрия е разширена и за някои крайни измерения. Голяма част от „Елементите“ съдържа резултати от днешната теория на числата, доказани с геометрични методи.

За повече от 2000 години геометрията на Евклид не бе променяна, понеже никой не можеше да си представи съществуването на други видове геометрии. Аксиомите на Евклид са очевидни, ежедневната практиката ни убеждава по абсолютен начин във верността им.

В евклидовата геометрия, изложена в съчинението на Евклид „Елементи“, той се стреми да изведе от 5 аксиоми и 5 постулата всички останали геометрични твърдения. Геометрите след него се затрудняват от сложността на Петия постулат и векове се опитват да го докажат като теорема въз основа на останалите четири. Оригиналната формулировка на този постулат е следната:

Ако една права линия пада върху две прави линии така, че вътрешните ъгли от едната страна са заедно по-малки от два прави ъгъла, то правите линии, ако се продължат безкрайно, се срещат от страната, от която ъглите са по-малки от два прави ъгъла.

Други математици дават по-опростени еквивалентни формулировки на този „постулат на успоредността“. Например, ако са дадени права l и точка A, нележаща на нея, то през A може да се прекара само една права, успоредна на l (аксиома на успоредните прави).

Лобачевски приема аксиомата за успоредните прави на Евклид като ограничение. Според него тя е твърде силно изискване, което ограничава възможностите да се описват свойствата на пространството. Той заменя тази аксиома с по-общото твърдение, че в равнината през точка, нележаща на дадена права, минава повече от една права, която не пресича дадената права. Въз основа на това твърдение той изгражда нова геометрия, коренно различна от евклидовата, която днес заслужено носи неговото име.

Лобачевски не е единственият изследовател в тази нова област на математиката. Независимо от него унгарският математик Янош Бояй публикува през 1832 г. свой труд на тема неевклидова геометрия. Великият немски математик Гаус по същото време стига до резултатите на Лобачевски, но се страхува от неразбиране и не публикува изследванията си. Той оценява високо постигнатото от Лобачевски.

Днес са известни много неевклидови геометрии, създадени в началото на XIX век. Вече знаем, че Евклидовите аксиоми не са в сила при движения със скорости, доближаващи скоростта на светлината. Доказва го общата теория на относителността, потвърдено е и от наблюдения и опити. Те са валидни само за свойствата на физическото пространство в гравитационно поле.

Евклидовата геометрия се основава на следните 22 аксиоми:

Е1: Съществуват поне две различни точки.

Е2: С всеки две различни точки е инцидентна точно една права.

Е3: С всяка права са инцидентни поне две различни точки.

Е4: За всяка права съществува поне една неинцидентна с нея точка.

Е5: За всеки три точки, неинцидентни с една права, съществува точно една равнина, инцидентна с тях.

Е6: С всяка равнина е инцидентна поне една точка.

Е7: За всяка равнина съществува поне една неинцидентна с нея точка.

Е8: Ако две точки, инцидентни с една права, са инцидентни с една равнина, то всяка точка, инцидентна с правата, е инцидентна с равнината.

Е9: Ако две равнини са инцидентни с една точка, то те са инцидентни с още една точка.

def: С „/“ бележим релацията „между“.

Е10: Ако А/BC, то А, B, C са три различни колинеарни точки и A/CB.

Е11: За всеки три различни колинеарни точки е в сила точно една от релациите: A/BC, B/AC, C/AB.

Е12: Ако О и g са инцидентни точка и права, точките от g, различни от O, се разделят на две непразни множества (лъчи с начало О), като две точки са от различни лъчи тогава и само тогава, когато О е между тях.

Е13: Ако правата g е инцидентна с равнината α, точките от α, неинцидентни с g, се разделят на две множества (полуравнини с контур g), като две точки A и B са от различни полуравнини тогава и само тогава, когато съществува точка O от g такава, че O/AB.

Е14: Всяка еднаквост е еднозначно обратимо точково съответствие.

Е15: Еднаквостите образуват група.

Е16: Всяка еднаквост запазва релацията „между“.

Е17: За всеки два репера R и R' съществува точно една еднаквост φ, която трансформира R в R'.

Е18: Ако една еднаквост запазва лъч, то тя запазва всяка точка от този лъч.

Е19: За всяка отсечка (AB) съществува еднаквост φ такава, че φ(A)=B и φ(B)=A.

Е20: За всеки ъгъл <(pq) съществува еднаквост φ такава, че φ(p→)=q→ и φ(q→)=p→.

E21: Нека ω и ω' са непразни подмножества на отсечката (AB) със свойствата:

1. ω∪ω'=(AB);

2. ако X∈ω, Y∈ω', то X/AY. Тогава съществува точка M∈(AB) такава, че всяка точка от (АМ) принадлежи на ω, а всяка точка от (MB) принадлежи на ω'.

Е22: Ако M и g са неинцидентни точка и права, съществува най-много една права през М, успоредна на g.

def: Математическата дисциплина, която се изгражда върху аксиомите Е1, ..., Е21 се нарича * абсолютна геометрия.

def: Математическата дисциплина, която се изгражда върху аксиомите Е1, ..., Е22 се нарича * евклидова геометрия.

Квадрат

Квадратът (от латински: quadrātum – „четириъгълник“) представлява равнинна геометрична фигура, правилен четириъгълник. Има четири равни страни и четири равни ъгли.

Конус

В геометрията конусът се дефинира като геометрично тяло, заградено от конична повърхнина и едно равнинно сечение.

Коничната повърхнина е повърхнина, която се описва от права, минаваща през фиксирана точка P и хлъзгаща се по крива ω (несъдържаща фиксираната точка), наречена управителна (директорна) крива. Правите, които минават през точка P и точките на управителната крива, се наричат образуващи на коничната повърхнина. Управителната крива не трябва да бъде изродена крива – например точка. Фиксираната точка P се нарича връх на коничната повърхнина. Ако ω е равнинна крива, върхът не бива да лежи в нейната равнина.

Конус е тялото, ограничено от равнина и конична повърхнина, определена от проста затворена управителна крива. Повърхнината му се състои от равнинна основа и конична околна повърхнина, която е част от коничната повърхнина. Лежащите върху околната повърхнина отсечки от нейните образуващи се наричат образуващи на конуса. Разстоянието от върха на конуса до основата се нарича височина на конуса.

Конично тяло е геометрично тяло, образувано от едносвързана област в дадена равнина (основа (геометрия)) и отсечките, свързващи основата с точка извън нейната равнина (връх). То е обобщение на пирамидата за немногоъгълни основи. Правите кръгови конуси също са конични тела.

Обемът на всяко конично тяло е една трета от площта на основата, умножена по височината (перпендикулярното разстояние от върха до равнината на основата). Центърът на тежестта на конично тяло се намира на 1/4 от височината, измервано от основата. Няма общо правило за изчисляване на повърхността на конично тяло.

Математика

Математика (на старогръцки: μάθημα, матема – знание, изучаване, учене) е изучаването на области като количествата (т.е. числата) , пространствените структури , типовете пространство и извършването на изчисления . Сред математиците и философите съществуват най-разнообразни мнения по въпроса какво изучава математиката, от което произтичат различните определения на тази наука .

Математическа физика

Математическата физика е научна дисциплина, която в основата си е приложение на математически методи за решаване на физични проблеми и формулиране на физични теории.

Тя е раздел както на математиката, така и на физиката и изучава частни диференциални уравнения, често срещащи се и в теоретичната физика като например уравнението на топлопроводността. Теорията на частните диференциални уравнения и свързаните с нея Фурие анализ и векторен анализ са най-тясно свързани с математическата физика през периода 1890-1930. Приложенията им във физиката са в областта на хидродинамиката, акустиката, термодинамиката, електромагнетизма и аеродинамиката.

Теорията на спектроскопията и квантовата механика са разработени почти едновременно с линейната алгебра и функционалния анализ, които също са част от математическата физика.

Специалната теория на относителността, общата теория на относителността и квантовата теория на полето способстват за развитие на теория на групите, диференциалната геометрия и топологията. Следва построяването на „обобщаващи“ теории на елементарните частици, които обикновено се формулират в многомерно пространство с помощта на струни, суперсиметрия и теория на вероятностите.

Обиколка

Обиколка е дължината (периметърът) на затворена крива.

Пирамида

Пирамидата (от гръцки pyramis, род. п. pyramidos) е геометрично тяло, многостен, образуван от свързването на всеки от върховете на n-ъгълник (n=3, 4,...), наречен основа, с точка, нележаща в равнината му, наречена връх на пирамидата. Стените, едната страна на които е страна на основата, а другите 2 сключват помежду си ъгъл при върха на пирамидата, се наричат околни стени. Ръбовете при основата се наричат основни ръбове, а останалите ръбове на пирамидата – околни ръбове.

Околните стени на пирамидата са триъгълници. Правата, спусната от върха към равнината на основата и образуваща прав ъгъл с нея, се нарича височина. Височината на околна стена, спусната от върха на пирамидата към основния ръб, се нарича апотема. Сборът от лицата на околните стени на пирамидата се нарича околна повърхнина, а сборът от околната повърхнина и лицето на основата – пълна повърхнина.

Елементите на пирамидата се обозначават както следва:

h- височина

k- апотема

l-околен ръб

Площ

Площ (също и лице) е величина, изразяваща големината на даден двуизмерен обект. Тя е двуизмерен аналог на едноизмерната дължина и триизмерния обем.

Площта на дадена фигура може да бъде определена, като се сравни с квадрат с предварително зададен размер. В Международната система единици площта се измерва в квадратни метри (m²) – площта на квадрат, чиито страни имат дължина 1 m. Фигура с площ 3 квадратни метра би имала площта на три такива квадрата. В математиката площта е безразмерна величина, като за единица се използва единичният квадрат, квадрат с дължина на страните единица.

Площта на основните фигури, като триъгълници, правоъгълници и кръгове, обикновено се изчислява с помощта на няколко широко известни формули. Площта на произволен многоъгълник може да бъде определена чрез същите формули, като той бъде разделен на по-прости фигури, обикновено триъгълници. За изчисляването на площта на по-сложни фигури с криволинейни граници обикновено са необходими методите на математическия анализ. В действителност задачата за определянето на площта на равнинни фигури е сред основните мотиви за първоначалното развитие на този дял на математиката.Площта на граничната повърхнина на триизмерни тела, като сфера, конус или цилиндър, се нарича околна повърхнина. Формули за околните повърхнини на прости тела са известни още от Античността, но изчисляването им за по-сложни обекти също се извършва с аналитични методи.

Площта играе важна роля в съвременната математика. Освен очевидната ѝ важност в геометрията и математическия анализ, тя е свързана с дефинирането на детерминантите в линейната алгебра, е една от основните характеристики на повърхнините в диференциалната геометрия.

Повърхност

В математиката, повърхност или повърхнина е двуизмерно многообразие. Някои повърхности представляват граници на триизмерни твърди тела. Например сферата представлява граница на твърда топка. Други повърхности се появяват като графики на функции на две променливи. Все пак, повърхностите могат да бъдат дефинирани и абстрактно, без връзка с каквото и да е околно пространство. Така например, бутилката на Клайн е повърхност, която не може да бъде включена в триизмерно Евклидово пространство.

Топологичните повърхности понякога разполагат с допълнителна информация, като например Риманова метрика или сложна структура, която ги свързва с други области на математиката, като например диференциална геометрия или комплексен анализ. Различните математически понятия за повърхност могат да се използват за моделиране на повърхности във физическия свят.

Точното определение на повърхността може да зависи от контекста. Обикновено, в алгебричната геометрия, повърхността може да се пресича сама себе си (и може да има други сингулярности), докато в топологията и диференциалната геометрия не може.

Тъй като повърхността е двуизмерно пространство, движеща се точка върху нея може да се движи в две посоки (има две степени на свобода). Понятието за повърхност е широко използвано във физиката, инженерните науки, компютърната графика и много други дисциплини, като най-често се отнася за повърхността на физически обекти. Например, при анализирането на аеродинамичните свойства на самолет, от главно значение е потокът на въздуха по неговата повърхност.

Пространство

Пространството е безгранична триизмерна непрекъснатост, в която се разполагат всички предмети и събития. Физическото пространство обикновено се разглежда в три линейни измерения, макар че някои клонове на съвременната физика използват по-прецизни модели с четириизмерен континуум, наричан пространство-време. В математиката се изучават абстрактни пространства с различен брой измерения и различна структура. Макар че концепцията за пространство е от фундаментална важност за разбирането на физическата вселена, във философията няма единно мнение дали то трябва да се смята за обект, за отношение между обектите или за част от метод на възприемане на света.

Радиус

Радиус (остар. полупречник) наричаме разстоянието от центъра до периферията на окръжност или сфера.

Радиусът обикновено се обозначава с малката латинска буква r. Използва се във формулата за изчисляване на дължината на окръжност и формулата за изчисляване на лице на кръг.

Терминът идва от латинската дума radius, която означава "лъч", но също така и спица на колело.

Страна (геометрия)

Страна в геометрията може да се отнася за две различни понятия според вида фигура, за която се отнася.

Тетраедър

Тетраедърът е вид многостен с формата на триъгълна пирамида. Има 4 върха, 6 ръба и четири стени. Неговите разновидности могат да имат различна степен на симетрия, а тя е най-висока при правилния тетраедър, чиито стени са равностранни триъгълници и той е едно от петте платонови тела.

По-ниска симетрия имат:

правилната триъгълна пирамида: трите стени са равнобедрени триъгълници, а основата – равностранен

тетрагонален, ромбичен, дигонален и обикновен дисфеноид

усукан тетраедър

правоъгълен тетраедър: три ръба към един връх са перпендикулярни по двойки – съответните стени са правоъгълни триъгълници.

Топология

Топологията (на гръцки: τόπος – място и на гръцки: λόγος – учение, наука) е раздел от математиката, по-точно геометрията и се занимава с явленията на непрекъснатост, особено тези, които остават непроменени при деформации. Тя изследва начините, по които фигурите се деформират, без да променят основните си елементи.

Първите сериозни трудове по топология откриваме в работите на немските математици А. Мьобиус и Листинг от средата на 19 век. Листинг пръв въвежда термина топология (около 1847 година). За истински баща на топологията се смята Анри Поанкаре, който дава на топологията крила с основополагащите си трудове от края на 19 век. Дотогава името топология още не е наложено, използват се „анализ на мястото“ (лат. analysis situs) или „геометрия на мястото“ (лат. geometria situs). Топологията се дели условно на алгебрична и обща.

Интересни открития в областта са Мьобиусовият лист (кръстен на откривателя си) и Клайновата бутилка. Мьобиусовият лист е лента, която има само една страна и един ръб. Получава се чрез полуусукване на обикновена лента. Клайновата бутилка има същото свойство, но е обемна фигура.

В сферата на комуникациите и компютърните мрежи топологията се дели на „физическа“, обозначавайки начина по който са свързани кабелите и логическа указвайки пътят по който сигналите преминават от точка до точка в мрежата.

Точка (геометрия)

В геометрията точка е наименование за 0-мерен обект. Точката няма дължина, площ или обем. В зависимост от контекста точката може да обозначава само липсата на размерност на обекта, или да обозначава координатите си - напр. началото на координатната система е точка с координати (0, 0, 0). В топологията всяка крива, повърхност или тяло се разглеждат като множество от точки.

Аксиоматиката на Евклидовата геометрия подразбира някои от свойствата на точката, без да ги определя напълно.

Точката е съвършена фигура. Тя няма начало и край, но е начало и край.

Области
Раздели

На други езици

This page is based on a Wikipedia article written by authors (here).
Text is available under the CC BY-SA 3.0 license; additional terms may apply.
Images, videos and audio are available under their respective licenses.